А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Выбор правой части ~р должен быть подчинен требованию соблюдения порядка аппроксимации при данном о. Так, прн а=0,5 можно полагать у равным у= 0,5(/+/), ~р=/ и т.:д. Из ИЗ) видно, что погрешность 0(Ь*+ т') может достигаться и при о яь 0,5, если положить о = 0,5+ Ча/т, где а — любая постоянная, не зависящая от Ь и т. В этом случае о зависит от Ь и т.
Проиавол в выборе сг ограничен условием устойчивости схемы (достаточно взять а ~ — 1/4, см. и. 4). 4. Устойчивость по начальным данным. Исследуем устойчивость схемы (П) методом разделения переменных (при однородных граничных условиях).
Пользуясь толгдествами у у+ ту, оу+ И вЂ” а)у = у+ атуь перепишем схему (П) с однородными краевыми условиями в виде уг — отЛуг = Лу + ф, (х, б) ен ю р„, (16) у (О, б) = у (1, б) = О, Ю я юю у (х, 0) = и (х), х я юь. Схема И6) устойчива, если для решения задачи И6) верна оценка '1у(б)~н( (М,(нею+ Мг шах 3!~р(У)Ц<гь беню„(17) 6<к<с где М„М, — положительные постоянные, не зависящие от Ь и т, 1.1оь 1 1се — некоторые нормы на слое (на сетке ю,). Пустыр = О. Тогда оценка 1у(б)1С» < М,би,п<», б ш ю„ И8) выражает устойчивость схемы Иб) по начальным данным. Если у(х, 0) = О, то неравенство Зу(б)фю(М, шах 1<р(У)фг> (19) о<м<г В 1.
ОднОмвгнов гглвнанив твгшопРОВОдности 268 означает устойчивость схемы И6) по правой части. Оценка И7) для решения задачи Иб) выражает устойчивость схемы Иб) по начальным данньм и по правой части. Решение задачи Иб) представим в виде суммы у=у+у, где у — решение однородного уравнения у, — атЛу, = Лу, у(0, 1) = у(1, 1) - О, у(х, 0) - и.(х), Иба) а у — решение неоднородного уравнения с начальным условием у(х, 0) = 0: у,— отЛу,=Лу+ф, у(0, 1) уИ, 1) О, у(х, 0) =О.
Ибб) Для исследования устойчивости схемы Иб) по начальным данным надо найти оценку для решения аадачи Иба). Для этого воспользуемся методом разделения переменных и получим оценку И8) в сеточной норме Ь,(вь): и-1 Цу Цп = Цу Ц, где Цу Ц = У(у, у), (у, а) = ~ у1а1й. 1-1 Будем искать решение уравнения Иба) в виде произведения функций, одна из которых Т=Т(11) зависит только от Ф 1ь а вторая Х Х(х,) — только от х хь полагая у(х, 1) =Х(х)Т(1). Подставим это выражение в Иба) и учтем, что Лу =ТЛХ, у, =ХТ. Тогда получим — — Л, т=т(1;„), Т=Т(1), т(аТ+(1 — 'а) 1') где Л вЂ” параметр разделения.
Отсюда находим 1 — (1 — а) тЛ Т=ЧТ, где ч= 1+ Для Х получаем раэностную задачу на отыскание собственных аначений (раэностную задачу Штурма — Лиувилля): ЛХ(х)+ЛХ(х) =О, О< 1й<1, Х(О) ХИ) О, Х(х) О, рассмотренную в гл. П, $3, п. 2. Там было показано, что зта задача имеет нетривиальные решения — собственные функции Х'н(х) У2з(ппйх, й =1, 2, ..., )У вЂ” 1, соответству1ощие собственным значениям Ль= — зш —, й=1,2,...,)У вЂ” 1, 0<Л,«...Лп ы 4 .
зпаз ьй 4 . зпь 4 зпз Л = — зш — Лп 1 — — — соз —. 2' ьз 2' Рл. ч. схемы для нестьционАРных уРАВнений 264 Собственные функции (Х(1)) образуют ортонормированную систему а а ) Х(10 Х(аа)1 = ба а . Имеет место Равенство ПаРсевалЯ К-1 6/!'= а/а. (20) где /а — коэффициенты раэложения любой сеточной функции /(к), заданной на юа и равной нулю при к=О, х 1: И*) = Х /.Х'"'(*), а = (/, Х'"'). Таким образом, задача (16а) имеет нетривиальные решения ум) ТаХоо чаО, где Та определяется из уравнения )+1 );+1 а ( — (( — о) ЧЛа Уа=даТа, илн Та =даТа= .
=да Тю да = отха (21) Тае — проиэвольная постоянная. Решение уравнения (16а) веда у(м Т„ХЕС называют гармоникой номера й. Оно явллется решением задачи (16а) с начальным условием иа(х) = ТааХ( )(х). Выясним, при каких условиях устойчива каждая нз гармоник рм) при й= 1, 2, ..., К вЂ” 1. Иа формул р(а) = Х Та = даХ Та, у(а) = дар(а) )+1 (а) )+1 (а) ) )+1 (22) видно, что при !да)>1+а, где е совв1)0 не эависит от Ь и т, имеем $у(<а)' Д = ! да !)! у()а) ~ ) (1 + е) !!у()а) //) (1+ е)'+' Ц у ) ) !-а- оо при т- О, т.
е. задача неустойчива. Если !да! (1, то ))у,м!! не возрастает с ростом / (т- 0) при фиксированном 1 /т: Ь(а)'Н<Пу(а)6<" <Ь(а)И и гармоника устойчива. Если все ! д,! ~ 1 и, следовательно, Ка)11а;)у(а)!!, то будем говореть, что схема «устойчива на каждой гармоникеа. Выясним теперь, при каких эначениях о выполняется условие ! да! ( 1 или — 1 < д, 4 1, обеспечивающее устойчивость схемы на каждой гармонике. Иэ формулы д, 1 — т)(а/(1+отЛа) видно, что да< 1, если 1+ отЛ1> О, т. е. С) — 1/(тЛа). Требование да> ~ — 1 или 2+ (2а — Ц ЕЛа $1. одноиеРное уРАВнение теплопвоводности 265 выполнено при 2+ (2с — 1)тЬА) 0 или и> — — —.
Условие 1 1 2 тлл' 1+ отЬА) 0 при этом автоматически выполняется. Так как 4 1 л' ЬА(ЬЕ 1< —, то — — « — — —— л" тлА - тлл 4т' и, следовательно, условие (дА! <1 будет выполнено для всех Ь = 1, 2, ..., )1' — 1 при 1 ЛА и) — — — =и. 2 41 (23) Подставляя сюда Т, = ДАТА и учитывая (20), находим М-1 М-1 М-1 у = ~ч~ дАТАХ11~, !у ~!~ = 2~~ уААТАА= шахта ~ч~~~ ТА = шах дА!(у!!1.
А=1 А 1 А 1=1 А Если о)п„то шах!дА! <1 и 1!У1! <!1У1! или' 11У1+'!1 <11У111 <... А ... < 11у61 = 11ио!!. Таким образом, для решения задачи (16а) верна оценка !1у111 <1и,11, 1 1, 2, ..., при с) и„ (24) т. е. схема (16) устойчива в сеточной норме Т1(еАА) по начальным данным при с ~п,. Разностная схема называется уеловио устойчивой, если она устойчива лишь при наличии связи между т и Ь и бевусловко устойчивой — в противоположном случае. Схема, устойчивая при любых т и Ь, называется абсолютно устойчивой (имеются схемы, устойчивые при достаточно малых Ь и т, У1 < Ь„т< т,; эти схемы не являются абсолютно устойчивыми, хотя могут быть и безусловно устойчивыми). Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Явная схаиа (о=О). Условие (23) дает 0~0,5 — Ь*/(4т), т. е. т/ЬА < 0,5. (25) Таким образом, все гармоники уоо — — Т„Х'"! устойчивы прп одном и том же условии и > и,. Покажем, что из устойчивости схемы (16а) на каждой гармонике (из спектральной устойчивости) следует ее устойчивость в.сеточной норме ТА по начальным данным у(х, 0) и,(х), где и,(х) — любая сеточная функция, заданная при 0<х< 1 и равная нулю при х=О, х=1.
Общее решение задачи (16а) ищем в виде суммы частных решений вида (22), полагая М-1 Л-1 М-1 у = ~2~~ у!А! = 2~ ТАХ1~!, так что ~ у~!1 = ~~.", ТАА. А=1 А=1 А=1 266 Гл. и схемы для настАционАРньгх РРАввинии Явная схема устойчива лишь при условии (25), связывающем шаги Ь и т (условно устойчвва). 2. Неявная схема при о)0,5 устойчива при любых Ь н т, так как о) 0,5) о,.
Таким образом, схема с опережением (о 1) и симметричная схема (о 0,5) устойчивы при любых Ь и т (абсолютно устойчивы). 3. Схема повышенного порядка аппроксимации (о =о„„ов = = 0,5 — Ьг/(12т)) абсолютно устойчива. В самом деле, а~ А~ ~а о о = — + —,=э-)0 42г 41 % при любых Ь и т. 4. Неявные схемьг с 0<о<0,5 при о, не зависящем от 7 т/Ьг, условно устойчивы при 7 < 1П2-4а).
5. Схема (16) с о = 0,5+ Ьго/тг имеющая аппроксимацию 0(т'+ Ь*), устойчива при любых Ь и т, если а) -1/4. . Таким образом, параметр о управляет не только порядком аппроксимации, но и устойчивостью схемы (16). При исследовании устойчивости мы фактически имели дело только с двумя временными слоями 11, 11+1 и шагом т 11+1 — 11. Все рассуждения сохраняют силу, если сетка е, неравномерна, т. е. шаг т1+, 11+1 — 11 зависит от номера слоя. В этом случае параметр о можно считать зависящим от номера /+ 1 слоя, о = о'+'.
Тогда вместо (23) получим 'условие о ) о~р+' — 0,5— — Ьз/(4т/+1). Для схемы 0 (Ь'+т,'+1), в частности, следует положить огг+~=0,5 — ьг/(12т/+1). Условие о~~ого~'достаточно для устойчивости схемы с весами при неравномерной сетке ег.. 5. Устойчивость по правой части. Покажем, что условие (23) 1 о ~~аз ог достаточно для устойчивости схемы (16) и по правой части при о)0. Для этого рассмотрим задачу (16б). Ее решение ищем в виде «-1 «-1 у = ~ ТАХ'"', так что )у 1в = ч'„Тг,. (26) 1=1 1 1 Правую частыр'разложим по (Х1Ч1 «-1 «-1 ф =:Е фАХ01, так что (фГ = 3 фью. (27) А 1 А=1 Подставляя (26) и (27) в (166) и учитывая, что ЛХ111 — ЛгХ",1, найдем «-1 ~ (Ты (1+ отЛА) + ЛАТ, — фг) Х~ ~ = О. г 1 З 1.
Одномегное увйвнение теплопговодности 267 Отсюда, в силу ортогональности системы собственных функций, следует, что выражение' в фигурных скобках равно нулю, т. е. тей 4 — (1 — о) тх» Т»=Д» »+4 ! Л~ Дй= (28) Подставим (28) в (26): Ф вЂ” 1 Л-1 И-1 у = )' Т»Х = ~~ ~Д»Т»Х + т Д' — Х!»1. »=1 й=1 Пользуясь неравенством треугольника (Дв+ ю!! = (!и!!+()ю!!), на- ходим /Л-1 й'/д /М вЂ” 1 ~'6 Цу Ц ( шах ! д» ! ~,'~', Т» ~ + шах „~,'~' 1р»й ~ »=1 или (31) Цу Д(шах(Д»(ДуЦ+ шах Д1рЦ. (29) Пусть одновременно выполняются условия о)о„а,= — — „—, о)0. л' (30) Тогда ДД» Д(~1, 1+отЛ»)1 и ЦуД(~ЦуД+ тДсрЦ или Цу"+1Ц ~Дуг!!+ +тДер" Д. Суммируя по у' = О, 1, 2, ..., у, приходим к оценке 1 ДумД< У Д р!'Ц, так как !!у'!! = 0 для решения задачи (166).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
