А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 23
Текст из файла (страница 23)
д. Поскольку имеется понятие аппроксимации элемента )' из Яое множеством (цл) из (Ял !, то можно говорить об анпроксима(о) цим )' элементами ц», оператора .Ф оператором А,: 1)»р» аппраксимирует ) с порядком и, если Ьл — М,л"11(о„) = О 0 Ь |"); (лб) Отсюда следует Теорема 1. Если схема (21) корректна и обладает аппроксимацией на некотором элементе и»иЯ'", то она сходится, точнее, решение у» задачи (21) при ~Ь) — О сходится к этаку элементу ижМи», причем порядок точности схемы (21) совпадает с порядком аппроксимации (т.
в. иэ аппроксимации и корректности (устойчивости) схемы следует вв сходимость). До сих пор мы говорили о сходимости схемы и погрешности аппроксимации на некотором фиксированном элементе и ие Я"'. Однако если и принадлежит области определения некоторого линейного оператора .Ф, действующего иа Я'о в Я"', то Хйи 1, 1»нМ'»'.
Поэтому можно считать, что и есть решение уравнения .Фи = ~, и»н У", ~ж У", (34) 126 гл. и. Основные пОнятия теОРии Разностных схем 2) оператор А, аппропсимирует оператор,Ф с порядком и, если для любого и ш М"' справедлива оценка !Ааиа — У)ю (ми)!(га) = ! Аа (У~»а»и) — Уа~ю (лРи) !(га) = О (! Ь !"). (36) Очевидно, что если выполнены условия (35) и (36), то схема (21) имеет и-й порядок аппроксимации на решении и уравне- ния (34). В самом деле, так как У~ам (~ —,Руи) = О, то »Ра (и) = »Ра — Ааи» = (<ра — У), ~7) — (Аа (У»ми) — У»~а~ (Юи)), 3»ра (и) 1(га) (1Ч>а — Уа У!)(га) + !Аа(Улани) — У)ю(гзи) !(»»)(<М)Ь! если выполнены условия (35) и (36).
Очевидно, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. из (32) не следуют условия (35) и (36). Еще рав подчеркнем, что для оценки порядка точности схемы надо оценкть ее порядок аппроксимации лишь на решении ис- ходной задачи. До сих пор мы предполагали, что оператор А, линеен (схе- ма (21) линейная).
Если А, — нелинейный оператор (схема (21) нелинейная), то в предыдущих рассуждениях надо иаменить лишь определение устойчивости схемы. Пусть дана нелинейная схема А»У» = »Ра, <Раен М'а ', (21з) у» — ее решение, а у» — решение с правой частью фа еи ге» ° <а) Схема (21а) называется устойчиеой если существуют такие по- ложительные постоянные Ь, > 0 и М >О, не зависящие от пара- метра Ь и выбора ~р», ~р», что выполняется неравенство 1 Уа — Уа !(»») ( М !! <Р» — ~ра )!(г») при )Ь)(Ь, для любых <ра,<раенЯ~". (22а) (Для линейной схемы отсюда при ~р» = О, у»= 0 следует (22).) Все 'определения аппроксимации и сходнмостн, данные выше, сохраняют силу. Верна и теорема 1; однако ее доказательство имеет несколько другую редакцию.
Вместо (30) надо написать А»и» ~р», ~р» ~р» — »Р», »Р» <р» — А,и,, где ф,— погре1пность аппроксимации (невязка) на элементе и»и шазч '. Обозначим решение уравнения (21») через у», у» и, и воспользуемся условием устойчивости (22»). Тогда получим оценку (33): ! га !<»а» = !! уа — иа $»а» (~ М !»Ра !<г»» = М ! <Р» — Ааиа!!»гаь Тем самым теорема 1 доказана и для нелипейной схемы. 5 ь. Рззностныв схимы как опвэатоРнын РРьвнвнии х27 Априорная оценка зависит от характера информации об А..
Пусть Н вЂ” копечномерное пространство~ т) Рассмотрим сначала простейший случай, когда А — песамосопряженный положительно определенный оператор: А > 6Е, б >О или (Ау, у) >б!!уП' для любого у жН, (38) где Š— единичный оператор. Тогда обратный оператор А ' ограничен по норме постоянной (/6: 1!А '!! < $/6.
(39) В самом деле, 0((Ау, у) — 6(у(т =- (А 'х, х) — 6~А 'х~'(~А ~х~ ~х~— — 6$А 'х$ =6(А 'х$(-6!)х$ — $А ~х$), х=Ау, т. е.)А 'х~(~~ !! х1 или 1А '~(~ —. Так как у =А-'ф, !!у!!( ( !!А-'!! !!ф!1, то для решения уравнения (37) верна оценка (у~~ ~— ~ф~ при АвбЕ, 6) О.
2) Имеет место точная оценка 1У Ь = !) ф 1л-т пРи А = Аэ ) О. В самом деле, умножим (37) скалярно на у А 'ф: (Ау у) =(ф М) =(фа А ~ф) нли ~у "л '~фаза-» (40) 4. Некоторые априорные оценки. Рассмотрим ряд простейших априорных оценок решения уравнения (21), вид которых зависит от информации об операторе схемы. Эти оценки типичны для разностных эллиптических задач.
Для упрощения записи будем в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений, опускать индекс Ь. Итак, пусть дано ,уравнение Ау=ф, (37) где А — линейный ограниченный оператор, заданный на вещественном гильбертовом пространстве Н, ф — известный, у — искомый элементы из Н. Будем предполагать, что задача (37) разрешима при любых правых частях фж Н (т.
е. что существует оператор А ' с областью определения Я(А ') Н). Все постоянные, встречающиеся нюне, предполагаются не зависящими от Ь. Пусть (,) — скалярное произведение, !!х!!=У(х, х) — норма в Н. Запись А = Аз ) 0 будет означать,что А — самосопряжепный и положительный оператор. Введем обозначения (ф(,, = ~/ (А 'ф, ф) ~уел = У (Ау, у), А = Ае) О. 426 гл. и. ОснОВные понятия теОРии Рлзностных схем 3) ЕслиА>0, то (43) Воспольвуемся оценкой (41) и неравенством 1И~ -т(~~-~Ч4 1 ле Уб которое получается, если учесть, что А, > ЬЕ и 1 <р 1' т = (Ае <р, <р) (~ 1 -4с ' 1 1 % 1' < б 1 <р 1' о 5) Предположим, что А — несамосопряженный оператор, удово о о летворяющий неравенству А > 7А, 7 >О, Ае-А > О.
Тогда для решения уравнения (37) верна оценка (у~о ( (— (фео (44) Ив тождества (Ау, у) = Ор, у) находим 7(Ау, у)((Ау, у) = =(р у) ~<И~ .-т(у) . Отсюда и получаем (44). 6) Для решения уравнения (37) справедлива оценка (Ау~( — (<р(, (45) если выполнены условия о о о о о Ае АРо7А, А Ае>0, АА АА, .7>0. о) Вола )т -бесвовечвоморвое простренизо, то вместо А > О надо по. требовать, чтобы А > Щ б > О. (у(с~~ ) „А, —, (41) лс В самом деле, умножим (37) скалярно на у: (Ау, у) = Ьр, у); (42) А =А,+А„где А, 0,5(А+Ае) — симметрическая часть, А,= 0,5(А -Ае) — кососимметряческая часть оператора А. Тогда (Ау, у) ° (А,у, у), так как (А,у, у) О. Поскольку А,>0, то Ао~ существует (Н вЂ” конечномерное пространство е)), поэтому, польэуясь обобщенным неравенством Коши — Буняковского, можно написать ((р, у) = (Ае'~р, Аеу): 1у1 т1усл .
Подставляя это ле неравенство в (42), получаем (А у, у) =(у(~~ ()(у(л 1~р( „ото е А„' куда и следует искомая оценка (4(). 4) Если А >бЕ, 6>О,,то ЬЬ,(,,-Ы. $ а Рлзностныв схимы клк опеглтогнъгк углвнвния 129 (46) где А =А») 0 и А -А»)0. Зто следует из эквивалентности операторных неравенств А ) 7А и А ' ) 7А '.
(47) Докажем сначала эквивалентность неравенств где Д, л.: Н- Н и ( ' существует. В самом деле, (т, РЬу, у)=((~лу, т,у) =((7с, ), где =Ьу, у=т.-' . а о Пусть выполнено А ) 7А или Д А — 7А ) О. Полагая л.= а о о х.» А '", получаем С вЂ”.(Е)0, где С=А "АА '"=С»)0. Так как существует оператор С "= (С ")» ) О, то С вЂ” "(Е) О эквивалентно С а(С вЂ” "(Е)С ' Š— 7С-' Š— 7АаА-'Ав ) О.
о а Полагая здесь 7 Ь»=А ", получаем А ' — 7А ')О, т. е. неравенства (47) эквивалентны, что и требовалось доказать. П р и м е р 4. Рассмотрим первую краевую задачу Лу = (ау„-), = — ф(х~), х; = й, 1 = 1, 2, ..., М вЂ” 1, ЬУ = 1, (48) у» —— ун = О, а,)~ сг > О, ( = 1, 2, ..., У, на сетке гео (х,=й, ( О, 1, 2, ..., Н, 5=1/Ф). Пусть, как а обычно, Н» = По — пространство сеточных функций, заданных на го» и равных нулю при 1 О, 1 ' № скалярное произведение в Н н — т (у, и) = ~ у;г~й. Ь л. л. с»»»рск»а Достаточно показать, что (!Ау)!) 7!)Ау!!, и воспользоваться ураза пением (37), в' силу которого !!Ау!!=)!ф!!.
Из условий АР-7А о и АА АА следует !!Аур = (Ау, Ау) = (А(А"у), (А "у)) = ) 7(А(Аеу), (Аеу)) = 7(ААу, у) = 7(А(Аьу), (Аву)) ) 7*(А(Аиу), о, о о (Аву)) = 7'!!АуР, т. е. !!Ау!! >7!!Ау!!. При этом мы воспользоваа о, лись перестановочностью А, Ав и А, А'*. 5. Негативные нормы. В априорных оценках (41) и (42) содержатся негативные нормы !!ф!!» — '.
Остановимся на вопросе о вычислении негативных норм для некоторых простейших опе- раторов. Заметим прежде всего, что 1 ф ! г ( = ~ ф ~ о, если А .) 7А, . Мт 130 гл. и. Основныв понятия твогии.Рлэностнь<х схим Введем оператор Ау, полагая Ау — — — Лу, где. Лу = Лу при у «в (), так что . (Ау)< = — (ау-)й «, = 1, 2, Л< 1 (Ау)о = (Ау)<< = 0 (49) и вектор «р= (О, фо ф„. «., ф» „0). Запишем аадачу в виде операторного уравнения Ау = «р. (37) Из формул Грина (у, (ау-„), )= — (а, (у„-)<~ (<«(йу-„-)„)=(у,(вой) ) о где'у, о«в(), видно, что А — самосопрял<енный и положительно определенный оператор А >ВЕ, 5=8с, ((Ау, у) = (а, (у„-)<1 ) с, (1, (у;)<) --< 8с, (у <<, см.
гл. 11;, т 3). Отсю- да следует, что А ' существует и (А ')э =А '>О, точнее, ~ Е~А '(~ ~ Е. (50) Покажем, что негативную норму 1ф1л — < для оператора (49) можно представить в виде . (51) л й ° й« й< <=2,3,..., Л<,8<=0, (52) и для этой нормы справедлива оценка (53) Для докаеательства представим правую часть уравнения (48) в виде ф«Я,«, < = 1, 2, ..., Л< — 1, где Я«эадано условиями (52). Из уравнения (ау„-)„+ «р = (ау-+8)„= Онаходим а<уй +8< = с — Я< = с = сов з<, < = 1, 2, ..., № Отсюда у< — у< 1 — — — ' Ь.
Суммируя по < = 1, 2, ..., Л< и учитывая, что ус = у « = О, получим С другой стороны, з о. влзностныв схвмы клк опаглтогнын твлвнвния 131 = — (Я, у-) = — А,' Ьу„- оЯь Подставим сюда у-„, = (с — Я1)/а~.' 3=1 Л Г аО а,. ' ф а; ' ~ а1 ) )~ а,' что и требовалось получить. Оценка (53) очевидна: У и л — 1 (1 1 1, ХЬЯ', 1;)', ЯР=11 ЬЯ„=1~!х 'г;, 'г оан г лот Ф-1 (у, о) = оа уоо1Ь+ 0,5Ь(уооо+ улол). о=1 Перепишем задачу (9) в форме операторного Ау=~р, где у и ~Р— векторы размерности )о'+ 1: (1 (0,5й) и ~м ' ' '' а оператор А определяется формулами уравнения (37) 1 (у*,о о туз) у о 1(1~~ У вЂ” 1, 1 О 5Л(у и+ ооул), 1= Ф (Ау)о = (54) Негативная норма для оператора (54) выражается формулами 1 Р)л-г = ~А Р (Р~ = л ,Г У ~о = ~ ЬЯ;+ — Ял+, — ЯЬЯ1 -)- — Яо,),~ ~1+ — + — ~, (55) с, ~() а, о~' Яг=0~5Ь~Ро Я'=0 5ЬРо+ Х Ь~Рл л=л л-т Ял+ =Оа5Ь(1ро+Чл)+ Х Ьрл, л 1 1= 2,3, ..., )о', (56) Пример 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
