А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Можно написать монотонную схему и на неравномерной сетке. Укажем еще один способ получения монотонной схемы для уравнения (18). Умножим уравнение [18) на функцию )ь(х) и потребуем, чтобы «(йи')'+ гри' (йри')'. Это равенство возможно, если г)< й)<', так что Уравнение (рйи') ' — рри гл. ш. одноэодныи влэностнык схимы / (72 аппраксимируем консервативной монотоннбй схемой (рау-„)„— р Ыу= — рр, р = р(х — 0,5й), (24) где, например а»=й»~„А»=д„»р»=7». Если отношение г =гlй велико, то р(х) может быть очень большим числом. Сократим обе части разностного уравнения — (а»+»р»+14(у»+» — у») — а»р» и, (у» — у»»)] — р»д»у»= — р»»» (24') .л' р,— р, рЦ еи).вр у ~* ю~ р »о ную, но монотонную схему 1 — (Ь»у...» — а»у-„») — д»у» = — »», 1 = 4, 2,..., Зг — $, (25) у»=иь у„=и„ где ~»+па й» Ь» = а»+»ехр ) г(1)»»», а» = а»ехр — ) г (1)Ю .
(25') й» Й» Ф/ Нетрудно убедиться прямой проверкой, что эта схема имеет второй порядок аппроксимации, так как и й» + г»+0(й») 2 й»+0(й») Заменяя интегралы в (25') с точностью до 0(й*) выражениями ь ~ ~ ь 8 (Зг»+ г»+») и 8 Зг»+ г»») соответственно, получим монотонную схему с коэффициентами » г л Ь» = а»+» ехр ~ — (Зг»+ г»+»)~ и а» = а» ехр ~ — — (Зг» + г»-»)~ 8 имеющую второй порядок аппроксимации. 4. Раэиостные схемы для стационарного уравнения в цилиндрической системе координат. Стационарное уравнение диффуэии или теплопроводности »»1т(й угад и) — ди — 7(г, »р, х) в цилиндрической системе координат (г, «р, х) в случае, когда решение и = и(г) не зависит ни от г, ни от»р (имеет место осевая симметрия), принимает вид — — (гй(г) — ) — у(г)и= — 1(г), 0<г<В, (26) Ы» Ии~ д(г) > О, 0 < с, ( й(г) ( с.. 1 ь.
дгтгив 3АдАчи 173 . При г = 0 ставится условие ограниченности [и(0))< , которое эквивалентно услйеию э) 1(шгй(г) — = О. »»э о й При г Н ставится обычное краевое условие, например, (28) и'(0) О. (29) Введем равномерную сетку э»л (г» 1й, 1 - О, 1, ...,»»(,йЛ»=* Ю на отреэке О~г~)». Раэностную схему для уравнения (26) напишем, по аналогии с п. 2 $2, при помощи метода баланса т»+и ° т»+ч 1 — [и»+и — »а»» 1 — — ) уиг»(г = — — ~ 1(г) г»[г, (30) ° — °;~ .) т» $/ .» 1/ где г»»й,1 1,2,...,Ж вЂ” 1,й В/1»(, т»», г»~0,5й, »а гй(т)»)иИг.
Аппроксимируя поток»а выражением и»» л - г»-ла»(и»вЂ” — и»»)/й и эаменяя интегралы в уравнении баланса (30) выражениями»1»и»т»й и»р»т»й соответственно, получаем рааностное уравнение 1 Лу»= — (г» Аа»у„- ), — »2»у» = — »р», (ле1,2, ...,Лт — 1, (31) т» г»-г»» г»+ г где у =,, у,,»=, коэФфициенты а», 4 и т,» ') См. дэяслнэнэе 11 э казгэ: Т в х он о э А. Н„ С а и а р с ки и А'. А. Урээвэная математической Фвэвки.— Мэ Натка, 1972. иИО = )»». Пусть и,(г) и и,(г) — линейно независимые решения уравнения (26), причем и,(г) ограничено при г»в(0, И.
Тогда справедливы свойства: 1) Если д(0) и 1(0) конечны, то и,(0) ел О, и,(0) = О. 2) Если 9(г), У(г)»нС"ЧО,В), й(г)»нС"ЧО,В), то проиэводные Р им й»» и~ы), и»М) ограничены при О~та=В. 3) Второе, линейно неэависимое с и,(г) решение и,(г) уравнения (26) имеет при г='0 логарифмическую особенность. Условия (27) и (28) выделяют единственное решенве уравнения (26). В силу свойства 1) условие (27) можно ааменить тре- бованием 174 гл.
1п. Одногоднык РАзностяьш ф< выбираются так, чтобы Г а» й» о + 0(Ь'), <1»= д<+ 0(Ь*),гф»= 7»+ 0(Ь<), (32) В простейшем случае а =й<-»о» А=д»» ф<=Л. (33) Аппраксимируем краевое условие при г= О. Вго можно эаписать как условие равенства нулю потока прн г = 0: и<(0) = О. Покажем, что раэностное краевов условие а<у, (0) = — (д (0) у (0) — 1 (0)) (34) имеет погрешность аппроксимации 0(йо) на решении уравнения (26), удовлетворяющем краевому условию (27). В свмом деле, невявка для (34) равна т = а<и, (0) — — (д (0) и (0) — 7 (0)).
(35) Подставим сюда ао = йо + 0,5ййо + 0 (Ьо), и„(0) = и' (0) + 0,5йи' (0) + 0 (Ьо), получаем о-= (йи)о+ 0 5Ь (йй)о — — (доио — 7о) + 0(йог (36) Иа уравнения (26) имеем (йи')'=ди — 7 — —. Так как и'- в ьи' » - 0 при г- О, то — -о (йи ), при г- 0 и (37) (йи )о = (ди — 7)о — (й™ )о = 2 (ди — У)о. Подставляя (37) в формулу (36) и учитывая (29), получаем т 0(йо). Разностное краевое условие (34) будем ааписывать в виде о<у»о . Ь доу = — 7 Ьо=— ь» Таким обрааом, вадаче (26) — (28) поставим в соответствие рав- ностную схему Лу.= — ((г — 0,5Ь)ау-,)„— <(у = — ф, 0<г = 1Ь<1, 1 а<тьо 1 — — доуо= — 7о» Ьо= 4 Ь Уя=)оо (38) о 175 Для определения р, получаем разностную краевую задачу А»у» в — С»у»+ А»+»у»+в = — Р», 1= 1,2, ...,Ф вЂ” 1, (39) г»,/ о» А» = ', С» = А»+ А»+» + г»»(», Р» = »р»г», л' (41) с краевыми условиями уо к»р»+»»„у„= )»„ (40) где кв — — ав~(а»+ 4 те) (в» = 4 /е ~~а»+ 4 то).
Эта задача решается методом прогонки (см. $2 гл. 1), усло- вия устойчивости которой выполнены, так как А»~0, С»,~А»+ '+А»+», 0 < к» < 1, ко О. Перейдем к оценке точности схемы (38). Подставляя в (38) (/=г+ и, где и — решение задачи (26) — (28), а р — решение за- дачи (38), получим для погрешности з р — и задачу Лх = — ((г — 0,5)») аз-„) — »Ь = — »р, ° 0 < г = »а < 1, 1 а»зко/й о — дозе = — ч, зх = О, где»(» и ч — погрешности аппроксимации уравнекик 1 Ф =,. (г»-'/.а»",,»),,»»в»п» +»р» (42) и краевого условия ч = свит,о/а ° — цао + / о. (43) Пользуясь уравнением баланса (30), преобразуем, как обыч- но, »р к виду Ф= — Ч,,»+Ф», т)»=г» /,(а»и;» — (йк)» /,) т»+1/ г»+1/, о 1 (' ~'„,,„ /, ).' „) аг»,) г» г» ° / г» й/ Положим г г»+ой и получим разложение интегралов, входя- щих в 'формулу даял», по степеням й» г»+з/ е,в — /(г) г»(г = — » 7'(г» + зй) (г»+ з)»)йз = 1 (' 1 Р » г»,) н 1/ -о,в е,в е,в ~ У (г»+ зй)»Ь+ — ~ (У» + зЛ4» + О (йв)) з»Ь = г» -е,в е.в ч »»+ 12„У»+О (/») нх.
1п. Одногодныи РлзнОсхныи я~Бмы 176 и, аналогично, тн. ч ° Г л' = у»и» + 2 (уи)» + О (й») т» ч так что (44) ш»+» = ш» „,г»йть»(~ы»о» = — — т. в (47) ь» Подставим в (47)»о»+» = Ь»+,(о,+, — о»УЛ: »е,л о» = о»+» —,' + ь,),'» ЛМ~ь. »+» »+» ь=» Просуммируем (48) по 7 = », »+ 1, ..., У вЂ” 1 и учтем, что о„О: Ж-» н-1 » о» = — ш» ~~ л + ~ ь г» Лгал. л ч,. л 'ч» (49) Р»»+1»»»+1 ь» (48) т.
е. 1г»реле 0(ЛЧ. Очевидно, что функция т(» = а»и„— (йй)» и, =' 0(йе), т. е. е о ц» — »'»»»(» т(» = 0(й»). (45) Сравнивая формулы (35) и (43), находим, чтет = йет. Отсюда следует, что т 0(й), так как выше мы показали, что т 0(Л»). Перейдем к оценке погрешности з у — и. Нам понадобится Лемма. Пусть з — решение задачи (41), а и — решение той я»е задачи нри»»» О, 1 1, 2, ..., »У — 1, д, О. Тоеда имеет е»осто неравенство '»з"»о= шах ~з»!(2»о)о.
(48) е<»<н Для доказательства достаточно воспользоваться леммой ие п. 8 т 2 гл. 1, еаписав уравнения для з и з — о в форме (41). Функция о» находится в явном виде из условий »е»+» = — »р», »=1,2,...,»»' — 1, »о»=Ь»от, Ь» =а»т» » »е» л он=Π— '= — т, т. е. »о = — — т ьтн где»)» определяется формулой (42) при»(» ~ О. Суммируя уравнения ш„+» шь — йт»»), ко й 1, 2, ..., 1, получим $ э. ДэуРиа зАдАчи Подставляя в (49) ф» = — т)„» + ф», находим 1 Ф г» 1 1 ~ 1 1 Ч ° — г1 Ьг»т» = э (Ч)+» — Ч1)+ Э г1ЬМ>» ры»» 1+1 1+»» — Ьг»$» < — (~т)1+, ~+ ~»,1)+ Ь „ 1 , ~ -- е,+, э)+ 1 г)+ Ч <+(~Ч,+ ~+~Ч!)++~ ф'~о.
'1 1 так как 1)1+» — — г)+ ьт)1+Ос ~ Ь = г)<г;+ ь. Далее имеем »-» В результате.приходим к следующему неравенству: Ис(,,~ +; '~~~ Ь~~тО+ ~+~1)~~)+ —,1гф'1о. (50) » ~о 1- Подставляя в (50) оценки ч = 0(й), 11р! 0(Ь*), !!гфэЦ = 0(й'), убеждаемся в том, что !!И~с=0(й»), и, следовательно, йА < 21о1с < И', т.
е. схема (38) имеет второй корядок точности в С. Рассмотрим схему второго типа — есхему на потоковой сетке». Рааобьем отрезок (О, В) на Ж частей, введя узлы (потоковые точки) г, О, г, 0,5Ь, г»= »,5Ь, ..., г1 И вЂ” 0,5)Ь, ..., гв-а (У вЂ” $,5)й, г» (У вЂ” 0,5)Ь = В. Пусть у~ у(г~) — значения искомой сеточной функции в этих узлах. Для получения раэностной схемы воспользуемся уравнением баланса для (26). Рассматривая уравнение баланса (аналог (30)) для интервала г~, г<» < г < г~+» гэ получаем =(г1,а1,у;,)„— 4у»+ф(г1) = О, 1= 2,3,...,)У вЂ” », (5$) г1 ~ где г<=1Ь, г»- (1 — 0,5)Ь, а, й, ф выбираются по аналогии с (32) — (ЗЗ), так что в простейшем случае о, й(г,), ф, )(г~), И,* о(г~).
(52) (2». л. сам»рсквэ <78 Рл. пд. ОднОРОдные РАэнООтные схемы Иэ уравнения баланса для интервала 0(г(г, й ве — ~+ =) ('»(Г) — д(г) и(г)) г«)г =О, ш(г) = гй(г) и' (г), Р»7< Р»Л ж условия .ш, = 0 следует раэноствое уравнение при г- г, = 0,5й: г«а«у, «/(г«й) — «д,у«+ «р, О, (53) тде а„А, ч«, определяется по формулам (52). При г В ставится обычное условие р» ~ р««.
(54) З результате получаем раэностное уравнение (54) с краевыми условиями (53) и (54).- Пусть р р(г) — решение этой задачи. Для погрешности л = р — й получим саедуюп»ую задачу: = (г<,а» дз„-,), — 4з» + «р(г<) = 0 г» г»=(д — 0,5)й, »= 2,3,...,Ж вЂ” 1, зл= О, гда з д«дгдй) — «дзд + «рд = 0 хде «р — погрешность аппроксимации, равная » «р»=»р(г») =(г» да< ди; ) < — Аи<+«р»< »=2,3,...,У вЂ” $,-- гд «рд = = а,и,, — <(диз + «р„причем и< = и (Г<» = и< цз. гЛ "Отсюда и ив уравнения баланса для интервала г« ~<г(г» следует, что «р< = =.(Г» д»)»/г+«р<„ г< Ф »)< = а<-ди';,» — й< ди< д, < = 2, 3, ..., <«Г, »)д = О, г< <р» = «р» — «р< — (а< — »«) и» + = гр(г) (и(г) — и(г»))<»г, Лг< и-д г< е а иде «р» = = ) Г)(г) «»гд «д» = - ) го (Г)»<г.
г<Л г<Л г»-д г,, $ а дгутив 3АдАчи 179. Вычисления дают »»»» — р» = о(й). г» ' Для решения задачи (55) с правой частью »г» = = (г»-~ "»)" +— г» справедлива оценка того же типа, что и для задачи (41). Ии; этой оценки следует Пх!! = Иу — аП~ = 0(й~), т. е. схема (51), (53), (54) имеет второй порядок точности, ес- ли й(х), д(х), ~(х)»кС"»(О, П. 5. Разноотные схемы' для уравнения в. сферической системе координат. Если решение уоавнения»)п (й йта»( и) — оп ° =-1(г, 6, »р) в сферической системе координат обладает цент- ральной симметрией, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
