А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Построены двухслойные и трехслойные схемы для первой, второй н третьей краеэой задач. )йсслалованлв устойчивости проводятся раэныын способами: методом раэделення переменных, методом энергэтнческнх неряэенств, о.яомощью ирянцина максимума. Рассмотрен вопрос об аснмнтотвчоской устойчвэостл раэностных схем Лхя уравнения тепл сор оэодностн. 5 $. Одномерное уравнение твплопроводности с постоянными коэффициентами э ди эди э и 7 — =а — +1, а = —,/= —, д Г дик ' сР' сР' (2) где а' — коэффициент твмпературопроводности.
Без ограничения общности можно считать а $ и записывать уравнение (2) в виде ди до =.+' дс дхэ (Э) э7 а, а, саиаэсика Для выяснения методов построения разностных схем в случае нестационарных задач, а также методов их исследования рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. 1. Исходная задача. Процесс распространения тепла на прямой описывается уравнением теплопроводности ср — = — ~й — )+ 7, аи а 7 аи'1 аГ ди ( ди) ($) где и и(л, 7) — температура, с — тепловмкость единицы массы, р — плотность, й — коэффициент теплопроводности, 7 — плотность тепловых источников, т.
е. количество тепла, выделяющегося в единицу времени на единице длины. Коэффициенты теплопроводности и твплоемкости могут зависеть нв только от л, г, но и от температуры и (в этом случае уравнение называется нвадилинейньш). Если й и ср постоянны, то уравнение И) записывают в виде 258 гл. ч. схимы для нкстаьзионавнык твавнвнии В самом деле, вводя х' х/а и вновь обозначая х' через х, получим (3). Если ищется решение уравнения (2) на отрезке 0 < х ( У, то обычно пользуются безразмерными переменными х' =' х/У, Ф' а*у/Уо. В этих переменных уравнение (2) записывается в виде (3), при- чем 0 < х ( 1, а / У»у/то.
Мы будем рассматривать первую краевую задачу для урав- нения (3) в прямоугольнике 6 (О~х~1, 0<5< Т). Требуется найти непрерывное в Ю решение и и(х, Ф) задачи — = — З + / (х, 5)„0 < х < 1, 0 < 5 < Т, и(х, 0) = ио(х), 0<х<1, (1) и(0, 5) = иь(5), и(1, 5) = ио(5), 0(5о ' Т. 2.
Семекство шеститочечнык схем. Введем еетки в (х» 5Ь,5 0,1,...,)У), в, (5»-ут,у 0,1,...,5,) и сетку в Ю: вь. в»Хв,=((5Ь,ут), 5=0, 1, ..., Уо, У О, 1, ..., у,) с шагами Ь 1/Уо' и т= Т/у',. Обозначим через у» значение в узле (х„г») сеточной функции у, определенной на вь.. Заменяя производную ди/дг первой разности ой производной, а дои/дх'— второй разностной производной к- = Ли и вводя произвольным' вещественный параметр о, рассмотрим однопараметрическое семейство разностных схем о+1 уу '= Л(оуу+ + (1 — о)у»»)+»р»», 0<»<Л», 0<у </о. (4) Схему (4) будем называть иногда схемой с весами.
Краевые и начальные условия аппроксимируем точно: Уо = ки У»о = пв 5 5 (5) уо» = у (х», 0) = ио(х»). (6) Здесь»р» — сеточная функция, аппроксимирующая правую часть у уравнения (3), например, ЯЧ = /(х» 55+о,ь). 55+о,»=55+0,5т Лу» = у-, = (у», — 2у» + у»+,)/Ь'. Разиостную задачу, определяемую условиями (4) — (8), будем называть задачей (П).
$». ОднОмеРнОе тглвнвннв твппопгозодностн 259 Разностая схема 14) написана на шеститочечном шаблоне, состоящем из узлов (хе е Г»».,), (хь 1»+,), (х;„,' »,), (хь»») (см. Рнс. 4, в) с ЦеитРО»» в точке (хь»»+,). УРавненпе (4) пишется в узлах (х», »,+»), »-1, 2, ..., )У вЂ” 1, )+1=1, 2, ..., у„ называемых внутренними узлами. Множество всех внутренних узлов сетки »о» будем обозначать в»л =((х~ »») 1<»~<5» — 1 1<у<у,) Краевые и начальные условия (5) н (6) пишутся в граничных узлах сетки с»м. Множество узлов сетки»ом, лежащих на прямой»»ь обычпо называют слоем. Схема (4) содержит значения искомой функции у на двух слоях и поэтому называется двухслойной схемой. От выбора параметра о, как мы убедимся в дальнейшем, зависят точность и устойчивость схемы (4).
Рассмотрим схемы, соответствующие частным значениям О. При О=О получаем четырехточечную схему (рис. 4, а) г»»-» в( »»» =Лу +~э или у;'~» = (1 — 27)у; '(-7(у; '»+ у';».») +т»р; '7 = т/й» (7) опРеДеленнУю на шаблоне (хь»»+»), (хь»»), (х» О г»). Значение »+» у» в каждой точке слоя»=»»+» (нового слоя) выражается по явной формуле (7) через значения у; 'па слое 8=»» (на старом слое). Так как при» =О задано начальное значение ув = ив(х;), то формула (7) позволяет последовательно определить значения у на любом слое.
Схема (7) называется явной. Если ОФО, то схема (4) называется неявной двухслойной схемой. При ОФО для определения У»~~ на новом слое получаем систему алгебраических уравнений ОЛу»»'»- — ' — у»»»'» = —, г"'», Я = — у~»+.(1 — о) Лу;'+ 4, (6) »=1, ..., Лт — 1, с краевыми условиями у» ' = и», у)г ' = й,+ .
Решение этой системы находится методом прогонки (см. гл. 1, $2, п. 5). Укажем еще две схемы. При О=1 имеем схему с опережением или чисто неявную схему »+» '=Л»+'+ у» +Ф. (9) 17в 60 гл. ч. схемы для нестАцнонАРных РРАВнении При а = 0,5 получаем шеститочечную симметричную схему г»+1 Р» * = 2 Л (у»т'+ у»») + 4 (10) (называемую иногда схемой Кранко — Никольсона). Перейдем к выяснению вопросов о погрешности аппроксимации и точности схемы с весами (4). 3. Погрешность аппроксимации.
Чтобы ответить на вопрос о точности схемы (4) — (6), нужно сравнить решение у = у» »задачи (4) — (6) с решением и = и(х, 1) задачи (1). Так как и(х, 1)— непрерывное решение задачи (1), то положим и» »= и (х», Г») и рассмотрим равность г» = У1» — и»». Для оценки сеточной функции г»» на слое выберем некоторую норму 1 1, напрпмер, одну нз следующих норм: Гк-1 1 Чэ (г5=6г)с= шах (г»(, (г5= ~ ~ г,'-.й) ос»чк ,1 Перейдем к безыпдексным обозначениям, полагая Ре у~ — у~ у~ — у~ у» — (у — у)»т. Перепишем задачу (4) — (6) в виде у, = Л(ау+ (1 — а)у)+»р, (х, 1)~»ол», у(0, г) = и»(1),у(1, ») =и»(1), »вл»е,, (П) у(х, 0)=и,(х), хан»оь, Лу = у-.
Найдем условия, определяющие а=у — и. Подставляя у г+и в (П) и считая и заданной функцией, получим для г задачу г» = Л (аг+ (1 — а) г)+»Р, (х, 1) ~ вь г(0, ») = г(1, 1) = О, 1~ в»1, г(х, 0)= О, хвнеэю (1П) где »р = Л(аи+ (1 — а) и) — и, +»р (11) — погрешность аппроксимации (невяака) схемы (П) на решении и и(х, 1) уравнения (1). Напомним определение порядка аппроксимации (см.
гл. П, т 1, и. 3). Схема (П) аппраксимирует уравнение (1) с порядком (л», к) или имеет аппроксимацию 0(й" + т") на решении и = и(х, ») уравнения И), если 1»р(х,г)((»11 0(й"+т") илиб»р1»1»~М(й +т") для всех 1»на»„где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от й и т, а 1 1»11 — некоторая норма на сетке»ог. Перейдем к оценке порядка аппроксимации схемы (П), предполагая, что и= и(х, Г) имеет нужное по ходу наложения число $ ь ОднОмеРнОе 7РАВнение теплота<оводности 201 производяых по х и 1.
Будем пользоваться обозначениями: и = ди/д1, и' = ди/дх, й = и(хь 1«иьи), - тиь5 Ц+ т/2. Разложим и=и(х, 1) по формуле Тейлора в окрестности точки (х<, 1 = Ь+ьб). Пользуясь формулами и = 0,5(и+ и) + 0,5(и — и) = 0,5(и+ и) + 0,5ти„ и = 0,5(и + и) — 0,5ти„ си+ (1 — о)и = 0,5(и+ и) + (о — 0,5)ти„ перепишем ф в виде ф = 0,5Л(и+ и) + (о — 0,5) тЛи, — и, + <р Подставляя сюда выражения к' к' зз Ли = и" + — ион + 0 (Ь') = 5и + — / и+0(Ь ), / и = —, и = и + 0,5ти + — и + О (тз), и = и — 0,5ти+ — и+ 0(тз), 0,5(и+ и) = и+ — и+0(тз), ит — — и+ 0(т~), получим $ = (1 и — и+ ф)+ (о — 0,5)т/и+)21'и+ 0(т'+Ь4).
(12) Отсюда видно, что ф (о — 0,5)тх и+ 0(Ч+ т') при ф =/(х, Ь+ьа), так как й =хи+/. Учитывая, что Ей Пи+5| пи<+/" и Пи=Ли — х'/, из (12) получаем $ = (<р — /) + ~(о — 0,5) т + 121Ьи — дЬ|+ 0(Ь'+ т'). (13) Приравняем нулю выражение в квадратных скобках и найдем кз о= — — — =о 2 12т . (14) к При этом значении о = ое и ф, равном ф = /+ 121|, схема (П) имеет аппроксимацию 0(Ь'+ т'), т.
е. ф 0(Ь'+ т'). Порндок аппроксимации схемы не нарушится, если мы заменим /" 262 гл. т, схемы для нестАцнонАРных уРАВнений выражением /„-„='Л/, т. е. положнм <р =/+ (ЧЛ/)/12 или ( 5 /(+ ь+ ~ (//+1ь+/(~-ч,) (15) В=с 1 Эта формула удобнее для вычислений. Пусть С„(А)) — нласс функций, имеющих гп производных по х и и производных по б, непрерывных в Ю. Из формул ИЗ) и И4) ясно, что схема (П) имеет аппроксимацию 1) 0(Ч+ с*) при о 0,5, у / или «р=/+0(Ьг+т*), если няСг', 2) 0(Ч+т) при любом ачь0,5, у=/+0(Ь'+ т), например, ~у=/ или у=/, если и~ С'„3) 0(Ь'+т') при а = ог и ~р, заданной формулой И5), если и ан Сгг. Ь' Схему (П) с о = ог и у = /+ — Л/ называ(от обычно схемой б2 повышенного порядка точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
