А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Исходное семейство консервативных схем. Семейство одно- родных консервативных схем (17) задано, если указан класс шаблонных функционалов А[х(гН, РЦИ!. Мы будем предполагать, что Щ(гН вЂ” линейный неотрица- тельный функционал, так что: 1) Р[с«71 (г) + св(1 (г) ! = с«Р[71 (г)) + с Р [~ (г)], — 1)2<с<1!2„ где с, и с, — произвольные постоянные; 2) Щ(гН > 0 при 7"(г) > О. Хотя, как показывает пример схемы И5'), А[х(гН' является, вообще говоря, нелинейным функционалом, мы для упрощения изложения будем предполагать, что А[й(г)) — линейный неотри- цательный функционал, и наряду со схемами Иб) — И7) рас- г г. консигвлтивнык схкмы сматривать схемы, у которых коэффициент а(х) находится пе формуле (ср.
с И5')) ( — — А Условия второго порядка аппроксимации И8) накладывают ограничения на шаблонные функционалы А[й(г)] и г'[у[гП. Рассмотрим сначала ф(х) Уг[У[х+ гй)] У[У(х) + гЬУ'(х) + 0(Ь*)) = У(х)Л1] + Ь['(х)Р[г] + 0(Ю. Отсюда и иэ И8), в силу произвольности У(х), следует УгИ] 1,. г"[г! =О. 120) Аналогично находим гь е а (х) = А [й (х) + гйй' (х) + — й' (х) + О (Ьг) ~ = = й(х) А [1] + Ьй'(х) А [г] + — й" (х) А [гг] + 0(йг) а(х+ Ь) =* = й (х) А [1] + Ьй' (х) А [1 + г] + — й' (х) А [(1 + г)'] + О (Ьг),' а (г +Ь ) — а (г) = (А [1 + г] — А [г]) й' (х) + — (А [(1 + г)г] — А [гг]) й' (х) + О (Ьг)„ = А[1] й (х)+ — (А [1 + г] + А [г]) й' (х) + 0 (Ьг). Сравнение с И8) дает А[1] =1, А[г] = — 0,5, (21) так как А [1 + г] + А [г] = А [1] + 2А [г] = 0 А [(1 + г)г] — А [гг] = А [(1 + г)г — гг] = А [1 + 2г] = = А[1]+ 2А[г] =О.
Для схем И7), И5') при проверке И8) следует учесть, что а(х+Ь)~а(х) = а(х)а(х+Ь)( — ~ „), 1 $ ] 1 2 (а[а+а) + г[г) ! Цг) + а[х)а(х+ Ь) = й*(х) + 0(УР). 150 гл. пь одногоднык Ргзностные схимы В етом случае А[В(г)) также удовлетворяет условиям (21): В част- ности, для функционалов о,ь о Р[У(г)) ~ ~(г)ь[г, А [)(г)1 = ) )(г) аг -о,ь -1 условия (20) и (21) выполнены: ох о,ь Р[Ц= [ де=1, Р[г)= ~ го[а=О, -о,ь -о,ь о о А[11= ) йг= 1, А[о[= ~ гь[г= — 0,5. -1 -1 В дальнейшем мы будем всюду рассматривать исходное се- мейство однородных консервативных схем И6) — И7) и И6'), И7) с линейными и неотрицательными шаблонными функциона- лами А[й(г)! и Р[7(г)), удовлетворяющими условиям второго по- рядка аппроксимации (20) и (21).
Схему И7), И5) в дальнейшем будем ныгывать наилучшей схемой. й 3. Сходнмость и точность однородных консервативных схем 1. Погрешность аппроксимации в классе гладких коэффициентов. Основной вопрос теории — оценка порядка точности однородной схемы Иб) — (17) из $2 в классе непрерывных и раерывных функций й(х), д(х) и 7(х). Пусть и(х) — точное решение задачи (й(х)и'(х))' — у(х)и(х) -р(х), 0 < х < 1, и(0)=ио иИ)=ио, Ус(х)>сь)0, д(х)>0, И) а у у(х) — решение рагностной задачи (ау-„)„— д'(х)у = — <р(х), х = ьй, ь' = 1, 2, ..., Ль — 1 (2) у,= и„уя= и, а(х)>с,>0, Н(х)>0; из исходного семейства консервативных схем, определенного выше (см.
$2, и. 4). Рассмотрим погрешность, т. е. сеточную' функцию г(х) у(х) — и(х), где х ьи оьь. Подставляя в (2) у(х) г(х) + и(х) и предполагая, что и(х) — заданная функция, получим для погрешности задачу Лг = (аг-) — Ыг = — ьр(х), х = ь)ь, ь' = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1 (3) г(0) = г(1) =О, а)сь)0, Н:вО где невягка ьр(х) = Ли + ~р (х) = (аи„-) — ььи + ор 9 3. сходимость и точность консеРВАтиВных схим $5( есть погрешность аппроксимации уравнения (1) разностной схемой (2) на решении и и(х) задачи (3).
В и. 4 Т 3 были получены условия второго порядка локальной аппроксимации для консервативной схемы (2) с линейными неотрицательными шаблонными функционалами А()3(3Н, Щ(3)!: А(П $, А(3) = — 0,5, ЛП $, Р(3) = О (5) (для схемы из исходного семейства). Для оценки порядка точности схемы (2) нам понадобится оценка погрешности 3 у — и как решения задачи (3) через правую часть ф Начнем с исследования погрешности аппроксимации фх). Если й(х) ш Ссо и д(х), ((х) ш С'", то ф [х) = Ли+ ~р — (а и + )) = = Иаи„-) — (йи')') — (А — д) и + (ар — Д = О ()33), т.
е. Схема (2) имеет второй порядок локальной аппроксимации, так что Рфе ~ Мй*, где М= совз3> О не зависит от й. В дальнейшем будет показано, что к-1 ~ е (р1,= Х й~ ХЬр, <Мйе, если х(х), д(х), ~(х) анС"', т. е. й(х) имеет две, а не три непрерывные производные. 2. Погрешность аппроксвющии в классе разрывных коэффициентов.
Покажем сначала, что погрешность аппроксимации (4) всегда можно представить в виде т= де+ ф' (6) ц =( -) — (ааи) Л, (7) ее ( Ее а~'-(а- (у(аа- а>е) — '(а -аа( а- а) ( + а)а). -е,е е.е (8) Для этого воспользуемся уравнением баланса, которое получается после интегрирования уравнения (() по х от ха а,а до ха+ане'. аз+На в [(йп')3+на — (йи'.)» Ч,) — ь ~ д(х)к(х)Ах+ ач а/ е3+а/а + — „~ ~(х)дх = О. 1 еа аа ° 152 гл.
пь ОднОРОдные Раэностнь»и»Блина Вводя новую переменную г (х — х«)УЬ, перепишем уравнение баланса в виде о,ь о,ь ((Ьа')» .у,)„— ) а(х»+ гЬ) и(х»+ гЬ)»Уг+ ) У(х»+ гЬ)Иг = О. -о,ь -о,ь После вычитания этого уравнения из (4) получаем формулы (6) — (8). Если Ь(х), »у(х), У(х) ~ С'", то Ч» = 0(Ьь), «[«; = 0(Ьь). (9) В самом деле, + 0,5Ьи; У«+ — и; я+ 0(Ьь), « ь' — 0,5Ьи; у ° + — ьч ь + 0 (Ьь), и»=-и» 5 и» ь = и» « и„-,» = и» + 0(ЬьУ), Ь» — ь) ૠ— ч, + 0 (Ьь) = 0 (Ьь), т»» = (а»вЂ” так как а» = А [Ь (х» + гЬ)) = А [Ь (х» и, + (г + 0,5) Ь)) =- = А [Ь»' Ь + ЬЬ; Ь (г -[- 0,5) -[- 0(Ьь)] = = Ь» «ь + ЬЬ; «НА [г + 05) + 0 (Ь) = Ь» «ь -(- 0(Ь»).
о,ь Замечая затем, что )»«(х»+гЬ)ь[г=»«»+0(Ьь) для и(х) «иС"', -о,ь получаем ф = (а»и» — »У»и») + (»р» — У») + 0(Ьо) = 0(Ьь). Перейдем теперь к случаю разрывных коэффициентов Ь(х), О(х), У(х). Вез ограничения общности можно считать, что Ь, д и У имеют разрывы первого 'рода только в одной точке х= $ «и (О, 1), так что В- .+ЕЬ, О<В-В(Ь)<1, о<я<)У.
Решение и = и(х) уравнения (1) при х й удовлетворяет условиям непрерывности функции и(х) и потока Ь(х)и'(х): [и) =и($+О) — и(э — О) =О, [Ьи') О при х э. Будем предполагать, что У»(х), »у(х), У(х)»и(У»п и, следовательно, и(х) ЫЧ»«». РассмотРнм сначала выРажение Чо Очевидно, что Ч» = (аи„-)» — (Ьи)» «и — 0(Ь) для всех »~и+1. Оценим Чо+» = ао+»ио „+,— (Ьи'),+«, Воспользуемся разложениями $3. сходимОсть и точность консеРВлтнвных схем 153 в окрестности точки х = $: и ~1 и($)+(1 — 9)йи'($+0) + ' . Ьби" 5+0)+0(йб)„ 6) — 9Ь '( — о)+ 2 Ьъ ( — о)+0(й)„ (йи')„.».
Ь= (Ьи') Е.».б+(0,5 — 9)й(йи')„=1+~+0(йб) при 9<0,5 (Ьи')+н,=(йи') б б+(0,5 — 9)Ь(йи') 1 б+0(йб) при 9)0,5 Н НайДЕМ ВЫРажЕНИЕ ДЛЯ б)„+с. 1)а+1 = ге+1 ((1 — 9) иа+ 9ид) — и>б+ 0(Ь), ГдЕ исб (Ьи'), (йи')б, и, =и($ — О), и, и($+0). Иа условия сопряжения (йи'3 = 0 следует, что сЕ 1 — 91 9.+(1 — 9) .=( — +=)ю., »сг»са !В 1 — Еб б)„+1 —— ~а„+1 у+ — ~ — 11 сгб + 0(Ь). Рассмотрим наилучшую схему (15) из т 2. Для нее Э 1 1 ( ' с»г ( с»с сс(асс+1+ За) сс (асс+ си) сс+1 б е 1 е =1„(." гй)+1„(.'* „,— -1( +(.— 9 (+) + )) .+ б В б 1 »" +~~ ~ +(г — 9)й( —,) + 0(йб))с)г= —,, +:,+0(й), е так что 1)„+,=1)„+, 0(й).
Для всех других схем т»„+, ОИ). При оценке»р» надо равличать два случая: 1) ПУсть 9(0,5. Тогда »Р» = 0(Ь') пРи с чьи, а буа ='0(1), а о и лишь для наилучшей схемы (срс = ~рс, ссс = с)с) бб »рс = ) 9(хс + гй) (и(х» +гЬ) — ис) сЬ = 0(й) при с=и„ -б,б так как и(х„+гЫ иЦ)+0(Ы при любых гш( — 0,5, 0,5!. 2) Если 9~05, то»г» =0(й) при 1~и+11 а ф+1=0(1) и Ф'„+1= 0(й). 154 гл, нь Одпогодпык Рлэностныв схимы Таким образом, й =0(й'), '~о+1, ц.+,=0(1), ц„+,=0(й), Ч~л — — 0(Ь') при г'Фп, Ф,', = 0(1), ~Р'„= 0(й), если Е(0,5, (10) ф~~=0(йл) при 1чьп+1, ф„'+, =0(1), ф„'»., = 0(й), если 6)0,5. Отсюда следует, что в узлах х х„и х=х„+, функция фх) имеет вид 1р„= — "+' + 0 (1), т ел = — "л+' + 0 (1), ц„»-, = 0 (1), (11) т. е.
в узлах, соседних с точкой разрыва я=5, схема (2) не аппроксимирует уравнение (1), так как ф = 0 ~ — „~-л. оо /1\ $з+л — — О( — )-~-оспри й- О. Из формул (11) видно, что "глав- ные слагаемые в выражениях ф„и ~з„+, равны по абсолютной величине и противоположны по энаку, так что ф„+ф„„-о(1), й(ф„+ р„„) -0(й), т. е. погрешность аппроксимации в окрестности разрыва коэф- фициентов й(л) имеет дипольный характер. Именно поэтому, несмотря на отсутствие локальной аппроксимации, консерватив- ная схема (1), как будет показано ниже, имеет первый порядок аппроксимации.в норме И1 =(1,!ц!)+(1, !р!) =0(й), $-1 где р» = 3 Ьфл, 1 = 2, 3...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
