А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 37
Текст из файла (страница 37)
гт. схемы для уРАВнении вллиптического типА гл. 11, $ 1): х »!Р Л,и = 1 ~ Р(х1+Ь1+ хг) Р( ! хх) Ь, ~ Ь,+ Ф ЬРР ЛРР = 1 ~ Р(х1ю ах+ Ьх+) Р(х! х ) Ьх~ Ь,, Р(хп х,) — ( 1 — Ь, ~х,) Ь Р(х,х) — Р(х,х — Ь )Ч 1, (12) где Ь, = 0,5(Ь„+ Ь +), а = 1, 2. Ревностный оператор Лапласа на дет (-х)("М нерегулярном шаблоне бу- иметь вид ЛРР=Л„Р+Л,и=о- - + Р- -. Юх х! х! хт х! (13) Рнс. 9. Э Если, например, Й! — — Й!+ = Й» то Л1Р = Лго = "х,х, и т.
д. Чтобы не выписывать аргументов (это слишком громоздко при р ) 2), введем обозначения = (х! + Ьг+, х ), х =(х — Й! , хх), х =(х1,хх-ЬЙхх), (+г!) ' (-!О, (Ь1х) и( ) = Р(х( а)), Р= Р(х), Р( а) = Р(х( ), а=1, 2. На рис. 9 показано расположение точек х и х( а). Выраже-' (Ьга) Ф ние для Л„можно ваписать в виде йа = 0,5(Ьа- + Ьа+), а = 1, 2. В гл. Н, $1, п.
2 (формула (27)) было получено выражение для Р„-„— и'. Используя его, сразу напишем аХР Лав ~'ав = 3 (Йа+ — Ьа-) х + 0(йа). вхз (15) Таким образом, на нерегулярном шаблоне разноствый оператор Лх, определяемый по формуле (13), аппроксимирует 'оператор Лапласа с первым порядком. Аппроксимация вида (12) используется на неравномерной сетке, а также в приграничных узлах в случае произвольной области (см. и. 4). Нам понадобится второй способ аппроксимации $». 3АдАчА днгнхлв для тгавнвния кулссона 215 Поясним ситуацию, в какой может быть испол«гавана аппроксимация (18), на следующем примере. Пример.
Первая краевая задача: и" = — У(х), О<х(1, п(0). О, и(1) О. Выберем сетку е»» (х„х< Ь< х«.<-х<+Ь, $-1, 2...., У-1, хе+<-х„+Ь,), неравномерную только вблиаи границы, Ь,<Ь, Ьг<Ь, Ь,+Ь,+ + (<т' — 1)Ь =,1. В регулярнык углах х<, 1(1(№ Ю и+ — 2в»+ и» и» и« Далее имеем в и» ° Л*и, =— «~ с В регул«тате получим рааностную схему у- = — )(х), х» =Ь»+(< — 1)Ь, 1(»(К, (17) Л*у, = — ~(х), Л*ук = — ~(хк), у = укч.х = О. Для х у — и получаем Лх — »у(х), О(х<1, х,=г„+, О, (18) где Лх=х- при х,<х<(х„, Лх,=Лвх„Лх„Лвх„, »У< 0(Ь') при $ = 2, 3, ..., Ж вЂ” 1, <у< =' ОИ), » 1, № ил+ — и и„и « « ия Лвия оператора Лапласа на нерегулярном шаблоне (рис. 8).
Вместо формулы (14) будем польеоваться для Л выражением 1 ~ и( в) — «и — «( в в ха в так что Л о = — «- . В етом случае оператор Л имеет нуле=«„ вой порядок локальной аппроксимации <у = Л'и — 5 и = 0 (1). В самом деле, учитывая (15), получим д и 3 »гв=Л и — Яви= — 1 — — Ьаи+ "чт-((Ьи+ Ьв ) —, + (йв) = << << два »" „и+ О (й ) = О (1). а 218 Гл. го схемы для ТРАВненин эллиптическОГО типА ЛИ = — ~(Х), Х = (Хоо Хо) ои ояоо (1') и(г = р(х). Построим з 12о сетку «11 с шагами Ь, =(,/№ и Ь, = Ц/№, где №) 0 и 1№) 0 — целые числа. Для этого построим два семейства прямых ез, Рас.
10. х1 1) = 1 й, 1 = О, 1,..., 211, хз = 1ойг, 11 = 01 1, °, Л'з. Точки пересечения Этих прямых х (11й„еойо) с координатами (,йо и 11йо назовем узлами. Если х = (1,Ь,, 1,Ь,) лежит внутри прямоугольника (т. е. 0 < 1, < №, 0 < 11 < 111), то такой узел назовем внутренким. Пусть есо — множество всех внутренних узлов. Общее число внутренних узлов равно (№ — 1)(№ — 1). Узлы, лежащие на границе прямоугольника (при 0 =0, № илн 11 = О, 11'1), кроме четырех уалов (О, 0), (О, 11), (1,, 0), (1„1,); назовем граничными (они Обозначены на рис.
10 крестиками). Они обраауют множество 71 ((1,ЬО 11Ь,)). Совокупность всех внутренних и граничных узлов назовем сеткой е11 = е11 + 71 Несмотря на то, что схема не имеет аппроксимации в приграничных узлах $-1, 1 № эта схема (17) имеет второй порядок точности в бт 1г!1,=0(Ь*). Чтобы получить эту оценку, перепишем уравнения (18) при х = х„х„в виде — „'( „— '„*')=о, —,'("'„' '"„*"-')=о, где Ро = ЬЬМ„ге+1 йй,~,.
Таким образом, задача (18) эквивалентна задаче г;„= — ор(х), х, < х1 < хк, Лего = О, Легк=О, го = ЬЬ1')11 гк21 = Ьйоо(ок. Воспользуемся теперь полученной в $ 2 гл. 1 априорной оценкой !!г!с ( шах((ге(, (гк+1!) + ,'~, й ~ Ь!орз!. 1=1 А 1 Отсюда следует !)г!)е 1г — п1е < Ьйо(ого)+ йй|(огя! + Л(ах )ого! < Мй, 12.ее я т. е.
схема (17) имеет второй порядок точности. 3. Разностиаи задача Дирихле в прямоугольнике. Пусть (2, (0<х, < 1„0<х,<(о) — прямоугольник со сторонами 1, и 11 х. (рес. 10), à — его граница. Рассмотг рИМ В Оо=1'о+ Г ЗадаЧу ДПРИХЛЕ 2 для уравнения Пуассона: 6 ь элдлчл ДНРихля для РРАвнвния пуАссОнА 217 в прямоугольнике 6». В каждом внутреннем уэлс хж 1о» может быть построен пятиточечный регулярный шаблон »крест», все уэлы которого х(~'"), а-1, 2, принадлежат 1о» (т. е. либо 1е», либо «»). Поэтому во всех внутренних узлах можно заменить оператор Лапласа Ли раэностным оператором Ли = и„- „+ и-, "1"1 *»"1' Правую часть -1(х) уравнения И') можно аппроксимировать сеточной функцией — ф(х) так, чтобы ф(х) — 1(х) = О(!Ь(»), 1(х)ж С'*'.
Считая 1(х) непрерывной функцией, полагаем ф(х) ~(х). ' В реэультате аадаче И') ставим в соответствие раэностную задачу Дирихле: найти сеточную функцию у(х), определенную на о»», удовлетворяющую во внутренних узлах (на с»») уравнению Лу = — 1(х), Лу = у- + у-, хек вл, (19) »»»1»»»1' и принимающую на границе «» эаданные эначения (20) у(х) =)л(х), хж «».
Отметим, что сетка 1э»(О,) при Ь, т» Ь, называется прямоугольной, а при Ь, = Ь, =. Ь вЂ” квадратной сеткой. Напишем подробное выражение для Лу на квадратной сетке Лу= —,(у( ')+у( ')+у( ')+у( ') — 4у). л' Пусть ф=О. Разрешим уравнение Лу=О относительно у: 1 ( ( 11) + ('~'11) + ( 12) + (+13)) Значение у в центре шаблона есть среднее арифметическое значений у в остальных четырех уэлах шаблона. Эта формула является раэностным аналогом формулы среднею аначения для гармонической функции. Иэ И9), (20) видно, что значения )л(х) в вершинах прямоугольника не используются.
Это и определило выбор «,. В случае третьей краевой эадачи и схемы О(!Ь)») (см. $5) граница «» состоит иэ. всех узлов, лежащих на границе прямоугольника, включая его вершины. Методы численного решения системы (№ — 1) (№ — 1) алгебраических уравнений И9) будут рассмотрены отдельно (см. гл.
Х). Для оценки точности рааностной схемы И9) †(20) образуем равность з у — и, где у — решение задачи И9) — (20), и — решение задачи И'). Подставляя у-э+и в И'), получим для х задачу Лэ= — 1р на о»», э=О на «», (21) 218 Гл. Гт. схемы для ЗРАВнений Эллиптического типА где »у = Ли + 1 — погрешность аппроксимации уравнения (1') схемой (19). Так как А.и+ ) = О, то »у Ли+1 — ьи + А.и = Ли — Ьи, т.
е. »д Ли — Си.' Иа (8) следует, что д»а К2 да (4) »()= — — + — — при и» С 12 д24 12 д24 1 ~2 Эта схема имеет первый локальный порядок аппроксимации ф» = (Ли+ 1 ( ))» = (и; ". + и; -. + 1 (х)) = =-,'Х (Ь(Ь'") — «' ') — "+0()й!') = ((Ь!). ! В )2 = 91+92. Однако »р» можно по аналогии с г». П1, 2 4 представить в виде 3 К' да 1!)» = ~~~~ (2)а) + 0()й )~~ 2)а = л — = 0(Ьа).
а=1 д23 Отсюда видно, что схема (22) имеет второй суммарный порядок аппроксимации (в негативной форме). 4. Разностная задача Дирихле в области сложной формы. Если область (», в которой ищется решение задачи Дирихле (1), имеет криволинейную границу, то сетка ю4(0), вообще говоря, неравномерна вблизи границы. Ниже дается описание такой сетки и классификация ее узлов.
где черта сверху означает, что берутся аначения аргументов в некоторых средних точках на интервалах (х, — Ь„х,), (х,+Ь„х,) и (х„ х, — Ь,), (х„ х, + Ь,) соответственно. Обозначая М, = шах —,, получаем )»у(~(М4 —. да ! (л!' Доказательство сходимости схемы (19) сводится к оценке решения задачи (21) череа погрешность аппроксимации. Такая оценка будет получена в дальнейшем при помощи принципа максимума для произвольной области и любого числа измерений.
В прямоугольнике может быть введена и неравномерная сетка Г (»1) (»3)) . (3) (аа) (зл = (х»=(х» е хз )з (а=О~ 1~ ."~ Л»а ха = О, ха =)а~ и=1, 2) (»1) (»1) (»1 1) (»3) (»2) (»2 1) с шагами Ь» —— х, — х,, Ь2 = ха — х3 .. В атом случае испольауем разностный оператор (13) и вместо (19) — (20) получаем задачу Лу= — ~(х), Лу=у- +у-, ханс)А, у! „=р(х). (22) 5 ь 3АдАчА днгнхле для углвнвния пуАссОнА 219 Рассмотрим произвольную конечную область С с границей Г в пространстве р измерений; х = (х„х<, ..., хт) — точка с координатами х„х„..., х .
Построим сетку в области С= С+Г. Для простоты изложение проведем для двумерной области (р = 2). Конструктивно будем использовать следующее предположение о форме области С: пересечение области С с любой прямой, проведенной через внутреннюю точку хж С параллельно оси координат Ох„(а=1, 2), состоит из конечного числа интервалов. Пусть начало координат лежит внутри области С. Построим два семейства эквидистантных прямых х, =<Ь„<,=0, ~1, ~2,...,х, =<Ью <,=0,~1,~2,..., (<О . (9) где Ь, >О и Ь,)0 — фиксированные числа. Плоскость (х„х,) разобьется этими прямыми на прямоугольники со сторонами Ь, н Ь,.
Вершины этих прямоутольников с координатами х, йЬ„ х, = <,Ь, назовем узлами, а множество всех узлов — решеткой на плоскости (х„х,). Узлы х<=(<<Ьи (<Ь,), лежащие внутри области С, назовем внутренними; множество всех внутренних узлов обозначим ы< = (х< вз С). Точки пересечения прямых х,„= < Ь<„сс = 1, 2, с границей Г области С суть граничные по ба) направлению х, узлы. Множество всех граничных по направлению х узлов обозначим т<л ПУсть Т< = '(ь <+ ть < — мно-, жество всех граничных узлов, т.
е. узлов, граничных хотя бы по одному направле- <г г г г г г нию х„. Множество всех внутренних и граничных узлов называется сеткой ы< = ы< + + тл в области С (рис. 11). Проведем детальную клас- гг г г г г сификацию внутренних узлов. Возьмем какой-либо внутренний узел х <к ы< и проведем через него прямую, параллельнуго осн Ох„.
Ее Рлс. й(. пересечением с областью С будет интервал (или несколько интервалов), концы которого являются граничными по направлению Ох узлами. Рассмотрим узлы на этом интервале. Ближайший к концу интервала узел назовем приграничным по направлению Ох (по х ) узлом. Если его расстояние от гранйцы ть есть Ь ФЬа,то такой узел являет- Ф ся нерегуллрным по х„, Пусть ыь,а — множество всех пригранич- ° ° ных по х, узлов, а в<а,а — множество тех приграничных узлов. 220 Гл' ш, схемы лля уРАВнений эллиптическОГО типА которые являются нерегулярными по направлению х .
оо о Очевидно, что ал,о'=ыл,о Обозначим через юл множество всех ириграничных узлов (т. е. приграничных хотя бы по одному на- оо правлению), а через элл совокупность всех нерегуяярнлгх узлов (т. е. нерегулярных хотя бы по одному направлению х, или х,). о о о Пусть елл — дополнение лгл до вл, т. е. ыл = юл + юг. Узлы, принадлежащие сэо, будем называть строго внутренними узлами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
