А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если один из узлов $ = $е например$е = х '*), является гранич(+)а ным, то ш($,) =О и окрестность Ш'(х) не будет содержать точки Че Тогда для Р(х) получим значение Р(х)=А(х)- ~'.~~ В(х,$) = ЕЕШ (х) = А (х) — ~ ~~.") В (х, $) — В (х, йз)1 = В(х, йз)з ИЕШ'(р) (12) Если узел х является приграничным не только по х, но и по другим направлениям, то в сумме (12) будут отсутствовать и другие слагаемые при $3о Ь,..., $ь В этом случае Р(х) = В(х, ф,) + В(х,.
$,) +... + В(х, $„) > О. Пусть узелх ел е)ь — приграничный и нерегулярный только по напуавлению хо и $, = х(+'о) еи ул, х( ~") ен е)л. Из УРавнениЯ р Л,',ш+ ф Лаю= — )ре(х), эрла так как для уравнения Лапласа А(х) = ~ В(х,$). Таким Зеш бо ' образом, Р(х) = В(х, х("' ))) О. в 3.
устОЙчиВОсть и сходимОсть злдлчи дигихлв 236 где Лву = У*в"в' ( (+га) Х „, „,( га) 1 „ „ „( га) Л ш — — ~ Ьа Ь Ь Ьа Ь ) Ьа а+ а+ ВИДНО, ЧТО в= Ьв веа А(х) = — + —, + 1 1 ЬЬ Ь- а а+ а р В(х, $) =- — + ьиш Оо Ьа В= ЬВ в+а Р(х)= ь„) — „° ааа+ Ь где '1)1- = шах (т'(х)(,(Дд = шах()(х)(, анаЛ+ТЛ аааЛ 11'1сг = шах (1(х)(, ())с, = шах (Т'(х)( ° хиаЛ аИТЛ Эта теорема выражает устойчивость разностной задачи Дирихле (1) по краевым данным и по правой части.
2. Равномерная сходииость и порядок точности раэностиой схемы. Для изучения вопроса о сходнмости и точности схемы (2) рассмотрим аадачу для погрешности з=у — и, Если х — регулярный приграничный' только по х, узел, то 1 Р(х) = — )~ —. Если яге он приграничен и по другим направлеЛг а ниям, то Р(х) может только увеличиться. Поэтому оценка (10) верна всегда. Воспользуемся теперь для задачи (8) теоремой 4 из $ 2: ~ Ь< ~Я,.<ЬЪ*~' (18) Учитывая оценки (6), (9) и (13) и неравенство 1У1с(~НУ(д+ + Цо|$с+ Цш)с, УбеждаемсЯ в том, что веРна Теорема 1. Для решения разностной задачи Дирихле (1) снраеедлиеа оценка йг (У6с<~3)г.)ст+ „, 1'РЗС+" 1 В(с~, (14) 236 гл.
Гт. схемы для уРАВнений эллиптическОГО типА где у — решение задачи И), а о=и(х) — решение задачи И) нз $1. Подставляя у = г+ и в И) или (2), найдем Лг — ф(х), хзны, г1, = О, Ий) где ф(х) = Ли+ фх) — невязка. Как мы видели в $1, зр(х) = 0()Ь(з) = 0(Ь') в регулярных узлах, ф(й) ОИ) в нерегулярных узлах, точнее, ~(р — зЬ' в регулярных узлах, (зу!<рМз в нерегулярных узлах, где р ~ дзи 1 Мз = шах ~ — „1, й = 2,3, 4,...,))з) = „~'„'Ь'„, Ь = шах Ьа.
зоо ! вза ! а=з злалр злалр Воспользуемся теперь теоремой 1 из и. 1. Оценка И4) принимает вид В ( ~< —,1й3+Ь'~ф~~". Подставляя сюда написанные выше оценки для (ф), получаем /йл $~фс =фу — ~'Юа-. ( Ее Мз+ рМз)йз. (16) Тем самым доказана Теорема 2. Если решение и(к)~нС'Ж) (шкввт непрерывные в б=б+Г производные до четвертого порядка включительно), то равностнал схема равномерно сходится со скоростью 0(Ь') (имеет второй порядок точности), так что верна оценка Иб).
3 4. Некоторые свойства разиостных зллиптических операторов 1. Задачи иа собственные значения длн ревностного оператора Лапласа в прямоугольнике. Пусть 6,=(О~ка<), а=1, 2)— прямоугольник, ыл (к = ((вйю, зайз), $а = О, 1, 2, °, №, )т' Ь, = =1 ) — сетка в бз, уз — множество граничных узлов сетки. Сетка вз равномерна по каждому направлению к с шагом Ь„. В этом парзпрафе мы исследуем свойства рзееоствых опвратороэ, апцрсвоамврукнцих оператор Лапласа в нремоугсльевач, а также получвм некоторые оцеакн для развостлых аппроксимаций эллиптических оеератсроз второго порядка с керемеизымв ксеффнцесвтемв л смылзвеымв лрсеззодвымв. В 4.
СВОИСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ гз7 Задача на собственные значения для оператора Лапласа в прямоугольнике А»» с краевыми условиями первого рода 1»и+ Ли = О, х 1И 1«„и!г О, и(х) Ае О, имеет бесконечное множество собственных значений ! й,* которым соответствует ортонормированная система собственных функций ! 4 ий А (х) = 1/ — зш — 1 х1 з1п — о хо, 1 '1'$ '1 ' 'О так что »1»»1 Ай йй Ай ' ( ° "1= 11! 11 ОО !о где (и, и) = ) 1»хй) 1»хои(х„хо) и(х„хо). Решение этой задачи нао о ходится методом разделения переменных (см. И41). 'Для разностного оператора Лапласа Лу=у- + у- с краевых»х» «А«1 ми условиями первого рода задача на собственные значения ставится аналогично. Требуется найти значения параметра Л (собственные аначения), которым соответствуют нетривиальные решения однородного уравнения с однородными краевыми условиями Ли+ Ли = О, хан о»й, Р~тй = О, Р(х) чйО.
(1) Следует отметить, что (» (и, следовательно, ой») не содержит узлов (О, О), (О, У»), (У„О), ()о'„У»), являющихся вершинами прямоугольника. Решение задачи (1) будем искать методом разделения перемен-' ных в виде произведения Р(хо х») = )»(х,)о)(х,) (х, = й,й„ х, = 1»)»,). После подстановки этого выражения в уравнение ЛР+ Ли = йх + их х + Ло = О, находим р„- (ж,)») (хо) + )»(хй)о)- (х,)+ Лр(х,) 1) (ж,) = О. (2) Так как мы ищем нетривиальные решения задачи (1), то можно разделить обе части уравнения (2) на )й(х,)о)(х») чь О.
В результате получим р„- /)» + о); „ /Ч + Л = О нли (3) /)» = — »)- /т) — Л = — ЛП!, хйхй хо«О 233 Гл. 1у, схемы для уРАВнений зллиптичесяоГО типА причем Л'о сопзФ не аавнсит ни от х„ни от х,. Тем самым для )1(х1) получаем аадачу па собственные значения на сетке с)д !1) = (х, = 1 Ь„), = 0,1, ...,Ф1! Ь1!з'1 = 11): Л~+Л!)! =)з„- +Ля~=О, =)Ь, зззз !1 = 1з 2, ..., )У'1 — 1, )зз = О, )), = 0 )Уз-1 причем (з)», з)д~) =бд;, где (у,о)з= ~~'„~ у(!»Ьз)о(!фз)Ьз. Тем з)з зз 11 1 самым найдены решения задачи (1). Собственные значения: Л»=Л»,д =Лд +Лд 1 !1) !1) или ! ла.д. 1 — з(нз — '' ), 2! )' 1,2,...,)'з'з — 1. /! Лд» Лдд =4~ — зш~ 11+ 1» '(»з .
2! А 1 Ь, = 1, 2, ...,Ф1 — 1, Ь, = (4) Собственные функции: Рд(Х) = Рд д (Х1, Хз) = !»д (Хз) )1» (Хз) = лдзх . Ед х — зш — '' зш — '', !1! ! ! (5) 1,2,...,)'з' — 1. Ь, = 1, 2,..., ))!1 — 1, Ь, = Общее число собственных функций равно (11'1 — 1)(йз-1) )з'. (условия )ьз =- )зл = 0 следуют иа того, что )1(0)з)(хз) = О, )д(г,)з)(хз) 0 и т)(х,) ФО). Решение этой задачи имеет вид (см. $ 3 гл. 11) ОП 4 .1»го», 2 Лд = — з1п 2, )з» (х1) = — з(п — ' Ь1=1,2,...,Л!1 — 1, 1 дз 2! ' 1 1 $/ ! 1 1 1 .1 пРичем (Р»1 (Х1)! — ортонормированпая система собственных функ)У1-1 ций: ()з»1,)ьд ) = ба д, где (у, Р)1= ~ у(1 Ь)о(! Ь)Ь1.
1, 1 Из (3) получаем аналогичную задачу для ц(х,): 1)- +Л!1)ц(хз) = О, х,= ),Ь„),=1, 2...11'з — 1,1)1= 0,1) ! —— О, Где Л!1)-Л-Л1О. ЕЕ РЕШЕНИЕ ИМввт Внд не 4 . з»111»з,) 2 . Дзпзз Ь = 1, 2, ..., ))! — 1, $4. свойства эллиптических опегатовов 239 Они обраауют ортонормированную систему ( ° ")= У»,~, У».».1 = 6» .6 11) 11 21 (е) в смысле скалярного проиэведения ид-1 и»-1 (у, у) = ~~~ ~ у(ддй„ддй») у(1»й„д»й») Йдйд = 2,' у(х) у(х) Й,й,. (7) ди В случае второй краевой эадачи, когда — ~ = О, следует оначала написать на «» краевое условие второго порядка аппроксимации.
Нетрудно непосредственной проверкой убедиться в том, что разностная задача второго порядка аппроксимации на собственные аначения с краевыми условиями второго рода ставится так: ЛУ + ЙУ = О, х еп ю», ЛУ = Лдв + Л»У, ха = О, У"а' а (8) Ьа » ~ха ~ ~»а Ьа~ У"а"а' — — У-, Ха = 1а1 дд = 112 2 Ла "а В самом деле, предполагая, что и(х) есть решение уравнения Ли+Ли = 0 с условием ди!дп'дс= О, найдем погрешность аппроксимации краевого условия тд = (и, + 0,5йдЛ»и+ 0,5Ь»Ли) ~,, » —— -( —.»ОД»,—,-~-О»»,—,.»О»»Л)! .»О(»)= = — "! + О,бйд(Ли+ йи)1 +0(Ь7) = 0(йд). ех 3а =О )ад» Аналогично находим тд+ = ( — и„- + 0,5Ь,Л и + 0,5йд)»и) ~„,=д, = ад = 0(йд) и т.
д. следовательно, по системе функций (у»1» (х„х»)) можно раалагать любую функцию 7(хо х»), эаданную на сетке ед» и'обращающуюся в нуль на границе сетки «,: п 1 (Х) = ~Х~~ С»У» (Х), С» (11 У»). »-1 240 гл. ъч. схвмы для ггавнвнии вллиптичвского типа где 4 . "зяаа ° |2 Рь,(х,)= У вЂ”,соз —,' ', Ь,=1,2,...,ЕУ,— 1; (12) 1 '1 Феях, дз(х,) = ~ —, п,.„(х ) = )/ — соз яа х тЕз (х,)= ~ — соз зз, Ь =1;2,...,ЕУз — 1, Г 3 причем [ оз ь, о ° .) = б Ь ~ з' ь в 1 ь,ьз ьззз' где л,а, („,,) = (у,.)+ —, (у(О,О).(О,О) + (13) + у (О, Ез) о(0, Ез) + у(Е„О) о(Е„О) + у (Е,, Е ) о(Е„Е )) + л-1 а + 0,5Ь, ~ (у (О, Е,Ь,) и (О, Е,Ьз) + у Р',Ь,. Езйз) и (ЬЕА~ ЕзЬз)) Ьз+ я -1 1 + 0,5Ь, ~ (у (Е,Ь„О) о (Е,Ьн О) + у (Е,Ьн ЖзЬ,) о (Е,Ьн ЬЕзЬз)) Ь„(14) з =3 а (у, и) определяется согласно (7).
Метод равделения переменных сводит задачу (8) к двум од- номерным задачам для р(х,) = рИ,Ь,) и т)(х,) =Ч(Е,Ь,) на собст- венные значения: ( — Ч-, +0,5Ь,Л'"т~)~„, = О, для каждой из которых решение было найдено в гл. 11, т 3. Таким образом, моя<но сразу иаписать собственные значения и ортонормированные собственные функции "Л з~ + "з' (9) иь (х) = гз ь (х, х ) = рь (х ) оз (хз), (10) Ь = О, 1, 2, ..., ЕУ„, а = 1, 2, з а своиствл зллиптичвских опвглтовов 241 2.
Свойства разностиых операторов. Введем пространство сеточных функций Й», заданных на а»»=ю»+ "(» и равных нулю на (», и пространство Й» функций, заданных на ю»; введем в Й» скалярное произведение (у, и) = ~ у (х) и (х) )»»Ьа. (15) аи»» Исследуем свойства разностного оператора Лапласа Ло = Л»о + Лап, Лаз = о" 1 с» = 1» 2» действую»цего нз Й» в Й» '= Й». 1. Оператор Л самосопряжен: о (Лу, о) =(у, Ло) для любых у, и~аЙ». (16) Для доказательства учтем, что к -» и -» » 1 М-1 Ф-» а 1 (Л,у, )= ~ йа ~ й»( Л,у); = ~'„й, Х й»(уЛ,о),, = » а » =1 » =» » 1 1 ° =(у Л»") так как оператор Л, самосопряжен на сетке [1) в» = (х» = !»)»», а» = О, 1, ..., Л!»; У»я = 1»), и, кроме того, можно менять порядок суммирования по (, и (».
Аналогично убеждаемся в том, что (Л,у, и), (у, Л»и). Отсюда и следует (16). 2, Оператор — Л положительно определен: (-Лу, у) >6!!у!!*, (17) где 6= —,з(п 2! + — аз(п'2! ~) а + а =6» Это следует из ь,' того„ что а 6 =2 „(см. Дополнение, $1). 3. Для оператора Л справедливы оценки И8) 6!!у!!»(( — Лу, у) <Л!!у!!', где 6 указано выше, а 4 »па» 4 алла 4 4 Л = Хщаа = сое — + — соз — ( — + — л 2! )»а 2! Ьа аа -а' 16 А, ю сам»ааааа 242 гл, гт, схемы лля уРАВнений эллиптичнокого тнпА Отсюда, а также из оценки снизу для 6 следует, что 6,1!у!Р < ( — Лу, у) < Ь»1!у1'. (19) Из сказанного выше ясно, что удобнее вместо Л пользоваться оператором А = — Л, который можно трактовать как оператор о из Н»=й, на й»<Н» или из Н»=й» на Н», если определить его так: о при уюй,.
Ау= — Лу, уый», где Лу=Лу Таким образом, мы установили, что в й» А А»,6Е<А<ЬЕ, где К вЂ” единичный оператор. о Любую 'функцию /»нй» (заданную на в» и равную нулю на или заданную только на а») 'можно разложить по собственным функциям оператор А: 1 (Х) = 1З Сйзй~ Сй = (/! ой)» «=1 где А„у= 0<Х =1»Ь„< ха 01 — Лау = — у"ааа — Л у = — 2у„ /Ь,„' при — Лау = 2у- /Ьа при + аа при ха = Л1»Ьа = )аг С1 = 1, 2. Тогда задачу (8) можно записать в операторной форме Ау Ьу. Этот оператор является самосопряженным и неотрицательным: 0<А < ЬК, А =А», где Ь = Ь„ох = 4 (Ь, '+ Ьй '). Заметим, что операторы А, и А, являются перестановочными самосопряженными как для первой, так и для второй краевой задач, поэтому они, в силу общей теории (см. Дополнение, 3 1), имеют общую систему собственных функций, совпадающуюсси- так что 3 сй = ) /~~, где и« вЂ” ' собственные векторы оператора А: Ь-1 АР» оо )«»Р„Н = (У, — 1НН» — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
