А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1 понятия коэффициеитной устойчивости разностной схемы. Для этого рассмотрим операторное уравнение первого рода А Ь, ~ Н, (И) где А — линейный оператор, действующий иэ гильбертова пространства Н в Н, А: Й- Й, ~чвН вЂ” заданный вектор, иыН— искомый вектор. Задача (И) называется корректно поставленной, если существует е)шнственное решение уравнения (И) для любых ~ыН и это решение непрерывно зависит от правой части 7, так что 1й — и1оэ <))УеЧ вЂ” Аан (12) где й — решение уравнения (И) с возмущенной правой частью Г: АЫ-7. ИЗ) й 1и, н 1Аи, — некоторые нормы на множестве Н.
При постановке задачи (И) задаетея не только правая часть, но и оператор А. Если, например, А — дифференциальный или разностнын оператор, то должны быть заданы коэффициенты уравнения. Естественно требовать, чтобы решение задачи (И) непрерывно зависело не только от возмущения правой части, но и от возмущения оператора А задачи (шшример, от коэффициентов разностного оператора). Это свойство операторных уравнений также, как и в случае разноетных схем '(см.
п. 1), мы будем называть свойством нову)(дииивнтной устойчивости или ко-устойчивости операторного уравнения. Устойчивость решения уравнения (И) относительно возмущения правой части г и возмущения оператора А будем называть сильной устойчивостью. Вопрос ставится так: даны две задачи Аи ~, .Л'й 7, (14) где А и Х вЂ” линейные операторы, область определения которых совпадает с Н, ~ и ~ — произвольные векторы из Н. Требуется ГЛ. ИХ ОДНОРОДНЫЕ РАЗНССТНЫЕ СХЕМЫ 208 найти оценку для величины возмущения решения з=й — и И5) через величины возмущений ~ и А. Предположим, что операторы А ' и Х ' существуют. Будем считать, кроме того, что А и Х вЂ” самосопряженные положительные операторы. Подставим и А 7' и й = Х '7 в И5):- з=Х '7-А '1=Х '(7 — ~)+(Х ' — А ')~.
И6) Применим Хв к обеим частим равенства И6): Хвз Х-ьЦ вЂ” ))+Ха(Х ' — А 'Ц. Вектор з будем оценивать в норме 1з~й= '(/(Аз, з) пространства Нл, а ~ и 7 — г — в негативной норме 1~1л-г =У(А ~ 1) эиер гетического пространства Н Х Преобразуем выражение Хь(Х-~-А- К-(К-ХЕА- Хь)(Хх~й и оценим его по норме ((Хв(Х-' — А-'Ц!! ( 18 — ХеА 'ХЕ1 1Х '«~!! И7) В качестве меры возмущения оператора А возьмем относительное иаменение анергии (Ах, х) оператора А, т. е. будем предполагать, что И8) 1((Х вЂ” А)х, х) ! ( а(Ах, х), а > О, для всех х ж Н. Отсюда следуют неравенства И вЂ” а)А <Х< И+а)А, И вЂ” а)Х '<А ' ( И+а)Х '.
И9) (20) Покажем, . что иа И9) следует (20). Рассмотрим равность 1 И+ аКАх, х) — (Хх, х) и положим А"х = у: 1 И+а)!)й(Р— (А "ХА ву, у) И+а)1у11 — (Ру, у), где Р=А еХА в. Полежим Реу — з: У И+а)(Р 'з, г) — !!г(Р И+аКАЕХ 'А"ъ, лг-1л!(з И + аУ(Х-'и, в) — (А 'и, в), и = Авз. Так как 2> О, то И+а)Х ' ~А '. Там самым доказано, что иэ неравенства Х ~ И+ а)А следует неравенство А '<(1+а)Х ' для любых А = А» ) О, Х = Х* ~ О. Неравенства (20) еквивалентны неравенствам И вЂ” а)Н"-=С ~ И+а)Е, С ХЕА 'Хь. 208 $9. козФФнх(ивнтная устойчивость В самом деле, И + аНХ 'х, х) — (А 'х, х) = И+ а)1уП' — (Х"А Я"у, у) = -И+а)ПуПа (Су, у) ~0.
Итак, из И8) следует — аЕ<Š— С<аЕ, С=ХаА 'Х". По определению нормы самосопряженного оператора ПŠ— СП = ПŠ— ХьА Я "П < а. Подставляя эту оценку в И7), получаем из Иб): пгпл(пт — ~Пл а+ аИ2 „ кли 1и — и!-л(17 — 1Ц-, + а!!Щ. и и Пусть известен некоторый оператор 4а = Ас > О, имеющий более простую структуру, чем Х, и удовлетворяющий условию Х > ссАс, с, ) О. Тогда, если оператор Ас ~ существует, то .4 '~ ~— 'Аа', РЬ а(,/ Щ 1. т с Таким образом, доказана следующая теорема сравнения: Теорема.
а(усть и.— решение уравнения ИП), й! — ревсение уравнения И4), А, Х, А, — самосонрясхенкые положительные операторы, илсвющие обратные. Тогда, если выполнены условиеИ8) и неравенство А~с,А„с,>0, то справедливы оценки П и — и Ц ( !~ ~ — ~ ~2, + а !! Д- и (21) ((и — и1лс~ <— '~7 — Д, + — ~Д ч,. (22) - с л с Первое слагаемое в правой части (21) есть величина возмущения правой части 7', второе слагаемое содержит коэффициент а — величину относительного возмущения оператора. Пример. (Ср. с п. 1.) Пусть Н вЂ” множество сеточных функций заданных на сеа (хс Пи, О~П-6И и обращающихся в нуль при П О, 1 )с'.
Рассмотрим рааностные операторы Ау = — (ау-)„+ е)у, а)~сг > О, сП~)0, Ау = — (ау-)и+ Ау, а)~се > О, 3) О, .4ау = — у- . Вводя обычным образом скалярное произведение и используя разностные формулы Грина, получим неравенства Л > С,А„ 14 А. А. самасеииз 21О гл. пг.
ОднОРОдные РаЗНОстние скимы 4 ~ с,А,. Согласно гл. 2, $4, п. 5 имеем 1к-1 гк-1. 1з1111 Я -1(Ы(- ) = ~ Х й Я Ча) ) ~ ен Н. Таким образом, оценка (22) принимает вид ~ г- ~ ( — !! 7 — Я-11 + — !! Д-гв или, в силу неравенства!!г!!О(0,5~г-„~ . И =!у — Ис( — „Р— й-и++И- > ° Выясним, что означает условие (18). Его можно записать в виде (1 — сс) ((а, у 1+ (А, уг)) ~~(а, уг]+(У, уг) ( ((1+а)иа, уз~+(б, уг)), откуда следует, что (18) будет выполнено, если потребовать !а — а! (аа, !И вЂ” <Х! (ад. Глава !Ь' РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 5 $.
Равностная задача Дирихле для уравнении Пуассона Перейдем к изучению разностных схем для решения задачи Дирихле: найти непрерывную в 6+ Г функцию и(х), удовлетворяющую уравнению Пуассона г чз ди Аи =,т, — = — у (х), х еи 6, а 1диа и краевому условию и(г = )з(х), где х (х„х„..., хз), 6 есть р-мерная конечная область с гра- ницей Г. 1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Начнем с построения рааностного аналога оператора Лапласа д'и Ам= ази+Ьзи, Гам= —, а=1,2, (2) на плоскости х = (х,, х,). В точке х= (х„х,) каждый из операторов ди Гчи= —, илн *1 ди з зи = — з аппраксимируем трехточечным дз 14" оператором Лз В атой главе научаются разноствые зззнрокснмеции эллиптических уравнений второго порядка, В параврафах 1 — 3 детально исследована раавсствая аадача Дирихле для уравнения Пуассона.
Изложены способы аппроксимации оператора. Лапласа и постановки разноствых краевых условий в случае области вроиазольвой формы. Для сеточных уравнений общего вида установлены првмцип максимума '($2) н зсе его следствия; зтя результаты испольэовапы для доказательства равномерной сходимоств со сиоростью 0()а)з) построенной в 3 1 раавостной схемы в случае произвольной области. В $ 4 исследованы свойства раеностного оператора Лапласа, поозроевы разиостные операторы, соответствующие эллиптическим операторам общего вниз с перемеввыми коэффициентами.
$5 посвящен иэучеюпо схемы повышенного порядва точности двя уравнения Пуассона з прям оупжь нике. 212 гл. 1у. схимы для ТРАВнкнии зллиптического типА или Л,: Хр Лр = и- = — (и(ха+ й„хз) — 2и (х„хз) + и (ха — йа, хз)), 1 хааа АЗ 1 (3) 1~ 5зи Лзи = и- = — (и(х„хз + й,) — 2и(ха, хз) + за(хз, хз — Ьз)), *з"з (4) где - знак аппроксимации, й,) О, йа) Π— значение числа (ша- ГЯ ПО ОСЯМ Ха И Ха). Оператор Л, определен на регулярном трехточечном шаблоне Р (Ха — Ьаа Ха)а (Хаа Ха)а (Ха+ Ьаа Ха)а оператор Л, — на регулярном трехточечном шаблоне (х„х,— й,), (х„х,), (х„х,+ Ь,).
Используя (3) и (4), заменим оператор Лапласа (2) разностным оператором « Ли = Лр + Лр = О- х + ий „, (5) Рис. б. Ршулкрвыи шаб- хаха хахэ' лсл «креста. который определен на пятиточечном шаблоне «крестэ, состоящем из узлов (х,ш Ь„ х,), (х„ х,), (х„ х,ш ш й,). Этот регулярный шаблон изображен на рис. 6. Здесь О— точка (х„ х,), 1 — точка (х, + йо х,) и т. д. Из (3) †(5) и рис.
6 следует, что Лио = — (иа — 2и + из) + — (из — ' 2ио + и«). (6) 1 0 Аз 1 О з азз з О В частности, при й, й, = Ь (на квадратном шаблоне) имеем Лго= у(гз+ Оз+ "з+ и«4ио). й (7) Вычислим погрешность аппроксимации оператора. Лапласа (2) разяостным оператором (5). Так как (см. гл. П, $ $) при «0 $,2 ьз то Ли — Ли= — 'Ьаи+ —.1 зи+ 0(й,'+ йз~).
Отсюда следует, что ЛР— Лза = 0 ( ~ Ь!0), ! Ь !' = Ь, + М, если и(х) — любая функция, имеющая не менее четырех ограни- $ ь 3АдАчА диуихлк для ууАВнвння пуАссонА 213 Р ченных (хотя бы в прямоугольшшв ха — Ьа ~ (ха ~ (ха + Ьае а =а =1,2, при Ь ~(Ь ) проивводных по х„, а 1, 2. Таким образом, разностный оператор (5) аппроксимирует оператор Лапласа (2) со вторым порядком на регулярном шаблоне «крест». Аналогично строится разности ая аппроксимация р-мерного (р ~ 2) оператора Лапласа У $ Ьи = ~'„Ьаи, Йаи =' да да«, (9) Заменяя Ь трехточечным равностным оператором Л, получаем ЛУ= 3 Лаоэ Лао= О (10) а=1 так что Лаи = и- = — 1У вЂ” 2У+ и (+1а) (-1а)1 (И) аааа Ь« а соответственно.
Для этого воспользуемся выражениями (см. гдв о( а) = и(х( )). Здесь х( ") (или х( )) — точка, в которую переходит точка х (х„..., х,) при сдввге по направлению х направо (или налево) на отрезок длины Ь (рис. 7). Шаблон для оператора (10) состоит, (*а) ' очевидно, из 2р+1 точек х, х а 1, ..., р (из 7 точек при р 3), ~а да а погрешность аппроксимации имеет рве. 7. второй порядок. 2.
Аппроксимация оператора Лапла- 8 са на нерегулярном шаблоне «крест». Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию оператора Лапласа на нерегулярном шаблоне «крест». В случае двух измерений (р 2) этот шаблон со- И Я- стоит из пяти точек (х, — Ь1, х«), (х, + Ь1+, х«), (х1, х«), рве. с. Нврвгуларвмй шаб- (х„х — Ь, ), (х„х«+ Ьв+), гдв Ь,»>0, Ь«а>0, причем Ь,+ч'*Ь, по крайней мере, для одного а '(рис. 8). КажДый из опеРатоРов Аа и Ь~ аппРоксимЯРУем по тРем точкам (х, — Ь,, х,), (х, + Ь,+, х,), (х„ х,) (точки 3, 1, 0), (х„ х, — Ь« ), (ха х, + Ь,+), (х„ х«) (точки 4, 2, 0) 214 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
