А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Х, р, = О. л-1 3. Априорные оценки для погрешности. Перейдем к оценке погрешности г„= р — и, которая является решением аадачи (3): Лз=(аг„-)„— Иг= — ~р(х), О(х= 1Ь .,1, з(О) =з(1) =О, где ф(х) — погрешность аппроксимации, выражение для которой было представлено в форме (6): т = Ч*+ 1р~. Покажем, что для решения задачи (3) с правой частью (6) справедлива оценка $ з 1с = '1 у — и 1с ~ ~—, ((1, ~ ц ~ ) + (1, ~ (л ( )), (12) 1 1-1 где р~=,г, Ьрл, 1=2,3,...,Ф, р,=О. л=~ $3. сходкмость и точность 1»онсегвлтивных схем 155 Достаточно оценить решение задачи Ли = (аи;)„— »1 = — Ч„, и(0) = и(1) =' О.
(13) Рассмотрим сначала задачу ' (ав„-) = — Ч„, в(0) = в(1) = О. Отсюда сразу следует ива+ Ч = сопе$ =с,. Выразим отсюда во=во-» — ЬЧ4аА+Ъс,/а», й 1, 2, ..., У. Суммирование по й от 1 до 1 дает » в» = во —,'» — +»оАо А» =,7, —. 1-1 1-1 Полагая 1»о' и учитывая, что в, = ва = О, находим Ф ч Ач, »о =,ьо А ~~~о а КА 1 А и, следовательно, А» ,р АЧА А» .х АЧА В» — а + р ,»еа а А аю» а А КД 1 А или -=-( -$) х"-.";.й х "-."; Так как А» ~ А„, то отсюда следует А 1 А»» 1=1+1 А А 1 Чтобы оценить и», рассмотрим разность $»=и» вЂ” в»; для нее имеем задачу (а$„-) — »$ = »1в, $ (0) = $ (1) = О, где а > с,~ О, »1> О.
Применяя лемму из н. 8 $2 гл. 1, находим 1ь1» < 1в1» и, следовательно, 3и1с(~(ЦО+Щс 21в3с~ (—,(1»!Ч!). 1 Таким образом, 1 1~< ~ (1 !ч!1 (14) 156 гл. нх одкогодньш Рлзпостныв схемы Функцию $з можно представить в виде Чч = Рх~ (15) г-т где )ч = Х Ьфз, 1 = 2, 3,..., )У, р, =О. Поэтому можно напиьч сать ф (т! + р), и воспользоваться оценкой (14): ]з]с< —,(1 ]Ч+р]]~ —,((1 !Ч]]+(1. ]р]1). 4.
0 сходимости и точности. Воспользуемся теперь резуль. татами, полученными в двух предыдущих пунктах, для оценки скорости сходимости схемы (2). .Теорема 1. Любая, схема (2) (с коэффициентами (16) из 32) в классе гладких козффициентов Ь(х), д(х), )(х) жС'ЧО, 1] имеет второй порядок точности: !!у — и!!с < МЧ, где М=совз1)О не зависит от Ь, а в классе разрывных коэффициентов Ь(х), у(х), У(х) =-Р<и(О, 1] — первый порядок точности: ]!у — и!!с < МЬ; наилучшая схема сохранлет второй порядок точности и в классе разрывных коэффициентов.
Эта теорема следует из представления погрешности аппроксимации в форме (6) — (8) и из априорной оценки (12). Учитывая е полученные в п. 2 оценки для т), и ф~ можно написать (1, ]т]]] = Ь]т! ~т]+0(Ьз), и~= 0(Ь') при ((и, (16) )ц = Ь (ф, + ц„+,) + 0 (Ьз) при 1) и + 1 и, следовательно, (1з ! р ]] = Ь !фа+ фз+д](1 — хя)+ 0(Ьз) (17) Из соотношений (16), (17) и (12) следуют все утверждения теоремы, так как ф +~4 =О(1) ф„+ ф',+, =0 (Ь) при любом 6 еп [О, 1], о Ч е =О(Ц, Ч„+ =О(Ь).
$». СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ В случае гладких коэффициентов, очевидно, ц» = 0 ()»л), »у»'= 0(й') для всех»=1, 2, ..., У вЂ” 1 и для любой схемы; поэтому (1, !») Ц + (1,))В!! = Ой'). Замечание. Можно показать, что аппроксимация в классе гладких коэффициентов необходима и достаточна для сходимостн однородной схемы (2). Э 4. Однородные разностные схемы на неравномерных сетнах 1. Схемы на неравномерных сетках. Для решения дифференциальных уравнений на практике часто используются разностные схемы. на неравномерных сетках.
В гл. П, $1 для простейшего уравнения и" = — ) была рассмотрена схема на неравномерной сетке »ел = (х»а 1 = О, 1,..., Ф, х = О, хл = 1, й» = х» — х 1) и проведено изучение погрешности аппроксимации для этой схемы. Чтобы 'получить однородную консервативную схему на неравномерной сетке <еа, напишем на интервале (х«- /„ха+на), где х<,/, = х< — 0,5)»„х<+</а —— х<+ 0,5)»<+„уравнение баланса х»+а/ х»+а/ ш» ч,— и<»+а/,— ~ р(х),и(х)»)х= — ~ /(х)»(х, и<= — йи'.
х» х а/ По аналогии с $2, и. 2 проведем замену /Ч+а/а ха+а/а о о йи<)х $»4и», <1»= — ~ д(х) ах, $» = 0,5(й»+)»»+1), л»,/ х» а/ х» ° / х» -1 (1Р.~ и/.,/ й а/ = а. Л * ' — — аи„- а»= <Ч", После этого, так же как и в $2, п. 2, получаем раэностную схему ) о у»+ — у» о у» — у. ~) о о л» ~ Г,,— », — »,1 л<+, л, ~ = > ха -1 х»+на х».оа/ о» р <» о 1 р 1 а, = — ) —, »)» = — ) д(х)<(х <р» = — ) /(х)»(х. =~ л, .) л(*)) * л» 3 ь ха- а/а х» а/ (2) гл. пь ОднОРОдные РАзностные схимы 158 Эту схему будем называть, как и в случае равномерной сетки, о о о наилучшей схемой. Коэффициенты а«, 1«, рь очевидно, можно записать в виде -1 ,) Ь(о +<А.) -1 о о,ь Ь» Р Ь,+, Р <у» = — ' ) д(х»+ой<)<)г+ — ' ) д(х»+ой»+1)»(г, -о,ь о о о,ь о Ь» Р Ь<», (' <р; = — — ) )(х<+ г)г») <)г+ — ' ) 1(х»+ гй»+1) дг.
— о,ь о Введем обозначения (см. гл. П 1): (3) <% 㻠— г - г+ — г Р»+ — у Уо,»= Ь ' ""'= Ь. » <-»-1 э! гдеу»-'=1(х»~0) и т. д. Впрочем, можно пользоваться и дру- гими формулами, например, 2Ь+ Ь а а» = — (Й» 1+ Й; ), Ь»о +Ь у Ь»о» / +Ь»+19»+! Ь»<» / +Ь»+1<»+ / 22 В случае непрерывных коэффициентов иэ (5) следует а< Й< н<, <1<. д«, р<»<. Если точки разрыва совпадают с потоковыми точками (х х< по) сетки о»о, то а», <1«, Р< выбеРем слеДУюЩим .Рассмотрим трехточечную схему (ауй)- — »(у = — <р, х = х» ы о»ь< у (0) = <ь„у (1) =- и„а )~ с» > О, <У ) О. (4) Есл»г заданы Й(х), д(х), у(х) из ()<<ЧО, Я и известны точки их разрывов, то всегда можно выбрать неравномерную сетку так, чтобы точки разрыва коэффициентов й, <), 1 были бы ее узлами.
Такую сетку, зависящую от конкретных функций Й; д, 1, будем обозначать е»1(Х). Простейшие выражения для а«, 1«, р» на а<ь(Х), .как следует из (3), имеют вид ь»г< + ь<+»т+» ь»1» + ь»+11+» а»= Й» Ье»»»=, <Р; = 2Ь» ' . 2Ь» (5) $ а схимы нл нвггвномигных свткгх х59 абрагом: 2й»Ь» а»= а ~, »(»=д»1»р»=1», »+»-1 (5') где Х»+Ф/ Ф о ф» = (»р, — »р») — »(»и» + — ) а(х) и(х)»»х. (7) й» ч Предположим, что й; а, 1 имеют раэрыв первого рода в угле х», а при х», <х<х», х»<х <х», являются гладкими функциями. Польэуясь раэложениями 1(х»+ гй») = А-г+ эйли-е+ Ф») о(' при э< 0 и ~(х»+ гй») = 1».»., + гй»+,1»+, + 0(й»».») при г)0, о а также формулой (3) для»р», будем иметь Р "»1»-о+а»+»1»+о + ( ь»1» й ) По аналогии с этим можно написать Отсюда видно, что для схемы с коэффициентами (5) »р»=(т)+»))" +»р либо воэьмем -ч.
д .-Ююа~ п-ч.. "° ~й-ь~ Фч. 2Й '-5 ~~ 2$ » 2. Погрешность аппроксимации. Перейдем к научению по- грешности аппроксимации схемы (4) на неравномерной сетке е»»(К). Напишем уравнение для ошибки г* р — и: (аг-„). — Ыг = — »р (х), х я»сы (6) г = гн = О, а ) с» ) О,. »() О, где»р (х) = (аи-)- — »ги +»р (х) — погрешность аппроксимации. Пользуясь уравнением баланса ($), представим погрешность аппроксимации »р» в виде »р» = »)-. +»р», »)» = (аи;)» — (йи')» й, ГЛ. ПХ ОДНОРОДНЫЕ РАЗНООГНЫЕ СХИМЫ ' 160 где фГ = о (й»), ь» (за — т)» = о(й,)„ 8 В» = а»и„- < — (йи')» й = О (йг»), (9) У У 2» так кака» = й» б, и-„»=и» у,+0(й»). 3. О порядке точности на неравномерных сетках.
Введем скалярные произведения Ж-1 к (у, о), = ~ у»о»й», (у, и) = ~ у»о»й». »=» »-» где й=У($, й') — средний квадратичный»иаг сетки, если й, д, ~ыо'ЧО, 1). Если рагрывен только когЯ(дициент й(х) ж 0"', а д, ~ыС"'— непрерывны, то любая консервативная схема (4) второго порядка аппроксимации имеет на последовательности неравномерных се- Ь ток»о»(К) второй порядок точности. Это следует из того, чтец» = а»и-„, — (йи')» 1й = 0 (й») для любой нз указанных схем, а»р; = О (й().
Остался невыясненным вопрос о точности схемы (4) второго порядка аппроксимации на произвольной неравномерной сетке, т. е. при любом положении точки х $ разрыва коэффнци»»нтов х„< $ ( х„+„$ = х + Ой, 0 ( 6 < 1. Так как формула »р» = Чй, +»р», Ч» = (аи„-)» — (йи')»- у„ Справедливо утверждение: Для задачи (6) с правой частью (8) имеет место оценка ~г)о~ —,' ((1,~ц~+)ц~1+(1,)р~)), (10) 1 »-» где р» = ~'.» йь»уь р» = 0 1=2 3 ..
)о ь» Вывод этой оценки почти полностью совпадает с выводбм неравенства (12) нэ $3. При выводе оценки (10) необходимо только всюду заменить а»/й на а»/й». Из (10) и (9) следует, что схема (4) — (5) имеет на последовательности неравномерных сеток а»(К) второй порядок точности: бхбс 1у — и1в ~ МЪ~, у л.
схемы ня нерявномерньгх сетках 1Е1 где луг определяется согласно (7), верна всегда, то исследование точности в этом случае проводится полностью по аналогии со случаем равномерной сетки (см. $ 3). Если для простоты предположить, что о и ~ непрерывны, о, ~ »в С"', то г)л= 0(Ь~») для »~к+1, г) е» вЂ” — 0(1), и лишь для наилучшей схемы (3) л)„+» = 0(й„+,), а л » — »» — ь< (ух — у)л ° /, »» $ Лт» = у)й»+ 'ГЛ Л) Лоо Е ' ° Л(ц = 0(ПЛ) для веех л 1, 2, ..;, )г' — 1. Пользуясь аатем оценкой ИО), получаем, что наилучшая схема (3) — (4) сохраняет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов на проиавольной последовательности неравномерных сеток, а проиввольная схема (4) имеет в этом случае первый порядок точности.
Очевидно, что в классе непрерывных коэффициентов й, о, ) леС'"(О, П любая схема (4) сохраняет второй порядок на проиевольной последовательности неравномерных сеток. Для доеаэатегьства лосяедвего утварящевяя ковше воспояьвоваться оценкой вх гя. П, 1 4 дяя операторного урахвевяя Ал = йя $ лл 1У» -»~ о »У»о А» о» Ло гве А~с А, А= А» >О,А=*Я» >О. В нашем случал о Ау = — (ху-1 ')-Еую Ау = — у- пре у лв Ь, х)х хх о где Я Ы вЂ” прогярлыство сеточных фуввцей, вадлввыг яа вл н ваввыг пулы пря л О, У. ншатеявая форма ру1, была еайдееа в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
