А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ав -нг Опуская индекс (, это выражение можно записать в виде тг г,»»~у» = ~ч~~ А» [й(х+ гй)) у" (х+ тй) + В" [й(х+ гй)]. т=-тг Целью теории однородных раэностных схем является отыскание (в исходном семействе) схем, пригодных для решения возможно более широкого класса задач, а также выделение наилучших схем (по порядку точности, по объему вычислений и др.). гл. ш. ОднОРОдные РавностныВ схимы В этой главе мы дадим изложение основных вопросов теории однородных разностных схем для одномерной стационарной вадачи теплопроводности с переменными коэффициентами. Полученные здесь результаты будут использованы в дальнейшем при изучении однородных разностных схем для, нестационарного уравнения теплопроводности: — = — ~й (х, 1) — ! — д (х, 3) и + у (х, 8) ди д I ди '1 и уравнения колебаний — = — ~й (х, Π— ~ — д (х, й) и + ) (х, О.
а'и а ( аи~ дз 2. Исходная задача. Рассмотрим первую краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности или . диффувии — ~й(х) — ( — р(х) и = — у(х), 0(х(1, г ( ди1 дз~ дх( (1) и (0) = и„и (1) = и„й (х) ! з сз ) О, д (х) ~ )О. Эта задача имеет решение, если й(х), д(х), У(х) — кусочно-непрерывные функции (принадлежат классу Чы')*). Если й(х) имеет разрыв первого рода в точке х = $, так что [й) = й($+ 0)— — й($ — 0) чь О, то при х з ставятся условия сопряжения [и) =О, [йи') -0 при х-4, (температура и и поток [ — йи') непрерывны). При х 0 и х= 1 могут быть заданы краевые условия йи' [),и — )з, при х = О, — йи'=фзп — )зз при х = 1.
Если, например, ф,) О, то это условие третьего рода, при р; = = 0 — условие второго рода. Возможны различные комбинации условий первого, второго и третьего рода (например, при х 0 —.условие третьего рода, при х 1 — условие первого рода и т. д.). Мы проведем' основное изложение для первой краевой задачи. 3. Трехточечные схемы. На отрезке [О, 1) введем равномерную сетку юа (х~ = (й, 1 О, 1, ..., У) е) мы пользуемся обозкачевкямк: с<ю [а, ь) †кла фулкцкй, имею. щих и вепрерызкых ка отрезке а ( з < Ь производных, ф">[а, Ь) — класс фуикцкй, кусочко-кепрерызных ла [а, Ь) вместе с прокззцдкымк до и-го порядка зключктелько, О<О[а, Ь) — класс кусочно кепрерыекых аа [а, Ь) фувкцкй. % 1, уРАВнения с пеРеменными козФФициентАми 139 с шагом й-1/)У; обозначим <сл = (х< = (й, < = 1, 2, ..., ))/ — 1), у,= у(х<) — сеточная функция, заданная па а,.
При написании схемы, аппроксимирующей уравнение (1), возьмем трехточечный шаблон (х< „хь х,+,). Любое трехточеч- ное разностпос уравпение на этом шаблоне можно записать в виде а,у<, — с,у,+ Ь,у<ы — Ир<, 1= 1, 2, ..., )</ — 1, где аь сь Ь< и ф< зависят от шага й, или в виде А <ЛЬ< Л а< Ь ) <[<У<+ <Р< = О* (2) 1 / Р„.,— У< Р< — Р< л~ где с[< = (с< — Ь< — а,)/й'.
Козффициенты аь Ь„<)< и правая часть <р< пока не определены. Пусть па шаблоне -1 < 8 < 1 (т. е. гн, = тл = 1) определены функционалы ~л[ь(8)) Вл[ь(8)) ))лЯ(8)) гл[/.(8ц для любых функций й(8), д(8), /(8) из О<", зависящие, вообще говоря, от параметра й. Если коэффициенты разностной схемы (2) при любых й(х), д(х), /(х) <н Ч<" во всех уалах х< произ- ВОЛЬНОЙ СЕТКИ Фл ВЫЧИСЛЯЮТСЯ ПО ОДНИМ И тЕМ жЕ фОРМУЛаМ а< А"[й(х<+ зй)), Ь, = Вл[й(х<+ зй)), (3) А = А)л[</(х + ай)) <р гл[/(х<+ ай)[ то схема (2) называется однородной. Отсюда видно, что если, например, задан функционал Ал[й(8)), то для вычисления а, надо положить формально й(8) = й(х, + зй) и т. д.
Если схема (2) однородна, то индекс 1 можно опустить и (2) записать в виде — (Ьу — ау-) — <[у = — ф, у (О) = и„у(1) = и„(4) 1 где а=а (х), Ь=Ь (х), у = у (х), х=(й ен Ф<„ у„ = (у (х + й) — у(х))/й, у- = (у (х) — у (х — й))/й. Семейство однородных схем задано, если задано семейство шаблонных функционалов А", В", 1)л, г"л. Требования аппроксимации и разрешимости задачи (4) накладывают ограничения на произвол в их выборе.
4. Условия второго порядка аппроксимации. Вычислим локальную погрешность аппроксимации схемы (4): 1р(Р) [ — „(ЬР— ао-) — <[Р+ <р 1 — Нйп')' — ус+ Д 8 249 гл, нх ОднОРодные Равностные схемы где и — произвольная достаточно гладкая функция, й, д, 1 также имеют нужное по ходу наложения число производных. разлагая и в точке л по формуле Тейлора, найдем Р и 1 О 5йй+ Р- +0(йз) Р Р О 5йза 1 6. Р 1 0(йз> ф(Р>=~~ — (Ь вЂ”.> — Ь). +( — — й~ ~+ — Ь -— » 1 !а+ь 1 „ь — а (ь / ( 2 / 6 — (»1 — а) о + (»р — 1> + О (Ь').
Требование»2(О) = 0(йз) будет выполнено, если ь — „а й (х>+От, а+а =й( >+От, (5) »з (х) = я (х) + О (Ь'), Ф (х) = » (х) + О (Ь ). Для раарешимости задачи (4) достаточно (см. гл. 1, 2 2, и. 8), чтобы а>0, Ь>0, »з) 0 для всех ха»аь (6) Приведем дза примера разностных схем второго порядка аппроксимации для задачи (1): 1 » У»+з — У» У» У» з » ь ~й»+1~а ь — й»-пз ь / — я»у» = 1»1 (7> 1»+з+» у»+» у»»+» з з» з» з ) у (8) ~ь +ь ..
ь+ь Ь 2 Ь 2 Ь где 1=4, 2, ..., )з' — 1, у,=и„у» и,, й, и — — й(х»~0,5Ь), й,, й(л» ~ Ь). Нетрудно видеть, что для каждой из этих схем выполнены условия (5), если й, д, 1 — достаточно гладкие функции. В дальнейшем для упрощения изложения будем предполагать, что шаблонные функционалы не зав))сят от параметра Ь и Р(Г(зН = И~(зП, так что а(х) =А(й(х+зй)1, Ь(х) В(й(з+зй)1, (9) д(х) г(д(х+ зй)1, ~р(л) = РЦ(х+ зй)1, где з»в (-1, 11.
Будем рассматривать семейство схем, для которых выполнены условия (5), (6), (9). Нас интересуют схемы, сходящиеся в случае разрывных й(х), д(х), )(х). Б следующем параграфе приводится пример, показывающий, что не всякая однородная схема 141 г г. конснгвлтивныв схимы вида (4), удовлетворяющая условиям аппроксимации (5) (в слу. чае гладких коэффициентов) и условиям раэрешимосги (6), сходится в классе раэрывных Й(х).
$2. Консервативные схемы 1. Пример схемы, расходящейся в случае раврывных коэффициентов. Рассмотрим задачу (1) иэ г 1 при д О, У= 0: (йи')' О, 0(х(1, и(0)=1, и(1)=0. (1) Представим (йи')' в виде йи" +й'и', Естественно, на первый взгляд, для получения аппроксимации второго порядка провести гамену а~+~ — Йс-г аыг иг-г й и-, й й.= и' и.= 2э' ~ 2$ ' я' 2а Тогда получим схему й '+' г * ' + *+' ' ' . '+~ ' ' — 0 (2) — 2 + . Э. — Й $ 2Ь 2Ь 0()<У'т', у =1, р =О. Преобраэуя (2) к виду (4) иэ г 1, найдем аг+ Ь- аг = йг — 4, Ь~=й~+ 4, А=~у; = 0~ (3) т .
е. схема (2) принадлежит семейству (4) иэ $1. Условия (5) и (6) иэ г 1 выполнены, так как на участках гладкости функции Й(х) имеем: а~ = Усг — 0,5йй~ + О (йг), Ь| = Ц + 0,5йй(+ О (йг)„ 0„5 (а~ + Ь<) = йе Ь; — а~ = 0,5 (Йьы — й;,) = йй~ + О (йэ), так что а,>0, Ь,>0 при достаточно малом й. Покажем, что схема (2) расходится даже в классе кусочно- постоянных коэффициентов (ймО<х<$, (йг, $(х<1, (4) где $ — иррациональное число, $ х„+Ой, х„=пй, 0 < 6(1.
Точное решение эадачи (1), (4), удовлетворяющее условиям сопряжения, имеет внд 1 — а х, 0 ( х ( $, а = (к + (1 — к) $)-', 6э(1 — х) $(<х~(1 ()о = као к = й,lй,. Найдем решение раэностной задачи (2), (4). Так как а,= Ь, й, при 0((<п, а,=Ь,=Й, прп и+1<1<Л/, то урав- гл.
пх одногодныв глзностныв схемы 142 пение (2) принимает вид у,, — 2у< + у<+, = О прп д тл и и д чл и+ + 1. Отсюда находим у;=у(х;) = 1 — а хо О»< х » <хо р(1 — х<), хоы<»х<»1. (6) Коэ<рфпцненты а и () определим из уравнений при д и, 1 и+ 1: Ь [6(1 — х +,) — (1 — ах„))+а„ай О, (7) Ь„+,Зй+ ао+Д(1 — х +,) — (1 — ах„)) = О.
11з (3) п (4) находим а„(5<й< — Й<)/4, а„+, — — (Й,+Зйо)(4, Ь„ =(ЗЙ, +ЙД4, Ь„+, — — (5Й< — )<,У4. Решая уравнения (7) относи- тельно а, 6 и учитывая, что х„= з — Ой, х„+,—— З+(1 — 0)й, определпм (д = )да, а— 1 3+«Бв — 1 в+(т — в) Ь+л(л — е — (т — о) в) "= з — з- = за+ ( '(6) , р= —.Л, Л= Предельный переход при й — О дает )дша = ао, )дшр = ро, л- о л- о где (9) а, = ( + (1 — )д) $)-д, ()о = )дао. Функции (6) доопределим на всем отрезке О <х»(1 (при помощи линейной интерполяции), получим функцию у(х, й), х<в <и (О, 1), совпадающую с у, в узлах х< (й.
Найдем предел у(х, й) при Й- О: (1 — аох, О»(х<»$, )=(() (1 — х) $<х<1. Сравним предельную функцию й(х) с точным решением м(х), определяемым формулой (5). Из (5), (9) и (10) видно, что й(х) и(х) при и, =а„Т()о ()о, а это возможно лишь при и 1 или Й< Йо. Итак, решение (6) разностной задачи (2), (5) при й- О стре- мится.к функции й(х), которая в случае Й<оьйо отлична от точ-. ного решения и(х) задачи (1).
Следовательно, схема '(2) рас- , ходится. Нетрудно установить физический смысл функции й(х). Функ- ция й(х) есть решение задачи (1), удовлетворяющее при х З условиям (й) О, (Йй') -а,()д-к)йо д, где д есть мощность 'сосредоточенного источника (стока) тепла в точке х = З. Вели- чина д меняется в широких пределах в зависимости от д< (в ча- 3 2.
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ 143 стности, д — ~ при к - 5 ~ О), Таким образом, физическая причина расходимости схемы (2) в том, что она нарушает баланс (закон сохранения) тепла, приводя к появлению дополнительного источника (при д < О) или стока (при д > О) тепла в точке х =ч. Схемы, нарушающие законы сохранения, называют ненонсервотивными или дисбалансными. Рассмотренный пример показывает, что при написании разностных схем следует добиваться, чтобы эти схемы выражали на сетке соответствующий закон сохранения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
