А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В отличие от метода Ритца метод Бубнова — Г( меним и для несамосопряженных и неэнакоопреде; В этом случае коэффициенты. р( приближенного ищутся иэ условий ортогональности невяаки Аи, базисным функциям ц»(х): (Аи„— Л, ()») =О, ( 1, 2, ..., и. Рассмотрим несамосопряженную краевую эадачу (Ьи')'+г(х)п' — д(х)п -У(х), 0<х(1, и(0)=п( Ь(х) ~ О, д(х) ~ О. Введем сетку е»1 (х»=1Ь, $0, 1, ..., »т', ЬР размерность л пространства т'„равна Ф вЂ” 1. Выб стве баэиса функции х — й( г)((х) = () ~ — ), $ = 1, 2, ..., Л( — 1 и где ()(з) определена согласно (25). В реэультате систему уравнений а»»»у»»+а»,»у»+а»,»+»р(+» — ()»=0 еапишем в виде ау»- — (а +а+ + Ьо»)у»+а+»у+ +Ь*р»- $8.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЬТХ СХЕМ 2О1 Условие (33) Х »=1 Где 1 принимает вид а»»у; — р»=0, »=1,2,...,Л» — 1, (35) ЕЧ» УЧ» ЕЧ» д, — — г (х) — »)» (х) + у (х)»)» (х) тб (х))»(х, (36) 1 ~ ~ (х)»)» (х)»(х, », у = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1, 8 '»»»»= ~(й(х) е Коэффициенты»»о в силу определения (25), (25') функции»)»(х) отличны от нуля только при у » вЂ” 1, 1, $ + 1, Если воспользоваться обозначениями (30) для а» и б», (32) для»р» и положить х» е Ь» = — ) г(х)(х — х»»)»(х= ~ г(х + й)(1+ )» Г ь' х»» -1 х»».» 1 Ь» =-8 г(х)(х»+» — х)»(х= »Гг(х +зй)(1 ) (8 ь (37) Б результате мы получаем разностную схему (ау-) +Ь у-+Ь+ух — »»у = — »р(х), 0(ххх 1й(1, х х х ' (39) у — о, у — о, коэффициенты которой определяются из (30), (31) и (37).
При г(х) 0 эта схема совпадает со схемой (31) — (32), полу- ченной методом Ритц а. В случае постоянных коэффициентов й(х), г(х), д(х) имеем а»=й — —,д, 4=»(=д, Ь» =Ь»+=-" и Ь у-+Ь+у =гу~. При указанном выше выборе координатных функций»р,(х) = т»( ь ) методы Ритца и Бубнова — Галеркина совпадают с методом конечных элементов. то систему уравнений (35) можно записать в следующем виде: 1 ь» (У» У» вы») йз —,(а»+ (у»+ — у») — а»(у» — у»-»))+ л ' + +Ь», — »»»у»= — «р», 1=1,2,..., »т' — 1.
(33) + (У»+» У») гл. па одноводньгк вазностнык схвмы 202 4. Метод аппроксимации квадратичного фунвционала. Краевая задача 1и = (йи')' — д(х)и =-У(х), 0 <х(1, и(0) =О, и(1) =О, н *~ и 1(и) = ~~ ) й(и')Чх+ ~ ~ (диэ — 21и) Их. 'Ч-г 'н~-1 После этого аппроксимпруем интегралы й$ Й (и')'ах ж аг (и„-,.)'Й, Ч-г (ди' — 21и) гЬ ж — ((диз — 21и)~ + (ди* — 2~и)< г), где а~ — функционал, зависящий от Й(х) на отрезке хьо хайль ьч $ г напрэмер а~= — ) й(х)гЬ, аг= й~ ь и др. ч$ Таким образом, вместо Ли) мы получаем функционал н-1 1ь[у) = ~', а; (у-,)ей+ ~ (д;у~~ — 2~ду~) Ь, (41) где у — произвольная сеточная функция, обращающаяся в нуль при 1=0, 1=)У: у,=у„О.
1Ау) есть функция )У вЂ” 1 пере- менных у, уч, ..., у -ь Приравнивая нулю первые производные а1„ — „= 2ачч.гу„д ( — 1) + 2а~у„-, + 2д~у~й — 2~<Й, аг, получаем разностные уравнения (ау„-) — ду = — 1(х), х = )Ь. (42) эквивалентна задаче об отыскании минимизирующего элемента функционала (см. и. 3) 1 1 1(и) = ~(й(и')'+ ди") ах — 2) 1ийх.
(40) е о Уравнение йи = — 1(х) является уравнением Эйлера для этого функцвонала! (и)х Введем сетку из=(х =И, $0, 1, ..., Ж, Ь)у=1)'и на ней аппроксимируем Ли), записав его предварительно в виде 8 8, методы пОстРОения РАзностных схем 203 при любом е ~0). В результате получим 1 1[и) = ) (й(и')е+ оие — 2»и)»»х — 2()и ($). е (43) Если 6 =х„+О)», 0 0(1, то и($) заменим и„при 0< 0,5 и и„+, при О ) 0,5. Напишем л я-» 78[у) = Х о (рй»)е)»+ Х (»)»у» — 2р;у) я, (44) где »р» = 1»+ — 6»„при О(0,5, О В ев )»+ Ь бсвтд при О) 0,5 е (45) (6»,— символ Кронекера).
Приравнивая нулю дИду», получим схему (арй) — »)у = — »(» с правой частью, определяемой формулами (45). В случае неравномерной сетки о»е (хо»=0, 1, ..., )е', х,=О, хв 1) вместо (44) будем иметь я л-» А [у) = Х а (р;»)'й»+ Х (»1»у» — 2»р»у») йв е=т »=» В частности, всегда можно выбрать сетку так, что $ х„ будет узлом сетки и »Рв=)в+ 1»Р» =7»э О ав Приравнивая нулю производные дуе[р)/ду», получаем схему (ау-)-» — »)»у»= — »р», $ = 0,2,..., У вЂ” 1. (46) 5. Метод сумматориых тождеств (метод аппроксимации интегрального тождества).
Для решения задачи Еи=(йи')' — »)и= — 7(х), 0<х<1, (47) е е йи =О,и — р„х=О, -йи =о,и — рм х=1, Рассмотрим задачу (1) †(2), (14) о сосредоточенном источнике тепла. В этом случае в формуле (40) »(х) надо заменить )(х)+б(х — $)(), где 6(х — $) — дельта-функция Дирака $+е (6(х — $) = 0 при хчь$, 6(х — $) = со при х =4, ~ 6(х — $)»)х=1 $-е 204 гл, пх одноиоднык идэностнын схимы справедливо интегральное тождество д 1 (и, и) = ) (Ьйи' + дии — )и) Их + ода (0) и (0) + о + оди (1) и(1) — )дди (0) — реи(1) = О, (48) где и = и(х) — произвольная функция, непрерывная при 0 Кх< 1 и имедощая интегрируемую в Ед(0, 1) производную.
Оно служит для определения обобщенного решения задачи (47). Для построения разностной схемы на равномерной сетке еде (х, дЬ, д О, 1, ..., )о, Ь)д 1) аппраксимируем интегральное'тождество (48) сумматорным тождеством для сеточных функций, например, и и-д Хо(У, и) = ~~Р~а~р- и- Ь+ д; (дддд — Яи,Ь ) мд од + сгдуоие+ одунин — рдие — раин = О, (49) где и,— произвольная сеточная функция.
Здесь а,— любой иэ коэффициентов вида а, А(Ь(х,+гЬ)), — 1~э<0, обеспечивающий второй порядок аппроксимации: а, = Ь» д,е+ 0(Ь'). Нетрудно заметить, что о, а, + 0,5Ьд„о, а. + 0,5Ьд„, )д, ру+ 0,5Цо, ре )де+ 0,5Цю если воспользоваться формулой трапеций для вычисления интегод ралов ) (ди — д)д(х, так как од-д о ) (ди — ))Их = 0,5Ь(да — ))о+0,5Ь(ди — ))д о и т.
д. Полагая, например,ид = баде, 0<д,<)д,и учитывая, что =0 при 1<о и $)де+1 и- =М, и + = — МЬ, полу чаем при 1 $, с + 1 1Ь + ( г ) о э аиили (ау-) — Ыу = — ). Если щ = бее то д' д= ( — 1/Ь) бдл и тождество (49) дает ( 1)Ь) адуод + пдуо рд = О нли аду а —— одуе — рд, и аналогично 205 з э, козффицивнтнля тстончивость при о« = б«, и получаем — (ау )и = огуи — )гг. Таким образом, мы приходим к разностной краевой задаче (ау„-),— «(у = — ~, 0<х = «а(1, а«уюз = о«уо — )««, — аиу-„, = а,уи — («г. 3 9. Коэффициентная устойчивость 1.
Коэффициентная устойчивость ревностных схем. При решении задачи для дифференциального уравнения может оказаться, что коэффициенты уравнения вадавы не точно, а приближенно (находятся при помощи некоторого вычислительного алгоритма, в результате физических измерений и т. п.).
Коэффициенты однородной разностной схемы являются функционалами от коэффициентов дифференциального уравнения. Погрешность в определении коэффициентов схемы может быть вызвана несколькими причинами: погрешностью в вычислении шаблонных функционалов, погрешностью в задании коэффициентов дифференциального уравнения, ошибками округления. Будем называть схему яоэффициеитно-устойчивой (хо-устойчивой), если при малом возмущении коэффициентов схемы решение краевой задачи меняется также мало. Пусть задана схема с коэффициентами а, И, «р: Лу = (ау-)„— Ну = — ф, О < х = ()г < 1, у(0) = О, у(1) = О. (1) Рассмотрим эту же схему с возмущенными коэффициентами Е, а', «р (для упрощения считаем граничные значения у(0) и у(1) нееозмущенными): Лу = (ау-)„— «(у = — «р, 0 < х = ЮЬ < 1, у (0) = О, у (1) = О.
(2) Будем предполагать, что выполнены условия а(х) > с, > О, а(х) > с, > О, «1(х) > О, «1(х) ~ О, с, — сопэг > О, (3) с, не зависит от сетки. Оценим равность г у — у через величины возмущения коэффициентов. Подставляя у = г+ у в (2) и учитывая (1), получаем Хг = (аг-)„— «(г = — Чт, ге = ги = О, (4) где Ч.' = «р — «р + (Л вЂ” Л) у = ф — «р + ((а — а) у-) — («1 — «1) у. (5) 206 дл. пь одногодддьгя Разносхнын схимы Из (4) видно, что Ч' можно записать в виде Ч' = фс+ Оса (6) где (7) р = (а — а) у-, а д) определяется из условий ц„ = ф — ф — Ы вЂ” 8)у, д), = О, так что ь-д д)» = ~~' й ((фд — фд) — (сдд — дЦ) уд], д = 2, 3, ..., Ф, д)д = О.
(8) д=д Воспользуемся оценкой, полученной в $ 3, п. 3 для (4) †(7). Тогда из (6),(7) и (8) находим для решения задачи (4) †(7) ! з !с < — ((1, ! (а — а) у- ! ]+ (1, ! Ч ! ] ! д Нам потребундтся оценки для у и у-„д ]у] < — (1 ]ф!) 1у-.1.< — ( ]ф!)- Они получены в т 6, п. 2. Учитывая теперь неравенства (1. ]Ч]]<(1 ]Ч]]+(1с]1 — 8!)]у]]~< < (1, ! с ! ] + —,' (1, ! с) — с( ]) (1, ! ф ]), д д-д где Ъ=~ й(фа — фд), д]д — — О, д = 2, 3,...,дд', а также а-д (1, !(а — а) у„-!~ < — (1, ]ф!)(1, ]а — а]], д убеждаемся в том, что верна оценка ]]у — у]с < —,((1 ]Ч]]+ —,(1, ]ф!)((1, Й вЂ” с)!)+(1, ]а — а]])~, Сд д д (9) где у» — решение задачи (1), уд — решение задачи (2), если при этом выполнены условия (3).
Вместо (9) можно написать более 'грубукд оценку !у — у!с< — „. ](1,]ф — ф!)+ —,(1 ]ф])((1 ]а — а]]+ дд д + (1, ]Л вЂ” 8!)ф (1О) Если (1, ]д)!1=у(й), (1, ]а — а]] р(й), (1, ]сд — дд]) =р(й), 3 з. коэФФицивнтная устоичипссть 207 где р(Ь) — 0 при Ь- О, то схемы (1) и (2) ко-эквивалентны н при р(Ь) =0(Ь") имеют т й порядок ко-энвивалвнтности.
Если схемы (1) и (2) ко-эквивалентны и схема И) сходится, то и схема (2) сходится. Это следует из неравенства 1у — и1в < 1у — у1в+ 1у — ибв ' 0 при Ь!ч",О. Свойство ко-аквивалентностн однородных схем (1) позволяет оценивать порядок точности данной конкретной схемы путем сравнения, согласно (9) или (10), ее коэффициентов а, а, чр с коэффициентами й, й, ~р некоторой эталонной схемы, порядок точности которой известен (ем. 3 7, н. 2). 2. Хоэффициентная устойчивость операторных урзвнеинй первого рода. Дадим общую формулировку введенного в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
