А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 42
Текст из файла (страница 42)
1. Постановка разностной задачи Дирихле повышенного порядка. Исходя из схемы «крестэ, можно построить схему с по- ГРЕШНОСтЬЮ аППРОКСИМаЦИИ На РЕШЕНИИ 0(! ЬР) (ИЛИ 0()11) В СЛУ- чае квадратной (кубической) сетки). Для повышения порядка аппроксимации используется тот факт, что и= и(х) есть решение уравнения Пуассона Ли = — 1(х). (() Проведем рассуждения для двумерного случая (р = 2), когда Ли = Й1и+ Ь и, Ь„и = —,. з»~, Рассмотрим разностный оператор . Ли = (Л, + Л«) и, Л и = и„- „. Пусть и=и(х) имеет нужное по ходу изложения число произ- $ З. СХЕМА ПОВЬППЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 254 водных. Тогда Ли — Хи = —, Хчи+ —,Хзи + 0()й~'). Из уравнения Х,и+ Ци = — Х(х) находим Х1и = — Ь,~ — Х,Х хи, Х ~~и = — Х Х вЂ” Х,Х хи, (2) Л,Лхи = и- - ЬхХхи =— д и х|х1хзх~ х д хд х' 1 з Этот оператор определен на девятиточечном шаблоне, изображенном на рис.
$6. /Ут Ю Вр д Рвс. 16. Напишем выражение для Л,Л,П: и (х, х — А ) — 2и (х, х ) + и (х, х + и ) 1 ь,' 1 = — (и(х — Ьп х — Ь ) — 2и(х„х — Ь ) + и(х1+ Ь, х — йз)+ ьхахх + 4и (х„х,) — 2и (х, — й„х,) + и (хх — Ь„хх + йх)— : — 2и(х„хх+ Ьх) — 2и(хх+ й„хх) + и(х, + Ьп хи+ Ьх)). Для оценки погрешности аппроксимации Л,Л,и — х,Ь,П воспользуемся разложениями (см.
лемму на стр. 67). (4) если Р(х) имеет непрерывную вторую производную на отрезке (х-й, х+й); Ли= Р .=Р (~)+ — е~ (Р), $*=х+О*й, ~Ои~($, (5) если Р(х) имеет непрерывную четвертую производную по х на отрезке (х — Ь, х+ Ь). так что йх ах АЗ+Ах Ли = Х'и — ~~ Ц,Х вЂ” 1Е Х',1 — ' 12 ' Х,Хчи+ 0(~ й ~'). (3) Подставим сюда Хп= — Х и заменим Ь,Хин разностным операто- ром гл, ж схимы для гглзнкнии эллиптичвского типа При фиксированном х, имеем Ь~ди Л,п=л, (х„х,)+,', (х„й,), й,=х+Е,й«, ~В,~<1. $2 д«4 Рассмотрим теперь выражение ь» ди 2 Л,Л,и(х„х,) = Л,Ь»и.(х„х,) + — Л, — (х„$4). $2 д«4 Для первого слагаемого воспользуемся формулой (5), где И=А«и, Х Х,: ь~ди 4 Л,Ь«и (х„х,) = Ь,Ь»и (х», х») + — ' — (ьд, х»), 12 д«4 1,'= х,+ е',й„~е,'!<(.
Для второго слагаемого применим формулу (4) Ь» д«и Л» д«и — Л,— (х„й») = —,,(йоши, й»= х, + В,йп ~е,~<1. *» В результате получаем (Л,Л; — КД) и = 0М+0 (г4 = 0(~й ~'). Подставляя в (3) вместо Ь,«.«п выражение Л,Л,и: Ь»Б»и = Л,Л»и + 0 (~ й ~9, и учитывая, что 4'и = — ~(х), получим ь',+ь', ь,' ь,' Ли= Ь~ — 42 'Л,Л«~ — (2Ь,~ — 22 Ь»~+ 0(~й ~') = (6) Отсюда следует, что уравнение Лр= — ~р, Лу=Лу+ — Л,Л,у, ~р (+ — ~,~+-ч.(„~, (7) имеет четвертый порядок аппроксимации на решении и = и(х) уравнения Пуассона (1). В самом деле, формула (6) дает Л'и +4Р = (Л'и+ <Р) — (йи+ ~) 0(~М'), Ь = 4', + Е,.
Оператор Л' определен на девятиточечном шаблоне (рис. »6) «ЯЩик», состоЯЩем .из Узлов (х, + в»,йо и, + л»,й»), л»„ 9 2. СХВМА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 253 т» — 1, О, 1. Запишем схему (7) в виде ! у(""' ")-(-у( "' ")+у( ' '))+вр, (8) где у =у(х1 ~Ь„хв), у ' " = у(х,+Ь1, хв — Ьв) и т. д. (~11) (411,-12) На квадратной сетке (Ь, = Ь, =Ь) это уравнение принимает вид 4 (У1+ Ув+ Уз + Ув) + У» + Ув+ Ув+ Ув 3 Ьв (см.
рис. 16). Для вычислений удобно в формуле для ф заменить Б,у на .Л1у и Го~ на Л»у', изменив при этом ф на 0((Ь!'), что не нарушит порядка аппроксимации вр = Л»и+ ф = 0((Ь!'), так что у» ув ф = 1+ —,Л 1+Д~21. 2. Оценка решения разностной краевой задачи. Рассмотрим теперь разностную задачу Дярнхле для схемы О(!Ь!') в прямоугольнике 0'= (О <х, (), а = 1, 2): Лу= — ф, хенво», у!„„= р(х), вр= ~+ — Л1~+ — Лв~, (9) где Л'у дается формулой (7).
Каждый из узлов сетки является регулярным, так как девятиточечный шаблон (рис. 16) принадлежит 0. Граница 7» сетки содержит все узлы на Г, в том числе и вершины прямоугольника. Для з = у — и получаем задачу Лг= — ф, хжэу», 2=0 на (10) где вр = Л»и+ ф = 0((Ь!') при х 1я оу», если и ш С1". Проверим условия принципа максимума. Сравнивая, (8) с (1) из 3 2, видим что В(х,$))О при =< — 1()У5. (11) )/б Ав Для оценки решения задачи (10) строим мажорантную функцию У (х) = К ()1' — х, + (, — хв). Учитывая, что ЛУ= — 4К, Л1Л,У=О, !У!!~~К(41+ 12), выбирая 4К 1»р!!в и пользуясь теоремой 3, получаем для решения 254 тл. Тт.
схемы для уи»внвнип эллиптического типА задачи (10) оценку ~л, +)л, 1»> ~ з ~ ( — ~~ Цс при условии = ( — > ( У5. 4 ' 1>>5 "л Отсюда следует, что схема (9) имеет четвертый порядок точности, если вы С~", ~ лн Р' и выполнено условие (11). На квадратной сетке (Ь, = Ьл-Ь) это условие автоматически выполнено. Выбирая соответствующим образом >р, можно добиться того, что на квадратной сетке схема (9) будет иметь шестой порядок точности. Можно доказать сходимость схемы (9) с четвертым порядком в С без условия (11).
Для этого надо получить априорную оценку для 1ЛХ»» и затем воспользоваться теоремой вложения (см. з 4, и. 4). Пусть Йл — пространство сеточных функций, заданных во ВиуТРЕННИХ уэяаХ Х Ля ОЛ» СОТКИ С'л (((>Ь> (»Ь») О ~~ (а ~~ Уа> о Ь»Уа аа (ам а = 1, 2), Йл — пространство сеточных функций, задац-' ных на слл и равных нулю на (л. Введем на Йл скалярное произведение к,-л кл-л (у> и) = Х Х у(»А л»Ь») "((»Ьи »А)Ь»Ь» = лл=л $»=л ~ч~~ у(х)и(х)Ь,Ь„'у,ивнЙ», )у~= ~ф,у). ана» Определим операторы А, и А, так: о А,у аа — Л,у, А.у = — Ллу, гдв Л у =Л у при у»в Йл.
Л действует из Йл в Йл и совпадает с Л в Йл. Поэтому А, и А,' — линейные операторы, заданныв на Н»=Й» (их можно тако о же рассматривать как операторы, действующие из Йл в Йл -Йл); область определения и множество аначений этих операторов совпадает с Йл. Н. Задачу (1О) можно переписать в виде операторного уравнения А'я А>х+ А,з — (хл+ х,)А,А,Х 9> у, 9 ли Нл, (12) где хл = Ьл/12, х»=Ь»/12.
Операторы А, и А, — самосопряженные: (А у, и) =(у, А,и), а=1, 2, у, иыН», положительно определенные: (Аау,у)~>Ь»" ~у1>, )»л" = — з(п~в~ ~ >— л а = 1,2 и перестаневочные: А,А, = А,А,. Отсюда следует А,А, (А,А,)в ) О. г 2, схима повышвнного повидла точности 255 Учитывая, что Аа(~ЦАаЦЕ1 ЦАаЦ = — 2 сов 2 < 2~ хаЦАаЦ< 1/3, 4 2хьа 4 получаем А,А2~ ЦА, Ц А„А,А2 =- А2А, < ЦА2ЦА„ (хг + х,) А,А, = = х А А, + х А А, <х,ЦА,ЦА, + хгЦА2ЦА,( — (А, + А ). Отсюда следует, что — А ~ (А' = А, + А, — (х, +х,) А2А2 ( А, А = Аг+ А„ — Ц Аг Ц ~ (Ц А'г Ц ( (Ц Аг Ц. Операторы А и А' — перестановочныв и самосопряженные, поэтому для уравнения А г = 2У справедлива оценка Ц Аг Ц( — Ц 2р Ц. / 3 В силу теоремы вложения (см.
$4, п. 4) 12 2122 Ц Ц вЂ” ' А <='ЦуЦ, 2 "у'121 4 Я 12 т. е. для решения задачи (12) при любых Ь, и Ь, верна оценка 1212 = (у — н(а ~ М12у1, Л'у= — 2р(х), хе вы у= р(х), хапуг, Р 422РР Л'у = Лу+,'» — ",")", ЛаЛ,у, з' (13) З1,' где М =, )2 = шах((„)2).
Отсюда следует равномерная 4 У'1,1,' сходимость схемы (9) со скоростью 0(1Ь(') при любых Ь,/Ь2. 3, Многомерный случай. Метод построения схемы четвертого порядка точности, укаэанный в п. 1, применим и в случае нескольких переменных. Он позволяет для задачи И) из $ 1 в р-мерном параллелепипеде 62 = (О < х, ~ (, а = 1, 2, ..., р) на СвтКЕ Е22=(Х2 (12Ьо ..., (РЬР), 1 О, 1, 2, ..., №, Ь Ь( =1,) ПО- лучить следуюшую разностную схему четвертого порядка аппроксимации: 256 Гл. гч. схемы для УРАвненнй зллнптичпского типА Р лу= ~л.у, л у=у- (14) а=1 Вводя по аналогии с предыдуп(им пунктом пространство Н1 01 и операторы А„убеждаемся в том, что оператор Р Р ь' А = А ~Л~~ на ~ АаАз ка = А ~л~~ ~А (15) а 1 З=1 а 1 заа самосопряжен и, для него справедливы оценки 4=,Р ~~~ В самом деле, р Р Р 6 <~ ха ~~~~~ 4аАЗ< З ~~~> ~л~~~ Аа= а ~л~~ ~(4 4а) = З А ° а-1 ВРа а1ВФа а1 При р>4 разностный оператор И5) теряет свойство знакропределенности (эллиптичности).
Можно, не нарушая порядка аппроксимации, выбрать другой оператор Л', который сохраняет свойство зллиптичности при любом р1 л'у ~ (г~ е.~.4л~)А„~ а=1 5 р А'у = )' Д (Š— кзАз)А„у. (16) ~фа Очевидно, что с точностьто до членов О(!Ь!1) он совпадает с написанным выше оператором И5). 2 С другой стороны, так как Š— язАз ~ — Е, то А') ~~А ( — ) =(-) А, ! 2 тр-1 и, следовательно, ( — ) А < А' < А. Наличие этих операторных неравенств позволяет получить нужные априорные оценки и убедиться в сходимости схемы со скоростью О(!й!'). Заметим, что при р 2 оператор Иб) совпадает с оператором И5). Глава р РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАПИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В етой главе неучаются ревностные схемы для простейших нестэцконарных уравнений: ураввэвкя тенлоэнюводностн с одной нлн яосколькнмн пространстэеннымн перэменнымн, одномерного уравнения переноса, уравнения колебаний струны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
