А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Это позволяет снизить требования гладкости й, д, 7, которые попользовались при оценке порядка точности схем (16) — (17) не $2. $8. Методы построения разностных схем 1. Общие замечания. Из предыдущего ясно, что разностные схемы должны отражать в пространстве сеточных функций основные свойства дифференциальных уравнений такие, как оамосопряженность, знакоопределенность оператора, выполнение определенных априорных оценок (например, соблюдение принципа максимума) и др. Кроме того (и прежде всего), схема должна удовлетворять требованиям разрешимости и устойчивости, аппроксимации и, следовательно, точности определенного порядка, н, наконец, вычислительный алгоритм должен быть экономичным. Экономичность зависит не только От схемы, но н от выбора способа решения раэностных уравнений и от выбора сетки, которая, вообще говоря, 'должна быть неравномерной н учитывать поведение решения.
Получение схем заданного качества является важнейшей задачей теории. С некоторыми способами построения разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений мы уже познакомились. Простейший и, так сказать, «естественный» способ состоит в выборе шаблона и задании на этом шаблоне разностного уравнения с неопределенными коэффициентами, которые могут зависеть от узла сетни и от шага сетки. Требования разрешимости н аппроксимации приводят к ограничениям на произвол в выборе коэффициентов, однако эти ограничения слабы, и мы получаем бесчисленное множество (например, многопараметрическое семейство) схем.
Далее можно требовать однородности, консервативности'схем и последовательно сужать класс допустимых схем. По существу этот путь продемонстрирован в $1 — 3. В настоящее время получил распространение ряд методов получения раэностных схем заданного качества: 1) интегро-интерполяцнонный метод (см. $2, п. 2); 2) вариационно-разностные методы (методы Ритца и Бубнова — Галеркина) и метод конечных элементов; (3 л л. самарснаа 194 1'Л. Ш.
ОДНОРОДНЫЕ РАЗНООГНЫЕ СХЕМЫ Введем равномерную сетку на отрезке О <х < 1: . елл=(х» (й,1 О, 1, 2, ..., )У, )лУ-1). Проинтегрируем уравнение (1) на отрезке х1 ~ х < хы,. ж+1 и~л+л — юл = ) (йи — )) с(х = Ф1+и в = 1сй. лч Поток — и здесь, в отличие от з '2, берется в том же узле хо что н искомая функция. Позтому вместо й,+в мы возьмем аппроксимацию (и,+, + ю,)/2, полагая 0,5 (и;+л + и>1) ж а;+,и-„г+,, где а;+, — некоторый функционал от й(х) на отрезке х, <х <х,+, такой, что а~ й(х<-л,л) + 0(йл). После исключения в, иа (3)- и (4) найдем йлы и ол+,и„-,л, + — Фьы Вычитая отсюда 1 л.
1сл = ил~„-,.+ з и учитывая (3), получаем лч+л Ф+Ф+, 1 Р (иих)» гЛ Н ) (ди — ~) Ых. (5) Для аппроксимации интеграла, стоящего справа, можно использовать разные кзадратурные формулы, например, ли+1 1 — (ои — )) йх см (ои — ))ь 3) метод сумматорного тождества; 4) метод аппроксимации вариациопного функционала. 2. Интегро-иитерполяциониый метод (ИИМ). В т .2 мы уже рассматривали ИИМ, однако иллюстрировали его возможности недостаточно полно. Здесь мы остановимся на других вариантах его применения.
Пусть дана задача (хи')' — д(х)и = -У(х), О < х < 1, (1) )ол' — о,и = — р„х О, — йи' — о,и = — р„х = 1, (2) О<с,<)с(х) <с„о,~О, о,~О, о(х)~О. $8. методы постРоения Рззностньгх схем 195 нлн Х1+1 — (йи — )) дх — Яи — ));, + 2(ди — ~)1 + (ди — ф+,) = ( р з» .) 4 х~-1 аз = (ди — ))8 + — (ди — ))-,. (формула трапеций). В результате получим две схемы точности 0(Ь'): (су„-), — И = — Л ( - ° .). з' ~ ! ьз СУ- — 4 (дУ)-„) — дУ = — ~/ + — ~- ). (7) Для аппроксимации краевого условия, например при х = О, возьмем (3) при $ = О: Ь 8О,— и = ) (ди — ))Ых, и подставим сюда 8 ( (* Р Ю,жа,их,о+ З ) (Ди — ЛНХ, и'8=(йк)о=Отце рп 8 л ( (' так что а,и„,о — (о,ие — р,) ж — ) (ди — Д Их.
После замены 8 л (дп — Д Нх ж (ди — Дд)8 получим для р, краевое условие с погрешностью аппроксимации 0()8') при х= О: а,ухл = о,у, — (зо О, = о, + 0,5)89„(8, р, + 0,5Ь|,. (8) Аналогично запишется разностное краевое условие третьего рода (2) при х т. До снх пор мы рассматривали варианты ИИМ, основанные на использовании уравнения баланса (метод баланса).
Перейдем теперь ко второму способу построения однородных разностных схем при помощи ИИМ, основанному на двухкратном интегрировании уравнения (1). Проинтегрируем уравнение (т) от х, до х: х ш(х) — в8= ) (ди — ))дх. (9) х8 196 гл. П1. ОднОРОдные РАзноотныВ схимы Затем интегрируем это тождество по х от х1 до х1+1 и от х1 1 до х, хее1 хг+1 (Хх — ~в= 1 1 1(х — Хх), ('.и"--х- ( ~*5 -х ) ~Ч-1 хг — 1 11 х1 Меняя порядок интегрирования, преобразуем хн-1 хы1 с(х ~ (ди — С) 1СС = ~ (х1+1 — С) (ди — С) г(С, х1 ж х1 х хг Ых () (ди — С) й1 = — ) (С вЂ” х1,) (ди — С) Ж. «» 1 1х1 / 1-1 (10) На каждом из отреаков (х, „х) и (хч х,+,) функцию и(х) линейно интерполируем: и (Х) ж и; + (Х вЂ” Хг) их,г ПРИ ХС ( Х ~ (Хг+„ и(х) юи1+ (х — хг) и-1 при х 1(х(хг, после чего вычисляем интегралы х 1+1 юдх= ) хи'1Схжи„1 ') х(х)Их, ) шг)хжи„-, ) х(х)с(х, хг хг х1 , х1-1 хг хг — ) ди(С вЂ” х,,)СС= Ч-1 ж — и1 ~ д(С)(С вЂ” х1 1)сСС+и-„1 ~ д(С)(хг — с)(С вЂ” 'х; )11С, хг-1 :Ч-1 Х1+1 (хг+1 — С) ди с(С ж 'Ч+1 Хг+1 миг ~ д(С)(хг+1 — С)~И+ ихг ~ д(С)(х;+, — С)(С вЂ” х1)гСС.
х. Подставляя эти выражения в тождества (10) и (11), вычитая из $8. методы пОстРОения Рззностньтх схем 197 первого тождества второе, приходим к раэностной схеме (ау„-) — з(у = — ~р, х1 91 и1= ь 3 й(з)" л 3 ч(з)( И -)аз $ Г (12) 'Ч-1 х1 хи+1 9 — *,)ч(9х4- 1 (*„,— 91(9М~. 'Ч-1 91 Правая часть ~р~ выражается по той же формуле, что и А, с заменой д(з) на ~(З). Формулы для а< и 4 можно записать в виде 9 9 а1 = ) й(х9+ей)из+ йз ) з(1+ 9) д(х9+ей) ~Ь, -1 -1 9 1 111 = ) (1 + з) д (х» +зй) 1(з + ) (1 — з) о (хз+ зй) ~й. -1 9 Если й и о — постоянные, то ь' 6 'в' (13') (13) хх — Ф„, + ().
(15) На всех других отрезках (х» х191), (чьи, выполняется тождество (3). В результате вместо (12) мы получим схему (аУ„-)„, — О1У1 = — 1РО В дальнейшем мы убедимся в том, что схема И2) совпадает со схемой, получаемой вариационно-равкостными методами (ме' тодом конечных элементов). ИИМ удобен для получения равностных схем для задач с сосредоточенными факторами. Пусть, например, в точке х $ сосредоточен источник тепла мощности 9, так что решение аа» дачи (1) †(2) удовлетворяет условию (и] =О, [й„— "1 = -Д при х = $. (14) пу 3= „+ей, о<в<1, х„~в< „„, и>о. нпипгем уравнение баланса (3) на отрезке х„<х<х„+1.
хх+1 иЪ,.~1 — и~и+ [и1) = ~ (ци — 1)Йх, 198 Гл. Мь одноРОдные Рьзностные схемы где (16) т. е. источник «размазал» на два интервала. Если же писать тождество для отрезка Ьа и», лип»), то мы получим схему (ау-) — ду = — <р, ~р„+» = 1„+, ~»„ = 1„ + †„ (17) 0 прн 0<8<0,5, ф»+»=1»+»+ — „, <в=1» 0 эквивалентна задаче о решении уравнения Ам=1. (19) Элемент и,жН, удовлетворяющий уравнению Аи, 1 и реализующий пппЛи) Ли,), единствен. Вводится последовательность конечномерных пространств У„ с базисом (<р« 1, 1 = 1, 2, ..., и.
Метод Ритца заключается в том, (в) что ищется элемент и„ы У„, минимизирующий функционал Ли) в У„. Приближенное решение и„представим в виде и„= ~~'., уррз (20) 3» с неизвестными коэффициентами у„у„..., у„. Подставляя это выражение в формулу для Ли), находим а з 1(и„) = ~ апу«у; — 2 Д ~;уь аю» ь» (21) прн 0,5<9(1. Следует отметить, что интегро-интерполяционный метод является весьма гибким и общим способом получения разностных схем для стационарных и нестацнопарных задач с одной или несколькими пространственными переменными.
3, Вариационно-разностиые методы (методы Ритца и валеркина). Для получения разностных схем можно использовать варкационные методы Рятца и Бубнова — Галеркина. Пусть А — самосопряженный и положительно определенный линейный оператор в гильбертовом пространстве Н'со скалярным произведением (,), а 1 — заданный элемент из Н. Задача о минимуме функционала Ли) =(Аи, и) — 2(и, 1) (18) $8. ИетОды постРОения Рьвносткнх схим 199 где Чтобы получить равностную схему методом Ритце для вадачи (йи')' — ди= — !(х), 0<х< 1, и(0) =О, и(1) =О, (24) рассмотрим функцию О, г< — 1, г>1, Ч(г) = 1+ г, — 1<г<0, 1 — г, 0<э<1, (25) и в качестве бависных функций «р«(х) вовьмем функции ! х — *«) р«(х) = Ч ( — „) = Ч (х), (26) где х«=й, 1=1, 2, ..., Л вЂ” 1,— увел сетки ел=(х«=«Ь, 1=0, 1, 2, .:., Ж, ЙУ 1).
Иэ предыдущего ясно, что Ч«(х)='0 прн х<х«, и х)х«+1, г »1 Ч«(х) = — „' при х«,<х<х», г«+1 Ч«(х) =, при' хе<х<х«+, и, следовательно, (25') О, ' х<хе „х)х«+1 1 х«1<х<хо (27) ч Ь« — х«<х<х«+1. ««! еи'« Подставляя в (22) Аи = — г — (!е д— ) + Уи«нахоцим 1 1 Р! дэ«гч;~ аи= ~ ~й„— г,')+ ДЧ«ЧЗ) «(х, ()1 = 11(х) Ч«(х) Ах. (28) е е Ив свойств функции Ч«(х) и ее проивводной следует, что магри« ца (сгэ) трехдиагональная, так как отличны от нуля лишь элементы с1=1 — 1, 1=1и1 1+1. аэ=(Ар„р,), ()«-К р«). (22) Так как А =А» — самосопряженный оператор, то ао ае«. 1[и„) есть функция и коэффициентов у„у„..., у„. Приравнивая нулю проивводные д1(и ~!ду«и учитывая, что сэ«=аг, получаем для определения у, п уравнений ~ аму; — ()« = О, 1 = 1, 2,..., и.
(23) 1 200 гл. Ыь одноРодяые Р»(зностныв схемы Вводя обозначения а( -Ьп»,» „Ь*((» Ьа,,»+Ь(а»,»»+и»,»+ будем иметь Х( ( р ( р а(= — ) Ь(х)((х — Ь ) д(х)(х — х( 1)(х( —. ь ) о(х)(х — х» 1)Нх+ ~ о(х)(х(».1 —, или (ауц, — »)у = — »р, где »р( =— »»(+1 ~ (х) (х — х(,)»(х+ ) 7(х) (х(».(в » 1 »»( т. е. »р» вычисляется по той же формуле, что и (»». Таким обраэом, методом Ритца построена трехт( (30) — (32), совпадающая со схемой (12), получе( мощи ИИМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
