А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Собствепные функции(с точностью до постоянной) (34) рь(х) = созиь(1 — х)+,.„з(паь(У вЂ” х). (35) Ьо ьн=(х,=(й, 0<1(У)У, х,=О, х 1) и обращающейСя в нуль при х = 0 и х 1, справедливо 4. Разностные аналоги теорем вложении. В дальнейшем при оценке различных свойств разностных схем, таких как устойчивость, сходимость и т. д., нам понадобятся неравенства, которые соответствуют простейшим теоремам вложения С. Л.
Соболева. Докажем три леммы. Лемма 1. Для всякой сеточной функции у(х), заданной на сетке. 106 гл. и. Основныв пОнятия твОРии РАэностных схвм неравенство Ь)с( х ]Уй]1. (36) еде 1«1схх шах~у(х)~, ]«-,Д =(у-„, у,-]ч. хихЛ Докаэательство. Функция у(х) на сетке гол может быть представлена в тождественном виде «1(х) И вЂ” х)у'(х) + ху*(х). (37) С другой стороны, посколысу у(0) =уИ) ° О, можно эаписать есх=(е хх'>1) ° ила 1 ~ » ух(х) = ~,у„-(х')Й1. 1х' х+Л Подставляя эти равенства в (37), находим х Г 1 ~1 у»(х) = (1 — х) ~ йу„-(х')] + х~ ~г~ йу„-(х')~ . 1х -Л х~=х+Л Оценим суммы в правой части, испольэуя неравенство Коши— Буняковского: х х 1 1 у'(х)((1 — х) ~ Й ~.', у-'(х.') й+ х ~~.', Й 2, 'у'„-(х') Й = х ~=А х~-Л х'=х+Л х' х+Л 1 = х(1 — т) ~Г~ у-(х') Й = х(1 — х)1«й]~1 (здесь «» = (уй)»).
Максимум выражения хИ вЂ”.х) на отреэке (О, 1) достигается при х 0,5 и равен 1/4. Поэтому у'(х) ( — „1«-]~1, и, следовательно, ]Ис( ]у Ц. Замечание 1. Лемма 1 остается справедливой на проввВОЛЬВОй НВРаВНОМЕРНОй СетКВ Е1ь Замечание 2. В дальнейшем нам потребуется также неравенство типа (36) для отреэка проиэволъной длины й Таков неравенство нетрудно получить иэ (36) с помощью замены переменных х' 1х. Тогда х' будет меняться на отреэке (О, 1) и у-.,=у„-Р, й =Йй 3 3.
сзкдкния о мьтвмлтичвском Апплглтв (09 Подставим у- = у-"( и Ь = Ь П в (24). В реаультате получим к к ~у-,ц =- Х(уй,)',. (Ч 'Ь' = (2„" (у-„,)ей'= (~у-,Ц'. с-г 1=1 Следовательно, на отрезке длины 1 справедливо неравенство !у(х)(<Юс< ~ $у„-Ц. (ГГ )у~ < у'Т)у;1~. (39) Для произвольных функций керавесистза (36), (38), (39), вообще говоря, неверны. Однако можно показать, что в этом случао имеют место неравенства следующего вида: (ф<2((Щ( +у',), (у)с,<2(((у„-Ц +у*). Л ем ма 2.
Для всякой функции у(х), заданной на произвольной сетке сзь = (хь х, = О, хв В и обращающейся в нуль при х 0 и х = 1, справедливо неравенство Щ'< '4 ЗУ-)(з, У, У„-= О. (40) В самом деле, легко проверить, что (у/~~~~(((у(зс. Подставляя это неравенство в (36), получим (40). В случае равномерной сетки оценка (40) может быть улучшена.
Лемма 3. Для всякой функции у(х), заданной на равномерной сетке се (х,=(й, ( О, 1,..., )т', х,=О, х =В и обращающейся в нуль при х = 0 и х = ), справедливы оценки 4 Ц('<ЬГ< —,Щ!' (4() Разложим у(х) по собственным функциям задачи ((4): к — 1 у(х) = ~ сафы(х), сь — — (у(х), р<ю(х)), ~у)з =. ~ сь, ь=з а=г В силу первой формулы Грина (8) ( — Лу, у) =)у-)(з, где Лу = у-„„, )(в-и'= ((, (у„-)з].
(42) 3 а м е ч а н и е 3. Неравенства (36) и (38) получены для функций, обращающихся в нуль на обоих концах интервала. Если функция у(х) обращаетоя в нуль лишь на одной границе, то справедливо неравенство ИО гл. и. осповныв понятия твогии глзпосткых схим Так как Лри1 -Х~ро', то И-ь — Лу = ~ с„Хьфю(х). А 1 Подставим это вь1ражение в (42) и учтем ортонормировапност (роз]. л-~ ~ у-) (э = — (Лу, у) =,3 Х„сд. А 1 Отсюда получаем Ь Ы'ЯЩ'<Ь вЂ”. 1И. 4 -.
ИУ$4 ль где Х,=-у з(пз —,, Хл 1=-4-созэ —. Оценим Х, снизу. Обозначив а яЬ/(20, получим Так как Ь ~ 0,5(, то а меняется на интервале (О, я/И. Нетрудно проверить, что минимум функции (з1в а)/а при а Й (О, я/4) достигается в точке а=к/4, т. е. Ь,(Ь) имеет минимум при Ь 0,55 Отсюда следует, что Х~ ~ 8/('. Учвтывая также, что Х», (4/Ч, получаем (41). 5. Метод энергетическихнеравенств. Одним из общих и весьма эффективных способов получения априорных оценок является' метод энергетических неравенств. Мы приведем примеры использования этого метода для получения априорных оценок применителъпо к раэностпым задачам и покажем, как на оонованпи этих оценок можно определить, например, окорость сходпмости рааностной схемы.
Все рассуждения в этом пункте будут проводиться для простейшей (модельной) задачи и" (х) + /(х) О, О ( х ( 1, и(0) и(1) О. (43) Пример 1. Пусть на отреаке (О, 11 введена равномерная сетка вз. Рассмотрим следующую разностную аппроксимацию задачи (43): у- +/()=О, еню„, ре=рк=О. (44) Умпожпм уравнение (44) на Ьу и просумппруем полученное равенство по узлам сетки ем.' л-1 и-1 ~ (у- ),д,Ь+ 2'„,/,р,Ь = О.
(45) ь1 Ф1 $ г. сВедения о млтвмьтеческом АппАРАте М( Перепишем (45) в терминах скалярных произведений ~+ (~ (46) Преобразуя первое слагаемое в (46) с помощью разностной формулы Грина (8"), находим — (Уу У-]+(~,у) = 0 нли ~У-,]1' (1,у). (47) Скалярное произведение (), у) оценим при помощи неравенства Коши — Буняковского ((2) (((, у)) < ~((Ну(~. Воспользуемся леммой 3:(у$(~~у-]~/~8. Отсюда и из (47) находим ~уй]](~~~/~г8.
Применяя затем лемму т, получаем априорную оценку для решения задачи (44) ЗУ(~е < Ц(Ч(472). (48) Зто неравенство используем для сцепки скорости сходимости схемы (44). Напишем сначала уравнение для погрепгности схемы (44): г у — и, где л — решение задачи (43), у — решение разностной задачи (44). Подставляя у г + и в (44),получим для г задачу е~е+ф(х)=0, хааа, ге= гя=О. (49) Здесь ф(х) = и- + ) (х) — погрешность аппроксимация схемы (44) которая, как известно, при достаточной гладкости и(х) есть величина порядка 0(Ч): Отметим, что для функции г(х) мы получили задачу того же типа, что и для функции у(х). Поэтому для г(х) справедлива оценка (48): !!Не < (1ф/(4У2).
(50)' Но ~У = 0(йг) и, следовательно, ((г" е = "у — к~(е ~~ М)е, где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от шага Й. На основании данных вьппе определений (см. $1) ез (50) следует, что решение раэностеой задачи (44) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (43) со скоростью 0(Ь'). Мы получили оценку скорости сходимости для очень простой задачи.
Аналогичный результат для этой задачи можно было бы получить и с помощью ряда других методов, быть может даже более простых. Однако ценность приведенного здесь метода энергетических неравенств состоит в том, что он беэ существенных изменений переносится на многомерный случай, на случай первменных'коэффициентов, на ревностные схемы для параболических и гиперболических уравнений и т. д. 112 гл. и. осиовныя понятия ткогии ваэностных схим Покажем, например, что этот метод беа всяких аатруднений дает нужный реаультлт для случая неравномерной сетки. Пример 2.
Пусть на отреэке (О, 1) аадана неравномерная сетка е». Задачу (43) на такой сетке можно аппроксимировать следующим обрааом: у= + 1(х) = О, х еию», у« = ул = О (51) (относительно обозначений см. т 1, п. 3, пример 1). Для аадачи (51) можно получить априорную оценку того же типа, что и оценка (48) для задачи (44). Но в этом случае такая оценка дает не совсем верное представление о скорости сходимости схемы (51). Было покааано (т 1, п.
3), что локальная погрешность аппроксимации «р = и--+1 схемы (51) есть величина 0(Ь~) и )~ т))« ~ айшат (52) Оценка (52) укаэывает на понижение порядка скорости сходимости схемы (51) на неравномерной сетке «о» по сравнению со схемой (44) на равномерной сетке. Однако выше говорилось, что если погрешность аппроксимации оценивать не в сеточной норме С нли Ь„а в некоторой специально построенной «негативной» норме )!.1< с, то погрешность аппроксимации на неравномерной сетке будет иметь также порядок 0(Ь'). Именно, надо ваять норму антк»-ю= Х )««Х М» =ОЮ Иа скааанного ясно, что теперь при выводе априорной оценки для задачи (51) нужно оценивать правую часть в норме )) ))< о.
Получим эту априорную оценку. Умножим уравнение (51) на у,й, и просуммируем'по уалам сетки «о». В терминах скалярных произведений полученное выражение можно аапнсать в виде ( ;: у). + (1 у)* = О (53) Первое слагаемое в (53) преобразуем по раэностной формуле Грина (8) Муй =(1 у)' (54) Введем в рассмотрение функцию «)(х), определенную следующим обраэом: Чй, = 1ь 1 = 1, 2, ..., Лг — 1, «)я = О. (55) и-« Решая задачу (55), получим — т((х«) = ~ 1»й».
9 а РАзностные схемы НАк опеРАторные уРАВнения 113 Скалярное произведение в правой части равенства (54) преобразуется на основании формулы суммирования по частям (7): (7 у)е = (ч,, у), = (т) у,,]. В силу неравенства Коши — Буняковского имеем !(У, у)е! = ! (Рь у-„) / <!!Ч].]у„-]~ Подставим зту оценку в (54) и сократим обе части неравенства на ]У„](: (ю-1 ) я-г ~а1па ]уДЯт)] — ~ Х Ь1~ Х Ьа7А) ~ =]1!!(- ) На основании леммы 1 ]у]с <]у;]~/2 и, следовательно, ]У] < —,И~- Р (53) Тем самым желаемая оценка установлена. Рассмотрим теперь, как обычно, погрешность решения г= = у — и, где у — решение задачи (51), а и — решение исходной дифференциальной задачи (43). Подставляя у=а+ и в (51), получим для х задачу + ф = О, х е= юр„хо =- хя = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
