А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(57) Применяя к задаче (57) оценку (56), заключаем ))з))с ~ 0,5Ц))<-п. Но мы уже видели раньше (см.' $1, и. 3), что ]~>/~ п((МЬ~, где Ь шах Ьо следовательно, схема (51) на произвольной неге~си равномерной сетке юа сходится в С со скоростью 0(Ь'). й 4. Разностные схемы иак операторные уравнения. Общие формулировки Ранее были рассмотрены рааноствые схемы для простейших дифференциальных уравнений, введены для них основные понятия теории рааностных схем и продемонстрированы некоторые приемы исследования устойчивости и сходимости схем. В вюм параграфе проасиится систематическая трактовка раоностных уравнений как операторных уравнений в абстрактном пространстве и даются соответствующие оцределения мшроиоимации, устойчивости л сходи- мости.
Зтот подход применим для случая стационарных аадач математической фввшси. 1. Разностные схемы как операторные уравнения. После замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями на некоторой сетке юа мы получаем систему линейных алгебраи- 8 А, А. Самарская 114 гл. и. основныв понятия твогии глзностных схим ческнх уравнений, которую можно записать в матричной форме ИУ=Ф, (1) где И вЂ . квадратная матрица, У = (у„ у„ ..., У„) — искомый вектор, Ф (<р„ <р„ ..., <У„) — известная правая часть, включающая и правые части краевых условий.
Каждой матрице И можно поставить в соответствие некоторый линейный оператор А, отображающий пространство Л„в Л„. Тогда уравнение (1) примет внд Ау ф, (2) где у — искомый, а <р — известный векторы пространства Вз. Оператор А отображает в себя пространство сеточных функций, заданных ка ю< и удовлетворяюп<В<х однородным граничным условиям. Поясним зто на примерах. Пример 1< Первая краевая задача. Пусть на отреаке [О, П введена равномерная сетка е< (х< й, 1 О, 1, ..., )У, )<=1/)<'). Ищется решение первой краевой задачи Лу= у- = — < (х), 0<х= й(1, Уз —— ™иу» =и<, (3) или Ь~ -з(у« — 2У<+у<+<) = — <« = 1,2, ..., У вЂ” '1, Уз = и„у» =<-и,.
(3') Вводя вектор У (у„у,, ..., У<,), перепишем уравнение (3) в виде (1), где 2 — 1 0 О... 00 — 1 2 — 1 0... 00 0 — 1 2 — 1... 00 0 0 0 О...— 12 — матрица размера ()<( — 1) Х()«' — 1). Вектор правой части Ф (<р„..., <р„,) учитывает правые части краевых условий (3): а< р< - Ь< 1 = 2, ", Л< — 2< р< = 1 + — „Ч»-1 = 1»- + «~< Ь~ тан что ф< отлнчается от 1< только в приграничных узлах 1 1 и 1 )У-1. Матрица И определяет оператор А- — Л, который преобразует сеточную функцию у(х<), т. е. вектор (Л< — 1)-мерного пространства в вектор того же пространства (в сеточную функцию $1.
РАЗностные схемы НА1< опеРАтоРные РРАВнения я5 ( — Лу)<). Оператор Л совпадает с оператором Л на сеточных функциях, обращающихся в нуль иа границе (при 1 О и 1 Ж), так что (Лу),=(Лу)< прн 1 2, 3, ..., Ф вЂ” 2, (4) Л» (лу) А Это следует из леммы 3 ($3, п. 4). Норма оператора А равна ~ А ~ = — соз — ( —. 4 »кь 4 к» Е л' (5) В самом деле, норма самосопряженного положительного операто- ра в конечномврном пространст<)е И» равна его наибольшему е» Пусть И» — множество сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки ю»; зто множество линейно. Вводя на И» К-1 скалярпоепронзведение (у,о) = ~ у<о<й и норму (у~= ут(у,у), < 1 получим линейное нормированное пространство И». Определенный выше оператор А линеен и отображает И» на И» (его область определения и область значений совпадают со всем пространством И»).
о Пусть И, — пространство сеточных функций, заданных во всех узлах сетки ю» н обращающихся в нуль в граничных узлах сетки, т. е. при х<и "(». Тогда оператор А можно рассматривать как о оператор, отображающий И» па И». Очевидно, что А =А», у = у», <р = ф» зависят от пгага Ь сетки; поэтому мы рассматриваем не одно уравнение (2), а семейство уравнений, зависящих от параметра й.
Семейство таких уравнений и есть операторном схема (см. н. 2). При изучении операторных уравнений (2) необходимо знать основные свойства оператора А, такие как самосопряженность, положительная определенность, нижняя грань оператора и его норма и др. Построенный в примере 1 оператор А в дальнейшем будет часто встречаться. Поэтому укажем его основные свойства. Оператор А самосопряжен, т. е. (Ау, о) (у, Ао) для любых у, о<и И». В самом деле, (Ау, Р) = ( — Лу, о).
Пользуясь второй формулой Грина (з 3) н учитывая, что Л совпадает с Л на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на границе сетки, получаем (Лу, о) = (у, Ло), т. е. А = А». Оператор А положительно определен, т. е. (Ау, у) ~ 8!!у1~'. 116 гл, и. основнык понятия ткогии глзкостных схем собственному значению, (~А1=Х»,. Так как в данном случае, согласно $4, п.2, Хя» = —,сое —, то имеет место формула (5). 4»яь ь При этом справедливо неравенство (Ау, у) ( 1А!Н!уР. Рассмотрим оператор Ау = — (ау„-)„+»»у, 0 < с, < а < с„О < И < сз. (6) Он самосопряжен в силу второй формулы Грина. Первая формула Грина дает (Ау, у) = (а, у- ~ +(»(у, у), (7) где у- = (у-)'.
Отсюда следует, что (Ау,у)> (1,ур~= $у„-П*>6 (у$', (8) т. е. А положительно определен. Его норма, как видно из формул (7) я (5), оценивается так: (А(< 4сз/Ьз+ с,. Замечание. Здесь всюду оператор А =А, зависит от шага Ь сетки как от параметра. Если сетка ы»=(х,»и (О, 1), »=О, 1, 2, ..., Л», х,=О, х„-1) Лу» =-( — ' — -') = у--., й, = — (Ь, + Ь»+»). » (ы»+» — и» з» вЂ” з»,'( "«» г ь» ) **,г 2 В атом случае мы по-прежнему будем писать А = А», имея в виду, что Ь есть вектор размерности Й», т.
е. элемент пространства .,()ь, состоящего из функций, заданных на сетке»эь = =(х»ы(0,1), 3=1,2, ...,»т',хи=1). Пример 2. Третья краевая задача. Пусть дана та же сетка ым что и в примере 1. Рассмотрим разностную краевую задачу третьего рода Лу = у- = — 1(х), О < х = »Ь < 1, (9) у~,о = о»уэ — )»». — у; „, = о~уя — р». неравномерна, то ее шаг Ь, х,— х», в свою очередь является сеточной функцией или вектором Ь=(Ь„Ь„..., Ь„) размерности»У с компонентами Ь„й„..., Ь„.
Оператор А имеет вид А =-Л, где $ ь Рлзносгныв схВмы клк опеРлтоРные РРлвнения П7 Пусть Пх — множество функций, заданных на сетке юе (х< = (й, 1= О, 1, ..., И. Определим оператор Л так: 1 0 55(Ух.е — Н,Уе) = — Л У, 1 = О, Лу = у„-,, 1 = 1, 2, ..., М вЂ” 1, —,— „(у-„„+о.у«) =Л у, 1=)У.
Полагая А — Л, перепишем задачу (9) в виде Ау= ~у, (10) где 1 е,ьа) и /ь 1 0,55) е' 1=0, 1=-1, 2,:, Ф вЂ” 1, 1 = Ф. Линейный оператор А отображает Й, на Йь Введем скаляр«-е ное произведение (у, и1 = ~~.", у1Рей + 0,5Ь (уеое + у«Р«) и норму «-е 1(у)1 = У(у у). Оператор А самосопряжен, т. е.
(у, АР1 (и, Ау), « — е где (у, Аи) = — (у, Ли) — 0,5Ь (у Л и -(- у«Л" Р), (у, 'и>) = Р; у,ю1Ь. 4=1 Пользуясь формулой Грина (3 3) и подставляя выражения для Л' и и Л+и, получим (у ЛР) = ( Лу Р) (у,Е у р «) + (ухох,х у«"х«) — 0,5Ь(у,Л Р+ у«Леп) = — у (Рх, — о1ое) + у«(сх «+ охи«).
Так как у е — — о,у +0,5ЬЛ у, у-„, = — а,у« — 0,5ЬЛ"у, то (у, АР1 = — (Лу, и) — О,бй(оеЛ-у+ Р„'Л+у) (Ау, и1, х (е х / х уе(х) у + Х у,-(х)й~ ухе+ 2уе Ху-„(х)й+~ ~у-„(х)й) х~ Л х'=Л х' Л что и требовалось доказать. Покажем, что если о,~ с, >О, ах~ с,) О, то оператор А положительно определен: 2е (Ау у) > —,' 1(у)1'. (и) Для этого воспользуемся тем же приемом, что и при доказательстве леммы 1 мз т 3. Именно, представив функцию у'(х) в виде 113 гл.
и. основныв понятия твогии газностных схим и воспользовавшись з-неравенством, получим у е(х)((1+ е).у~~+ (1+ 1/е) ( 3 у-„(х')й ~е' Ь Так как, согласно неравенству Коши — Буняковского, х 1з / Х ю;(*'>~/ ~*< Х 4(*'м]е*й,л!, то из предыдущего неравенства получаем уе(х) ((1+ е) у, д+ (1+ 1/е) х(1, у„-'~.. Аналогич[ю доказывается неравенство уе(х) ((1+ е) уел+ (1+ 1/е)(1 х)(1 у~~] Из,последних двух неравенств следует, что у'(х0 ~ ~О 5 (1+ з) (уо + уп) + О 5 (1 + 1/з) (1, У~~1, ][у]<в яь, 0 5 (1 + е) (уо + увал) + 0 5 (1 + 1/з) (1 У~1 Отсюда и нз тождества [Ау, у] = <1, у„-]+ а,ус+ а ул положив з с„получаем (11)., Для нормы оператора А справедлива оценка [А[(-4(1+ 0,5с,й), где с = шах(а„а,). 4 Ь (12) (13) В самом деле, так как (У„л) ~ ~ье(ую+Уь-г)1 то!1 У-] --„ъ[[У][ ° е 2 е е / з] 4 Я-1 где![У]<~ = ле у[5 + 0,5й (уе + ул).
Учитывая затем, что $1 [Ау, у] < ![А![[[У]Р, а,уе ~+ а,ул = -„(0,5/кт1у~е+ 0,5йа умл) ( — з [[у][з, из формулы (12) получим искомую оценку (13). Пример 3. Несакосопрлжеппые операторы. Пусть а~= [х<=!й, 1=0, 1, ..., ]т', й 1/Р/) — сетка на отрезке 0(х< 1. Рассмотрим разностные операторы Л-У = У-„, Л+У = — У., (14) отображающие множество 4]~ сеточных функций, заданных на вь 3 а Ревностные схемы как опегатоРныи РРлвкания 119 и равных нулю при 1 О, $ № на И», так что у»/Ь,1= 1, .
(л-у), = (у — у,)/Ь, '=2,3, ...,Л/ — 1, — (у»+» — у»)/Ь, » =1, 2,..., Ф вЂ” 2, (л+у), = Ук-»/Ь (Н,Н,У, у) -1Н,УР =-1 ~~ У.,,Ь~ ~~У„-,Ь =-,1 у.-~, 1Ч» а ~~ л~"' а т. е ~ В у ~» ~ -1 (Ну, у), Н = Н, + Н,. Разностный еператор $ » В,у = — у = — (Н, — Н») у прк у ен Ил а х 2 (18) Из этих формул видно, что Л и Л+ можно рассматривать как операторы из И» на й,. «-» Пусть (у, и) = 3 у»Р»Ь — скалярное произведение на й, и й,. Покажем, что операторы Л- и Л+ сопряжены друг другу: (Л-у, и) = (у, Л+Р) для любых у, Р»ЕИ». (15) В СИЛУ ФОРМУЛЫ СУММИРОВаНИЯ ПО ЧаотЯМ вЂ” (У, Рх) = (У-, П), если у и' О при» О, $ ° № Отсюда и следует сопряженность Л к Л+. Нетрудно заметить, что Л у+Л+у = — (у — у-) = — ЬЛУ, гделу = у-,т.е. Л + Л = — ЬЛ.
Поэтому операторы Л и Л+ положительно определенные: (Л-у, у) = (Л'у, у) = ф( — Лу, у) = — '~ у-Р'~ 4Ь |у Р. Последнее неравенство справедливо в силу леммы 3 из $3, и. 4. В гл. Х раосматриваются операторы из И» на И» вида Н»ухх аух»В»у= а( Ух)»Н» ь Л»Н»= а Л» (18) Они сопряжены друг другу (Н,у, и) (у, Н»и) и (Н,у, у) = (В,у, у) = О,Ц ух У» ~ 4 Ь Р. и-» Из формулы 1Н»у 1»хх -» "~~ у;Ь ~- !у»»» следует, что е 4 Ье Ьй 1Н,1 < 2/Ь', 1Н,1 х» 2/Ь». (17) Ф Так кан Н, Вз, то 120 гл. и, Основные пОнятия теОРии Разностных схем очевидно, является кососимметрическим, так как Вз = — (В~ — В~) =.
— (В, — В,) = — Вз и, следовательно, (В,у, у) О. Его норма 1 в]~ ~в 6 1!+1 з|!) м Нетрудно уточнить оценку для нормы И,1: М-1 М-1 ]У ]'= —. ~~я„(У+ — У1-.)'й< —, ~ (У1 +У1-.) й<1У|!'/й', т. е. И,1(1/й*. Несамосопряженные разностные операторы появляются, на- пример, при аппроксимации эллиптических операторов второго порядка, содержащих первые пранзводные. Так, оператор Ье и" (х)+Ьи'(х), хая(0, 1), Ь совет, аппроксимируем разностными операторами Л,у = у- + Ьу„при Ь> 0 или Лту = у- + Ьу„-при Ь< О, где ужа Пусть Лу — Оператор из (), на 1),, совпадающий с Лу при о уж() .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
