А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Вве- о дем танисе обозначение оь, для строго внутренних по хо узлов о (т. Е. ДЛЯ УЗЛа Хгв Юллэ СОСЕДНИЕ ПО НаПРаВЛЕНИЮ ОХ УЗЛЫ ЯВ- ляются внутренними). о На рис. 11 значками ° отмечены узлы вл, гл — нерегулярные только по х, узлы (а = 1, 2), пс г — нерегулярные как по х„так и по х, увлы, П вЂ” приграничные узлы, регулярные как по х„ так и по хг. Будем предполагать, что сетка во является геленой, т. е. любые два внутренних узла можно соединить ломаной, звенья которой параллельны координатным осям, а вершинами являются внутренние узлы сетки. Тогда, по крайней мере, один иэ четырех узлов х' "', а=1, 2, пятиточечного шаблона(х(*'л), х, х(*'г)) (регулярного или нерегулярного) является внутренним.
Требование связности сетки накладывает ограничения как на выбор й, и йг, так и на форму области и на ее расположение относительно сетки елл при заданных )г, и Ь,. а) Рис. 12. г) Несвязная сетка. 6) Свявегя сетка. Примеры несвязной и связной сеточных областей показаны на рис. 12, а и б соответственно.
Если имеется область с узкой перемычкой, то требование связности области может быть выполнено при достаточно малом шаге )л, (или при сгущении сетки в этой части области). На рис. 12, б показан тот случай, когда связность сетки достигается нв путем ве сгущения, а при соответствующем выборе шага йо э в еьдьчь дигихлв для ггьвнвния пгьссонь 22э Мы провели детальное описание сетки для области на пло скости.
Все проведенные выше построения легко переносятся на случай р-мерной области. Сетка образуется в результате пересечения гиперплоскостей (плоскостей при Р=3, прямых прн р= 2) . ха = (»»«а» (а = О» ~~» ° и= 1» 2» . »Р» (»»») где Ъ ) О. Укаэанная вьппе классификация узлов остается без изменений. Нашей целью является написание раэностной схемы для решения задачи Дврилле и области б = 6+ Г: найти непрерывное в замкнутой области 6 б+ Г решение уравнення Ли= — + — = — ~(х), х=(х'„х) еиб, д»» д»» дхэ дзз 1 3 удовлетворяющее граничному условию и!г р(х).
Аппроксимируем в каждом внутреннем узле х ш юз дифференЭэз циальный оператор Ь„и = — трехточечным разностным операс*а тором Л . Если увел хаааа — регулярен по х„, то разностный оператор (-1а) (+1е) Л записывается на регулярном шаблоне (х, х, х ~ ) (И): э(+~а) вв ( ( 1»») Л„у=у;.
=" с»» $1 Если же узел хяеь,,т. е. нерегулярен по х, то Л записывается на нерегулярном шаблоне а~ .а «а Ф ( 1а) где й„— расстояние между узлами х и х нли ° ( ( э((' ) и „ „( 'с)') (+~,„) »» Ф (+1а) где Ьс — расстояние между узлами х и х Возможен случай, когда х яуза и х яуь,»,', тогда ( 1»») (+1а) «а где Й»»ь Ф«а — расстояние между х и х (х1а) гл. 1и схимы для яч лвнвнин зллиптичвского типА На рис.
13 указаны типичные ситуации, соответствующие случаям (23а) — (23в) при р = 2. д и Аппроксимируя6 и = я разностным оператором по одной из формул (11), (23), получим вместо (1) разностное уравнение а) Рзв. 43 с то оо оя Л е — — л о =о-, ле-л, +л,. л, е ) я е,е, »1 ) < О1 — Оо Оо-Ояя е Лот=О- Л Ля+Ля. Ле »1 ) елея 1 ОО ОЯ е 1 I От ОО ОО Оо 1 е ° ° ЛЯ О - Л е — Ле - Л1+ЛЯ.
е1 Ляя »1 б) Ляя =— л, ° 1 УО1 ЯО 'е) Л1" Л е Л1+ т Лу+~р(х) =О для всех хон ля», где Л = ~ Л . На сеточной граа 1 нице (» будем задавать точное значение у <„л ее р(х). В результате приходим к следующей ревностной задаче Дирихле: найти сеточную функцию у(х), определенную для хои ля»=со»+ (», удовлетворяющую во внутренних узлах уравНЕНИ10 Лу+яр(х) =О в регулярных узлах, (24) Леу+ у(х) = О в нерегулярных узлах (25) и принимающую в граничных узлах хоп'(» заданные значения у = »(х). (26) По аналогии с п, 3 напишем условия для погрешности схемы; здесь у(х) — решение разностной задачи (24) — (26), и и(х)— решение исходной задачи (1).
После подстановки у=в+,и в 424) — (26) получим Лз = — яр в регулярных узлах, Л"з=-яре в нерегулярных узлах, з=О на '(», з ь еьдьчь дигихлв для лрлвнвния пуАссонА 223 где ф — погрешность аппроксимации, равная (при ~р(х) =у(х)) ф Лв+ ~р Лв — Ьв в регулярных узлах, (281 фз Лел — Еп в нерегулярных узлах.
Пусть выС"'(С), где Соо — класс функций в(х), имеющих четыре непрерывные в С производные по х„..., хг. Тогда, как показано в п. 3, в регулярных узлах имеем ~ф~~(М (Ь)эЛ2, )Ь~з=Ь~+Ь~+ ... +Ь~. (29Г Представим погрешность аппроксимации в нерегулярных узлах в виде суммы У Ф Ф Ф = Х ~Ь~ Ч>а = Лак — 1~си. Я 1 Как было показано в п.
2, (3$) т. е. в нерегулярных узлах схема не аппроксимирует уравнения Лп + г(х) О. Таким образом, в р-мерном случае задаче (() ставится в соответствие разностная схема У Лу = ~ Л у = — ~(х) в регулярных узлах, е 1 Л*р = ~'„Л у = — ~(х) в нерегулярных узлах, а т з где Л„р = у; „, Л„ определяется по формуле 3 а и е ч а н и е. Весьма распространенным является способ аппроксимации задачи Дирихле, основанный на использовании в приграничных узлах раэностной аппроксимации оператора Лапласа на нерегулярном шаблоне, когда в узлах х ~ ыл вместо (16) используются формулы (14). Однако построенный таким образом разиоствый оператор в 'некоторых случаях теряет ряд важных свойств, присущих исходному дифференциальному уравнению: самосопряжеиность и знакоопределенность.
Отсутствие этих свойств затрудняет применение эффективных итерационных методов решения сеточных уравнений. 224 гл. и. схимы для ггавнвния аллиптичвского тинь 5. Запись разностного уравнения в канонической форме. Рассмотрим (2р+И-точечную схему Лу= — 1 в регулярном уале г (, ~~~а 2 + ( ~а)) а=1 Ьа Перепишем это уравнение в виде г г ,~~ —,у(х)-,~ —,(у +у )+1(х). а=1 а а 1 а (32) Остановимся на случае двух измерений. На рис. 6 видно, что в регулярном узле ' 2 — + —, УЗ = — з Ь1 + уз) +, (уз + у4) + 14.
3 Э Пусть узел х ен азы нерегулярен. В случае, соответствующем рис. 13, а, имеем д 3,=0,5(ь,+ь,'), 1 Лзуо = Ьз Ьз 2УЗ+ УЗ). Подставляя ато выраи4енне в уравнение Л*у = — 1 и формально Из уравнения Лзу = Л, у + Л,у = — )' находим с 21 1 .1 1 4 + З УЗ ЗУ1+ 4 УЗ+ З (УЗ+УЗ)+14' ь',ь,' ьЗ ) . ь, 'ь,ь,' ь', В случае, соответствующем рис. 13, в, будем иметь где й, = 0,5 (Ь, + Ь,'+), й, = 0,5 (Ь, + Ьз).
Пусть еЗ(С) — сетка в р-мерной области и хе-=4сз,„— приграничный нерегулярный узел. Тогда / (+1а (-1а) Л ° 1 lг' ) — г г — г' ЬЗ ь' а+ З Ь,Ь' ь„ь' . Ь„ЬЗ ь'+ З а+ а а а Е 44+ В к 3АдАчА дирихле для уРАВнения пуАссонА 225 считая, что узел х нврвгулярен по всем х„получим 2» р »=1 а а- а+ , Ь»Ь , а а ~а ОЛ (5<~+ + ~ -)' (34) Если х регулярен по некоторому направлению хр, то в атой фор= »» муле следует положить й = Ь + = 3В = ЬВ. Если же х — регу- В В лярный по всем х» узел, то полагаем й„= й„+ = да = йодля всех а 1, 2, ..., р, что дает формулу (32).
Сравнивая (32) н (34), видим, что зги уравнения можно ааписать в канонической форме А(х)у(х)= ~ В(х,$)уЯ)+Р(х), х~(аь, '(35) Ъеш'(Й где Ш'(х) — мноя(ество 2р уалов (2р+ 4)-точечного шаблона «кресте с центром в точке х, исключая сам увел х, т. е. 3Фх; множество Ш'(х) будем называть окрестностью узла х. А(х) и В(х, 5) — заданные коэффициенты уравнения. Из (32) и (34) видно,что А(х))О,В(х,$))0,,')", В(х,$) =А(х) для всех хы(с». (38) ЬНШ'(») К уравнению (35) следует присоединить граничное условие у 1 уь = р (х) (37) Разностная задача Дирнхле является частным случаем более общей задачи: найти сеточную функцию у(х), определенную на (рь = (а»+ (» и удовлетворяющую на (е» уравнению А(х)у(х) = ~ В(х,ф)уЯ)+ Р(х),хан(сь, (38) «иш (») у (х) = р (х), х вн уь, где А(х))О,В(х,$))О,В(х) =А(х) — ~'„В(х,$)))0 (39) Йеш'(Я для всех хж(сь.
Замечание. Третья разностная краевая задача для уравнения Пуассона приводится также к виду (38), причем уравнение (38) выполнено для всех х«в (а» и имеют место условия (39); кроме того, требуется, чтобы В'а-"6) 0 на (л Для доказательства существования и единственности решения задачи (38), (39) достаточно убедиться в том, что однородное $5 А. А. самарские 228 Гл. 1ч. схемы для гглвнений зллиптичжжого типА уравнение .У[у) =А(х)у(х) — Х В(х,$)у($) = О, х~о1лг Йеш'Ю у(х) = О хеиул, (40) имеет только тривиальное решение у(х) О, х1яе1л. Этот факт, как будет показано ниже, следует из принципа максимума, который имеет место для схем (38) — (39).
т 2. Принцип максимума 1. Каноническая форма сеточного уравнения общего вида. Для оценок в С решений разностных эллиптических и параболических уравнений применяется принцип максимума. Он справедлив для сеточных уравнений общего вида, которые мы и рассмотрим в этом параграфе. Пусть в — конечное множество узлов (сетка) в некоторой ограниченной области п-мерного евклидова пространства, Р гя 1о— точка сетки о1. Рассмотрим уравнение А(Р)у(Р) = ~ В(Р,())у(())+ Р(Р), Рене, (1) ОЯШЧР1 'для функции у(Р), заданной на сетке ю. Здесь А(Р) и В(Р, 9) (коэффициенты уравнения), Р(Р) (правая часть уравнения)— заданные сеточные функции, Ш'(Р) <=е1 — множество узлов сетки ю, не содержащее узла Р,— окрестность уала Р. Шаблон сеточного уравнения (() в уале Р, очевидно, состоит из самого узла Р и его окрестности Ш'(Р).
Подобные уравнения могут возникнуть и при сеточной аппроксимации интегральных уравнений. В дальнейшем всюду подразумевается, что коэффициенты А(Р) и В(Р, ()) удовлетворяют условиям А(Р) >О, В(Р, ()) >О для любых Рше1 и (;)гнШ'(Р), (2) Р (Р) = А (Р) — ~ В (Р, Д) ) О.. Ояшцг) Точка Р называется граничным углом сетки в, если в этой точке задано значение функции у(Р), т. е. у(Р) =)л(Р) при Р 1и т, (3) где у — множество граничных узлов.
Сравнивая (3) с (1), видим, что па границе ( следует формально положить А(Р) $, В(Р, ()) О, Р(Р) =)л(Р). Узлы, в которых выполняется уравнение (1) при условиях (2), назовем елутренними узлами сетки, в — множество внутренних узлов, а е1 ю+ '( — множество всех узлов сетки. а 2. пРинцип мАксимумА 227 Первая краевая задача, определяемая условиями (1) †(3), занимает особое место в теории уравнений (1). В случае краевых условий второго или третьего рода, например, для уравнений эллиптического типа, грапнчных узлов пег, т. е.
в = в. Будем предполагать, что сетка в сеязная, т, е. для л)обыт заданных точек Р1вв и Р1н в существует такая последовательность окрестностей (Ш'(Р)), что можно совершить переход от Р к Р, используя лишь узлы этих окрестностей, иными словами, найдутся такие узлы Р„ Р„ ..., Р„ сетки в, что Р,»Ш'(Р), Р,»Ш'(Р,), ..., Р„»Ш'(Р„,), Р»Ш'(Р„), причем В(Р„Р1.„) чьО, 2=1, 2, ..., т — 1, В(.Р, Р,) чьО, В(Р, Р) чьО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
