А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В случае разностпой схемы для задачи Дприхле (24) — (26) из 2 1 определение связности (4) совпадает с определением, данным в $ 1, п. 4. Из этого определения ясно, что точка Р может быть граничной и, следовательно, связность означает, что каждая точка границы принадлежит окрестности Ш'(Р), по крайней мерв, одного внутреннего узла. Вводя обоаначение (6) тбе 2'у (Р) = А (Р) у (Р) — ~ ' В (Р, ()) у (Д), (5) О ШЧР) можно записать уравнение (1) так: Уу(Р) Р(Р).
Нам понадобится и другая форма записи Уу(Р): Ыу(Р) = В(Р) у(Р)+ Х В(Р, Е(у У» — у Д). (7) Ч»ШЦР) В предыдущем параграфе рааностная задача Дирихле была приведена к виду (1), (3). Рассмотрим в качестве примера для уравнения теплопроводности з, — — — ~+)(х,ю), 0<х(1, 2>0, и(х, 0) = из(х), и(0,2) = р,(2), и(1,2) = рз(Ф) так называемую схему с весами. Эта схема на сетке в1.=((х, (я, 21 — — ут), 1=0, 1, ..., Ж, яФ=1, 1=0, 1, ...) имеет' вид 2+1 1 "' = Л (ау(+' + (1 — а) у))) + ф)' т. (8) Лу= у-, у; = и ( 1) у' =(21(2))1 уь) =)12(2;). 228 гл.
гч, схкмы для тглвнвнии эллиптичвокого тянь Запишем эти рааностные уравнения в канонической форме (1). В этом случае Р есть узел сетки вм: Р = Р(хь С,+~), Ш'(Р) сос ои нз уз ов ч,=(хь г;), ~,=(х~ „гы,), 9~=(д~о гы ), 9,=(х, о 1,), ~),=(хио 1,), граница 7 состоит из узлов (хь О) и (О, 1,), (1, Г,), 1=0, 1, ..., )т', ) =О, 1, ... Фиксируем некоторый момент г = гг+, и перепишем (8) в виде (т + ьг)уг о В+г З+г ! 1 2(о — 01 р (1 — о) ~ В ) ( — 1 + Усьг) + ( + 2 ) У1+ 2 'Уг — 1+Уг+1) + чь ь ( ь ) ь' Отсюда видно, что коэффициенты В(Р, ()) >О только при ъ( ьг (~2 и 0<о~(1.
Кроме того, получаем В(Р) =О. 2. Принцип максимума. Теорема 1 (принцип максимума). Пусть у(Р) Ф сопз1 — сеточная функция, определенная на связной сетке в, и пусть выполнены условия (2), (4). Тогда из условия Уу(Р) (О (Яу(Р) >0) на в следует, что у(Р) не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения во внутренних узлах Ры а. Докааательство. Пусть дано м'у(Р) <0 во всех внутренних узлах Р~в а. Предположим, что у(Р) принимает наибольшее положительное значение во внутреннем узле Р ~в е, так что у(Р) =шаху(Р) =Мь)0. Теорема будет доказана, если мы покажем, что существует внутренняя точка Р, в которой 2'у(Р) ) О, что противоречит условию Ыу(Р) (О.
Так как у(Р) >у®) для всех ДыШ'(Р), то Жу(-) = (Р)у(Р)+ Х В(РЯ)(у(Р)-уа))) ояш Р> )В(Р)у(Р))О, так как В(Р) > 0 н у(Р) > О. Пз скааанного выше ясно, что надо рассмотреть лишь случай Уу(Р)-О. Это возможно, как показывает формула (7), лишь при Р(Р) О, у(()) = у(Р) для всех () ы Ш'(Р).
Возьмем теперь увел Р, ы Ш' (Р), в котором у(Р,) = у(Р) = Мн п повторим рассуждения. Так как у(Р) Фсопз1 на гв и сетка связная, то существует такая последовательность узлов ЄЄ... ..., Р, Р, для которых выполнены условия (4), что у(Р ) =у(Р) =М„а у(Р) <М„РшШ'(Р„). Тогда Я'у(Р ) ) В(Р ) у(Р ) + В(Р, Р) (у(Р ) — у(Р)))~ )В(Ри, Р)(у(Р) — у()т)) ) 0 3 3. ПРИНЦИП МАКСИМУМА 229 т.
е. Р = Р„ и первое утверждение теоремы доказано. Второе утверждение сводится к первому, если заменить у(Р) на — у(Р). Следствие 1. Пусть выполнены условия (2), (4) и сеточная функция у(Р), заданная на се+у, неотрицательна на вранице (у(Р) ~ 0 при Р ш '() и лгу(Р) > 0 на св. Тогда у(Р) неотрицательна на се+ (, т. е. у(Р) > 0 для всех Р ш се+ у.
Если же у(Р) Я) 0 на '(, м'у(Р) < 0 на со, то у(Р) < 0 на св + "(. Доказательство. Пусть сну(Р) > 0 на со, у(Р) >0 на (. Предположим, что у(Р,) < 0 хотя бы в одном внутреннем узле Р, с- =се. Тогда у(Р) должна принимать наименьшее отрицательное значение внутри се, что невозможно в силу теоремы 1; так как у(Р) чьсопзс на св(у(Р ) < О, у), ~ 0).
Второе утверждение доказывается аналогично. С л е д с т в и е 2. Однородное уравнение (1) с однородным краевым условием Ыу(Р) = 0 на се, у(Р) = 0 на ( (9) имеет только тривиальное решение у(Р) О. Нетрудно заметить, что у(Р) 0 есть решение задачи (9). Пусть существует решение задачи (9) у(Р) Ф О. Если у(Р) чь 0 хотя бы в одной точке, то, в силу следствия 1, должны одновременно выполняться неравенства у(Р) > 0 и у(Р) < О, что возмонсно только при у(Р) О. Тем самым доказано Следствие 3. Существует и притом единственное решение задачи (1) — (4). 3. Теорема сравнения.
Мажоранта. Т е о р е м а 2. Пусть у(Р) — решение задачи. (1) — (4), а У(Р) — решение задачи ЖУ(Р) =Е(Р), Ршсе, У(Р) =)А(Р) при Рсит. (10) Тозда из условий !Г(Р)! <Р(Р), Р си ю, !)с(Р)! <)с(Р), Р ш т, (11) следует неравенство ~ у(Р)1 ~ У(Р) при Р сн се + т. (12) До к аз атель ство. В силу следствия 1 справедливо неравенство У(Р) >0 на се+ т. Функции и(Р) =У(Р)+ у(Р) и о(Р) = = МР) — у(Р) удовлетворяют уравнениям 2'и = Р„= Р + Р ~ О, ,УР=Р.=Р— Р>0 и граничным условиям и)с=(У+у)(с= =)с+)с~О и о!с=(~ у))т=)с )с>0. Так как условия следствия 1 выполнены, то и) 0 или у> ~ -У, о> 0 или у < У. Отсюда следует, что — У<у< У или !у(Р)1-< У(Р) на се+Т.
Функция У(Р) называется мажорантой для решения задачи (1) — (3). Если она найдена, то мы сразу получаем оценку для Ь1е. 330 Гл. Гт, схемы для углвнении эллиптическОГО типА Следствие. Для решения задачи 2'у =О на се, у(Р) =)г(Р) на 7 справедлива оценка шах (у(Р) ~ = ) у)д((~ рЦ, (43) ($4) где $ р $с = шах ~ (а (Р) ~. Рнт В самом деле, определим мажоранту У(Р) условиями 2'У=О йа ю, У = ~ р)с на у. Функция У(Р) ~ 0 на в + 7 и принимает наибольшее эначсние в некотором узле. сетки. Этот увел не может быть внутренним, если У(Р) чь сопэс и, следовательно, )У(6= шах У(Р) = шахУ(Р) =~р~с„. Если У(Р) сонэ(, то Рнй+т Рнт У(Р) = 1р)ст.
В обоих случаях ( У(- = ') р~с . Отсюда и иэ неравенства 1УЬ~ ~~1 Щ следует (14). 4. Оценка решения неоднородного уравнения. Решение задачи (х) — (3) представим в виде суммы у=у+" где у(Р) — решение однородного уравнения 2'у = 0 на в, у р(Р) на "(, (15) а о = Р(Р) — решение неоднородного уравнения 2'с(Р) =Р(Р) на а, г(Р) = 0 на 7. (46) (17) Доказательство. Рассмотрим мажоранту У(Р): 2'У = (Р(Р) 1, У!, = О, У(Р) ~ О при Р ж со + т. Пусть У(Р) принимает наибольшее значение в узле Р, ш а. Так как У(Р,) = зугс, то иэ УРавнениЯ В(Р,) У(Р,)+ ~ В(Р„В(У(Р.) — У(Е)) =(Р(Р.)) Онш (Гв) следует 0(Рз) У(Рг) ~~!Р(Ре) (, У(Ро) ~ р з ~($-В-~, что и требовалось доказать. Для у(Р) уже получена оценка И4). Перейдем к оценке функции с(Р).
Теор е ма 3. Ясли Р(Р) > 0 всюду на сз, то длл решения задачи (46) верна оценка 232 гл. ъч. схемы для уРАВнений зллиптического ттшА е 3. Устойчивость и сходимость развостиой задачи Дирихле 1. Оценка решения развоствой задачи Дирихле.
Воспользуем- ся априорными оценками, полученными в 4 2 для сеточного урав- нения общего вида, чтобы равномерно оценить решение развост- вой задачи Дирихле (24) — (26) из $1: Лу = — (Р е регулярных уалах, Л*у = — (Р е нерегулярных узлах, (1) у = фх) ва границе, где У Лу= 2; Л.у, Л.у =у "а а (т(а) 1 у( У У вЂ” У( Ь а Вводя оператор Л, совпадающий с Л* з приграничных уалах и с Л в остальных внутренних узлах, получим Лу = — (Р хане)ь,у)чь = )((х). (2) Запишем (1) з виде (см.
и. 5 з 1) А(х)у(х)= ~ В(х,$)у($)+г"(х), хане), у) „=р(х), (3) Ваш'(а) где А (х) ) О, В(х, $) )О, Ю(х) = А (х) — ~ В (х, $) )~ О. авш'(а) Представим решение задачи (1) з виде суммы у =.у+ у где у и у — решения задач Лу=О, хша)м у=)( при хш "(м ЛУ = — сР, х(в а)о, У = О пРи х~в "(о.
Для решения задачи (4), е и. 3 з 2 получена оценка ЬЬ<Ь1с„ (4) (5) (6) Представим теперь правую часть (Р е виде о (Р = (Р + (Р о о где (Р =(Р, (Ра = О в строго внутренних узлах, хои е)о (см. $1, и. 4), о (Р =О, (Ра (Р е приграничных узлах хенюь. В соответствии с этим з 3. устоичивость и схюдимость 3АдАчи дирихле 283 ! поло ким у о + юр где р и и — решения задач . а Лр = — 1р при х ~ 1еь, и !т = О, (7) (8) Лв= — <ра при хеи вА, и!т„— — О. Каждую из функций р(х) и 1р(х) оценим отдельно. Для оценки о(х) построим мажорантную функцию У(х).
Предполагая, что начало координат лежит внутри области С, возьмем маясорантную функцию в виде У(х)=К(Л' — гз), г'= ~ч'„', х„' а=1 где К) Π— постоянная, которая будет выбрана позл(е, а В— радиус р-мерного шара,(круга при р 2) с центром в начале координат, целиком содержащего область 6. Учитывая, что Лайзе = О при а чь р и Лаха = [(ха + ьа) 2ха + (ха ьа) 1йа = 2~ а 1 ['( *а + Ьа+) аа Лаха = ~а Ь+ а+ = 20а~ Оа = ()1а+ + ьа-)/2ьа получим р ЛУ = ~ Л„У = — 2рК при ха1ЗА, ЛаУ = — 2р8К-при хек е1А, а 1 р т ~ а где 8 = — г Оа,причем 0 = 1, если увел хене1А является регуляр- а 1 ным по направлению х .
Таким образом, У есть решение вадачи ЛУ= — Р(х), У)„„=К(Л' — гз)! А)О, а. где Р(х) = 2рк при х 1и е11, Р(х) = 2р8к при х ен оь. а а Сравнение с задачей (7), где Р=<р, т. е. Р=О при х~егь, а а и)та= О, показывает, что Р(х) ~ !7(х) ! = (<р(х) 1, если положить $ К = — ! 1р !!с, при этом выполнены условия теоремы сравнения 2 из 2р 5 2; так как Р(х) > !Р(х) ! = О при х ш ва, следовательно, Ь"а ~ < 1! У11,.
284 гл. гт. схимы для тгавнвнии эллиптичвокого типа Из выражения для У видно, что )! Увс< КН', поэтому для рег шения задачи (7) справедлива оценка дз р рз ( ~с- 2р~ Р)с= 2р ~Р~сс„ (9) где $<р$. = Шах (~р(х)!. аЕЕЬ Перейдем теперь к оценке функции и)(х). Покажем сначала, что для задачи (8) Р(х)в-~., где й = шахйа, х ел ее, (1О) л' а Р (х) = О при х ен еы (И) Утверждение (11) очевидно. 1 Рассмотрим теперь приграничный узел х ел с)а и уравнение (8) в этом узле А(х))р(х) = А', В(х,$)шЯ)+г'(х), аеш' (р) Р()= р (), 1„„=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
