А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В случае второй краевой задачи на собственные значения (8) ' пространство Н» =й» состоит из всех функций, заданных на ю», скалярное произведение (,) в Н» вводится согласно (14), оператор А определяется так: А А,+А„ 1 х сВОистВА эллиптических ОпеРАтОРОВ 243 стеной собственных функций для А = А, + А„ при этом собст-' венные значения оператора А являются суммой собственных значений А,п А.: Х(А) = МА,) + Х(А»). 3. Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников.
Рассмотрим теперь область, состоящую из конечного числа прямоугольников со сто- хт ронами, параллельными координатным осям, как пока- т ( Т Т вано на рис. 14. Предполо- ! е .,' жим, что стороны прямоугольников, составляющих ! ! ! область С, соизмеримы. Тогда можно построить сетку (г шагами Ь, и Ь,) так, что граница сеточной области лежит на границе обла- Рвс. 14. сти С. Дополним область С до прямоугольника, который обозначим через С, как это показано на рис. 14. Построим в области С разностную сетку вл и продолжим ее в С. Сетку в области С будем обозначать вл. Пусть и — сеточная функция, заданная на в,, такая, что и(тл = О. Определим функцию (и (х), х еи влл и(х) = ~ О, х ен вл',вл.
Тогда из определения функции У следует, что 1и 1-.„= Й, = М, где, 1и1л=(и, и), ° (и, у) = ~ и(х)У(х)Ь,Ьв ~ и1'- = ~~~ ~йл(х)Ь Ь;, := л Учитывая эти равенства, убеждаемся, что для функции и(х), определенной на сетке вл в области С, справедлива оценка (19). При этом б, = 8 (Ю, '+ Хл '), ллл = 4 (Ь, '+ Ь, '), где 1, н 1, — длины сторон прямоугольника С!.
4. Теорема вложения. Зная свойства эллиптических операторов, можно получить различные априорные оценки в знергетическнх нормах для уравнения Ау = !р. Из энергетических оценок 16» 244 Гл. Тч схемы для уРАВнений эллиптичвското типА может следовать равномерная оценка, т. е. оценка в норме 1у (с = шах ~ у (х) ~. нал Справедлива следующая сеточная о Теорема зло лй ения. Для любой функции у(х) йн О», заданной на сетке ьй»=(х» = О»йо йййй), 1 =О, 1, ..., У„й,=й,/11'„, и=1, 2) и обращающейся в нуль на границе (при х =О, 1„; а=1, 2), имеет место оценка 1уйс ~ ~)(т»1Ау1, (20) йй где АУ = У- — У-, Мй = —, 1, = шах(й„йй). 111»1 йййй Я й/~ 1 т йй Доказательство.
Пусть од д (х) и Хлд,— собственные функции и собственные значения оператора А, найденные вп.1, й =1, 2, ..., )у'„— 1, а=1, 2. Разложим функцию у(х) по системе ортонормированных функций (од д (х)): у (х) =- ~ сд,д ид д (х). 1' й Отсюда получаем Ау= 2.", сд,дЛ»,дол,й, !)у)'= ~ с» д, ~Ау!)'= ~ сдйд)д,д. 1'Дй "1' й "1~" й Оценим модуль функции у(х): ~у(х) ~(~ лч'.1 ~сл,д,)~шах~од 1, (х)~. Из формулы (5) находим ~ од,д (х) ~ (2/'у' 11»й.
Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получаем 1»й 1' й 1 й Теперь остается лишь оценить сумму К вЂ” 1Л вЂ” 1 1 й я= ~);;,,=лД+,')'„,')', л;~,. д,,д, »=1» =1 д,+д,>й Обратимся к формуле (4) для Хд,д, и учтем; что функция (ейпйр~1р) 9 1. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 245 монотонно убывает при О < ф ~ я/2, и поэтому зшф > 2фй: Айй= — ' — ' + — ' — ' = 4 — '+ — ' где ф, пй й„/(21,), а = 1, 2.
Воспользуемся этой оценкой и на- пишем О Л -1Л -1 йййй 16 С~~д~ Сй~ ( 1+ ~) = 16 1-11, 1 1,+й,> й Мг-1 Лй-1 Х йд й 1й 1 1+ й~ а сумму О мажорируем интегралом ав айй 1 О 8 8 16 Учитывая затем что А1,1-:й бй = — + — Ъ вЂ” получаем 1 11 11 ' 11 1 й О й з)О 11 / 1) 1О Я( — + — = — ~п+ — !( —.
О О О О -161 4.16 64 ( 4 / 16 (22) Подстановка (22) в (21) приводит к неравенству (20). 5. Уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения в области С+ + Г=1О: й и — 1(х), хОВС, и = )й(х), хйв Г. (23) Пусть йй (О ~ х, < („а 1, 2) — прямоугольник,' а Ьи = ~л~~~ А~и, г ~и = д— (йа (х) д — "), а 1 й,(Х) — ДОСтатОЧНО ГЛаДКИЕ ФУНКЦИИ, 0<С1<йй(Х)- Св 1З 1, 2, где сй ) 0 и с, ) 0 — постоянные. Обозначим вл= ей+ (й сетку с шагами й, и й„ введенную в и. 1.
Оператор Ь„ аппроксимнруем разностным оператором д / дай Лаи = (а и- ) Ь и = — ~йа(х) — ) где а (х) выбирается так, чтобы Лаи — Ьаи = 0(йа)э 0(с1~ Каа(х) (сй, (24) т. 'е. Л имеет второй порядок аппроксимации, например, аа = (-О.йа) =йа 1 ИЛИ а1(х„хй) й,(х, — 0,5й„х,), ой(х„х,) = й,(х„х, — 0,5й,). 246 Гл, 1у. схемы для 7РАВнений эллиптического типА Оператору Ьи ставим в соответствие оператор Ли = ~ Л„и,а зла 1. даче (23) — разностную задачу Дирихле Лу = — 1р, ханым у =)»(х), хан 72, Лу = (Л, + Л,) у, Лау = (аау- ) имеющую погрешность аппроксимации (невязку) »р = Ли+ 2р = = 0(1Ь)1).
Аппроксимация такого вида является естественным обобщением на многомерный случай однородных консервативных схем, введенных в гл. 111 для одномерного уравнения. Схему можно получить интегро-интерполяционным методом. Нас будут интересовать свойства оператора Л в пространсто ве сеточных функций Я» со скалярным произведением ($5). о Обозначим Ау = — Лу для любых у »и 11. Лемма. Оператор Ау = — Лу= — ~.", Л у, .уееН, само«=1 сопряжен и положительно определен и для него верны оценки с,(АР, Р) < (Ао, Р):=с,(АР, о), (26) с,61Р1*((АР, о) <с»ЛПР1* (27) 2 для любого о»нН, гдеАу = — Лу = — ~~~ у; „, а 6> О, Л >О— «а«а постоянные, определяемые согласно (18) и (19). В самом деле, так как о(ть = О, то из первой формулы Грина для оператора Лао = (аао„- ),а следует, что (Лау, О) = — (а .О-, 21- 1, "а "а)а где Н» П;1 (и1, г)1 = ~~ ю(11Ь„12Ь2) г(1',Ь„»,Ь ) Ь,Ь ~З 1 =1 1 =1 1 2 П,-1 Н, (и г)2 = 2 ~ и2 (11Ь1, 12Ь2) г ('1Ь1 '2Ь2) Ь1Ь2.
1,-1 1,=1 Поэтому (Ао, о) = ~; (аао-,оу ) . а-1 2 С друГОй СтОрОНЫ, ИМЕЕМ (АО, Р) = Д (у-, О- 1а. ИСПОЛЬЗуя « условие (24), приходим к (26). 3 4. 0ВОйстВА эллиптических ОпеРАтОРОВ 247 Теперь остается подставить в (26) двустороннюю оценку а 61иР ( (Аи, и) ~ Л1иР нз п. 2 и получить (27).
Здесь б= Ад —,з1п —" Ь = ~~~ — ~сов 2 — ". .а Неравенства (26) и (27) в дальнейшем будем записывать в операторной форме СА<А(СА, (28) с,бЕ (А ( с,ЬК, (29) где Ь' — единичный оператор. Самосопряженность оператора А =А,+А, доказывается по аналогии с п. 2. Сначала устанавливаем, что Аа — Аа) О, АаУ = — ЛаУ = — (аау,, ) пРи У ~ ЙА. Достаточно рассмотреть, например, при а=1 сумму по строке (при фиксированном»» = 1, 2,..., № — 1) и М -1 $ (А»у) и»,й»= — ~ (а,у-.)„, и,,й,= »» 1 *1 "1 '1 1 И -» 1 М»-» = —,Х у»,(о»иу)а» й»= Х у»»(А»и)»»йи "1 "1'1 1 1 Умножая зто тождество на й, и суммируя по (З= 1, 2, ...,»»», — 1, получаем (А,у, и) (у, А,и) и аналогично (А,у, и) =(у, А,и), отсюда следует (Ау, и) ((А,+А,)у, и) (у, Аи), т.
в. Аа А. 6. Уравнения со смешанными производными. Рассмотрим задачу (23) с эллиптическим оператором Ь, содержащимсмешанные производные » да Ьаднв Ьаэн = даа~йазд. )' (30) а,з=» ъ Предполагается, что выполнены условия эллнптичности с» Х заа(~ 3 йав(х)заазаэ(~се с.'» фв1 хеаС» (31) а-а а,а» *я-1 где с,>0, с, >0 — постоянныв, а В=($„$,) — любой вектор.
Полагая здесь сначала $»=1, Ь=О, а затем $» О, $,=1, убеждаемся в том, что 0<с»<й «< с„а=1, 2. 24$ Гл. дч. схемы для уРАвнвния эллиптическОГО типА Оператор Ь„ри аппроксимируем разностным оператором Лари = 2 ((йари )„+ (йароар)„)1 ( (32) определенным при а ча () па 7-точечном шаблоне (х„х,), (х, ~й„х,), (х„х,~ Ь,), (х,— Ь„х,+ Ь,), (х, + Ь„х, — Ь,) (рис. д5). Представим Л д в виде суммы Лар = 0д5(Лар+ Лар)~ Лари = (йари- )„, Лари =(йариар)„. Покажем, что Лда имеют первый, а ˄— второй порядок аппроксимации Лдди = д дди+ 0(Ьд+ Ьч), Лми = ддди+ 0(~Ь~а).
(33) Рассмотрим . оператор Л ц = (йдди„- ) . Подставляя сюда равложения да л, д*„л,' д „ ад да 2 дд ' 6 да(д' д д ад 1 х, ен [х — Ь, х ], дд = — + — — + 0 (Ь,) ~ад при и=йдди-, получаем ад' Л;,и =йдддд+ — — ~. н — 2 ~ — +О(!Ь!). $ Аналогично находим ди Лддн = д двв — 2 — д'дди + а д'дд д + О ( ~.Ь ) ). Отсюда и следуют оценки (33). При () а=1 и ()=а 2 имеем Лдди = 0,5 ((йпи- ) + (йддиа,)- ) = (адди-„) Л,ди = 0,5 ((йдди- )„+ (йддиа,)„) = (адди- ) В а 6ВОйстВА эллипттгчксгсвх ОПВРАтОРОВ 249 где о с = 0,5 [йп(х1 — Ьи х») + йм(хи х»)), а, = 0,5()см(хм х» — Ьс) + йм(хи х»)).
Отсюда видно, чтоЛааи — Ьааи = 0(йа), а =1, 2. Таким обра- зом, разностный оператор Лу = Х Л.ру а, В»ч аппроксимирует' дифференциальный оператор (30) со вторым порядком Ли — Ьи О(!Ьр). Наряду с (32) можно рассматривать также оператор 1 Лу = ~а~ Хару ЛаВу = 2 ((йаруар)аа + (йаруа )„. ]~ а. Вс Г имеющий аппроксимацию О( ! Ы'). Исследуем свойства оператора Ау = — Лу для любого у сн » сн й.
= Н. Оператор Ау = — (А у+ А+у) А у= — ~,' (йру,)„-, , В- »а А+у = — ~~.", (/сару„- )„а, а.р 1 является самосопряженным: А А* при й„йго и для него верны оценки (28), (29). Рассмотрим отдельно А и А+. Для любых у, Оси Н формула суммирования по частям дает (А У~ Р) = Х ((йаРУ. )а ~ о) = Х (йаРУ„-,, ой |а, (34) (4 у, Р) = С~~~ ((йару~р) Р) =~ Х С(йару», О» ) . (35) Меняя у и о, а затем а и 5 местами, получим (А'о,у) = Х (й Во„-р у„-„1»= Х (йр у-„р,~:„)р Отсюда и из (34) видно, что (А+)*=А+ только при йм=йгь Аналогично убеждаемся, что при'етом (А )» =А 'и, следователь- 259 Гл. 1ч. схемы для ггАвнепии эллиптического типА но, А*=А. Необходимо только учесть, что у» — — О при х« = О« у- =О при х =1„ау =О при х,=О,у- =О прих, (1. », 3 Рассмотрим теперь выражение (А+у, у).
Его можно записать в виде (А+у,у) = ~ (л ву*з у )+ »,В=1 М«-1 Л1-1 + Х (й (У*,)')...М + Х (У (У*,)')1,=,М1- В первом слагаемом сумму по а, () внесем под знак скалярного произведения и учтем (31): , Х аааа Га)<( Х ааааа-)~о Х Ц» Га). Таким же способом можно преобразовать выражение для о (А у, у). Вспоминая теперь, что с, ( л, < с, и (Ау, у) = 1 о о = Д (у,„, у»„)»а получаем С,А < А ~ С,А, т. е. неравенства (28). »=1 о Используя оценку ЬЕ < А ( ЬЕ, можно получить отсюда неравенство (29). й 5. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона В этом параграфе рассмотрим схему повьппенного порядка точности для задачи Дирихле (1) из $1 в прямоугольнике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
