А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Операторы А, = — Л„А,= — Л~, действующие из (м на ()м положительно определены при любом й. В самом деле, (А,у, у) =( — у„-,, у) — Ь(у, у) = (1+ 0,5ЬЬ)]у-„]|з, (Азу, у) = (1 — О 5ЬЬ)]у-]!'= (1+ О 5й ! Ь !)]у-]!'. (19) Отсюда находим (А,у, у) >8(1+0,5й!Ь!)1уР, сс=1, 2.
Так как А, А+ЬЛ+, А, А+|Ь!Л-, где А--Л, Лу= у- и 1Л*](~2/й,||А](4/йз, то, в силу неравенства треугольника для норм, получаем ~А1~<||А]+ Ь]Л+]< —,(1+ О 5ЬЬ), Ь) О, (20) ]А,||(|А~+ |Ь|]Л ]< — (1+0 5й|Ь!), Ь<0. Заметим, что если оператор 1.и и" + Ьи' аппроксимировать выражением Лу = у„-„+Ьу„- при Ь > О, то вместо 1+ 0,5ЬЬ в (19) получим 1 — 0,5ЬЬ и оператор ( — Л) будет положительно опреде- ленным только при й (2/Ь. Если аппроксимировать и'(х) центральной разностной проив- воднойпо пРи любом знаке Ь, то полУчим опеРатоР А у = Л у Л,у = у- + Ьуо.
Этот оператор Азу = — у- — йЬВзу имеет второй з ь РАзностные схемы кАК опеРАтоРные уРАВнения 121 порядок аппроксимации и для него (Азу, у) = ( — д-„„, д) — ЬЬ (азу, у) = !! у-„1 !з, !Аз!!~<!А!)+ Ь (Ь! ! В»3( — (1+ Ь (Ь !). Мы ограничились здесь простейшими примерами. В следующих главах аналогичными методами будут изучаться разностные операторы, аппроксимирующие эллиптические операторы (в частности, оператор Лапласа) в прямоугольных областях. Если исходный дифференциальный оператор .Самосопряжен и положительно определен, то и раеностный оператор надо строить так, чтобы он обладал указанными свойствами в сеточном пространстве. Этого можно добиться, используя, например, метод баланса (интегро-интерполяционный метод, см.
гл. П1) или вариационный метод для построения разностных схем. Из предыдущих примеров видно, что разпостные уравнения можно трактовать как операторные уравнения с операторами в линейном н(»рмированном конечномерном пространстве. Для этих операторов характерно то, что они отображают все пространство в себя. Перейдем к изложению теории разностных схем как операторных уравнений. 2, Устойчивость разностной схемы. Пусть даны два линейных нормированных пространства Ял и Ял, зависящих от пара(() (»> метра Ь, являющегося вектором некоторого нормированного пространства, (Ь! ) Π— норма вектора Ь.
Рассмотрим линейный оператор А» с областью определения Ж.(А») = ЯА( и множеством (1) значений Я (АА) ~ Яь'. Рассмотрим уравнение Алуа = (рл уь е Я» ~ (рл еБ Я(» е (21) где (р» — заданный вектор. Меняя параметр Ь, мы получим множество решений (у,) уравнения (21). Операторное уравнение (21), зависящее от параметра Ь, будем называть рааносгкой схемой. Пусть !'!((А) и Щз») нормы в ЯА('( и Я»((. Будем говорить, что схема (21) корректна (еадача (21) корректно поставлена>, если при всех достаточно малых (Ь! ( Ь, 1) решение у» уравнения (21) существует и единственно при любых (рлен Я»'~(схема (21) однозначно разрешима), 2) решение у» уравнения (21) непрерывно зависит от (р», причем эта зависимость равномерна по Ь (схема (21) устойчива), иными словами, существует такая положительная постоянная М, не зависящая от Ь, (р», что для решения уравнения (21) имеет место оценка (при любых (рь~ Я)ю): 6у»0(зь)(м! рь)(з,) (22) 122 1'л.
н. ОснОВные пОнятия теОРии Ревностных схим Разрешимость схемы (21) означает, что существует обратный оператор Аь', т. е. Ул = Ал фл. (23) устойчивость схемы означает, что обратный оператор Алл иэ Я)ю в Ял равномерно по Ь ограничен: !Аь'~(М, где М~О не зависит от Ь. (24) Иэ (23) и (24) следует оценка (22): Иуь!)(1л)(~6Ал ИНфл!)(лл)(МИфлЯ(лл) Иными словами, Устойчивость схемы (21) оаначает, что решение уравнения (21) непрерывно зависит от правой части, причем эта зависимость равномерна по параметру Ь. Отсюда следует, что малому иаменению правой части соответствует малое изменение решения. Если схема разрешима и устойчива, то она корректна.
Заметим, что единственность решения задачи (21) есть следствие ее разрешимосви и устойчивости, и поэтому требование единственности в условии 1) можно опустить. В самом деле, предположим, что существуют два решения у и уьчьул уравнения (21).
Их разность ел = уь — уь в силу линейности оператора Ал удовлетворяет однородному уравненню Алел = 4ь(ул — уь)= *-" 4лул — Аьу = фл — фл = О. Так как схема (21) устойчива, товыполнено неРавенство (22), в силУ котоРого ! ел!)(дл)=3Ул — Ул!)(1л) ~С, ( М$0$(„л) = О. Отсюда следует, что уь = ул Для докааательства устойчивости схемы (21) требуетсл получить априорную оценку вида (22).
Вывод некоторых априорных оценок для операторного уравнения (21) будет дан в п. 4. . Раэностная схема Алул ф~ называется некорректно поставленной (некорректной), если не выполнено хотя бы одно иэ условий 1), 2) на стр. 121. Предположим, что решение ук задачи (21) существует при любых флеи Ял', так что уь= Альфа Так как ЯлмиЯлю-лонечномерные пространства, то оператор Ал', действующий иэ Я)Ю в Я1", ограничен и его норма равна ~Ал'~ = М„ где Мл — положительная постоянная, зависящая от параметра Ь.
Если схема устойчива, то существует постоянная М)0, не аа-' висящая от Ь талая, что Мл(М при, всех (Ь! <Ь.. Неустойчивость схемы (21) (и, следовательно, ее некорректность) означает, что Мл- при !Ь! - О, т. е. указанной выше постоянной М не существует. Для некорректной схемы может выполняться лишь 9 а РАзностные схкмы кАк опкРАТОРные уРАВнения (23 оценка вида ! ул»(1») < Мл 1 рл)>(»л) (23) Здесь можно говорить лишь о слабой устойчивости в смысле выполнения условия (22). Фактически зто значит, что существует область изменения !Ь!, например, 0<ЬА(()Ь)<Ь», в которой выполнена оценка (22), где М зависит от Ье.
Определение корректности и некорректности схемы тесно связано с выбором норм ! )(<А), ! !)(»»). Может оказаться, что при одном выборе норм вьпюлняегся оценка (25), а при другом — оценка (22). Заметим, что для схемы о Ау = — у-„„= <р при у ен()л,' как было показано в т 3, имеет место оценка (22) с нормами $у»Ц<л) =)ул)(с = шах !ул(х0(, М= (, <с<он-» (<рл!)(»») = Х Ь Х Ь<рл 3. Сходимость и аппроксимация.
Пусть Я<о и Яоз — линейные нормированные пространства с нормами 11 11<о и 1! 11,м. Предположим, что: 1) существуют линейные операторы Ул<' из Я«> в Я»д' и Ул' из Я<»> в Я), (операторы проектирования), так что Ул 'и = ил ен Я»'>, если и ен Я ', Ул 1 = >л е= Ял, если ~яЯ': 2) выполнены условия согласования норм Пш ~У»'>и!!(<») = )и!!«>, 1(ш~У)~>~((»л) = !((<»>. (26) уз.+э <и о Пусть (>» — вектор из Я» . Нас будет интересовать сходимость <1> (у») при Ь! - 0 к некоторому фиксированному элементу и нз Я"'. Будем говорить, что: () (у»), где у» ы Я),~>, сходится к элементу и <в Я<'>, если ((ш (ул —. УЬ"и)(<л) = 0; щ >л> о 2) (у») сходится к и»ЕЯВЕ со скоростью 0()Ь!"), Е)0 (или еппроксимирует и с точностью 0()Ь!")); если при всех достаточно малых )Ь! ~ Ь, имеет место оценка 1ул — ил()(лл)<М!Ь!", и»=У)ыи, (28) где М~ 0 — постоянная, не зависящая от Ь.
124 Гл. и. Основныв понятия теОРии Рхэностных схем Замечания. 1. Из условия сходимости (27) следует, что Пш ! у» ((»») — — (и (пв (29) ~»~ г В самом деле, в силу неравенства треугольника можно на'пвсать (у»$(»») = !!(ул — и») + и»((»») ((ул — и»3(»„) +(и»!((»ь) (~ =. $У» — и» ((»ь) + г(У'Рпг((»а)» так как и»= У»~ми. Переходя к пределу при !Ь! - О и учитывая (27) и (26), получаем 11ш(у»(((»»)(~5и !Иб аналогичным рас(л~ » смотрением получаем (и!(С1<1(ш$!у»!)(»»). Отсюда следует (29). !л1- г 2. Последовательность (у») может сходиться только к одному элементу ишМ"'.
Пусть существуют два предельных элемента и, ишМ'", идти, к каждому из которых сходится (р»), так что Пш (ул — ил()(»») = 1по (ул — и»!!О») = О. !л3- г ~ц- о Покажем, что и = и. Для этого рассмотрим равность и» вЂ” и» = (и» вЂ” у») + (у» — и») и воспользуемся неравенством треугольника г( иь — ил »1(»») (~ ! ул — иь !((з») + 5 ул — ил !)(д»). Переходя к пределу при )й! — О и учитывая сходнмость у» к и и и, а также условие согласования норм (26), получаем (ив — и(с> = О, т. е.
и = и. Пусть у» — решение задачи (21). Будем говорить, что: 1) схема (21) сходится, если существует элемент п»ИМ'о такой, что выполнено (27); 2) схема имеет точность 0((й!"), если существует такой элемент и ее М'", что при !й! < Ь» выполнено (28). Введем понятие погрешности аппроксимации на элементе иш шМ'". Для этого напишем уравнение для равности х» р» — и,. Подставляя у» = х»+ и» в (21), получим А»хл = р», рл = чл — А»ил, рл ~ М)ю. Правую часть ф»=$»(и), зависящую от выбора элемента и иэ М"', назовем погрешностью аппроксимации па элементе пее »ИМСО для схемы (21). Очевидно, что Ф»(и) есть невязка, возникающая при замене в уравнении (21) р» элементом и» = Яь)и. 1». глзностныи схимы клк опкглтогныв тглвнвния Будем говорись, что: !) схема (21) обладает аппроксимацией на элементе ижЯ"», Пш)»рл (и))О») — — )пп )»рл — Алил )(ол) = О; (31) 1л! о !л! о 2) схема (21) имеет и-й порядок аппроксимации на элементе и ж У", если при всех достаточно малых ~й~ < Ь, ф»рл(и))(ол) ~ <Л1!Ь/" илк )»рл(и))(ол) = 0((й) ) (32) где й( — положительная постоянная, не зависящая от Ь, п~ О.
Установим теперь связь между устойчивостью, аппроксимацией на элементе ижМсо и сходимостью к этому элементу для схемы (21). Если схема (21) корректна, то и задача (30) для. х» также корректна. Поэтому для ее решения верна оценка ) хл )(»л) < ))у)»ул 1(ол) (33) и, следовательно, говорить об аппроксимации этого уравнения разностной схемой. Мы не вводили уравнение (34) лишь потому, что нигде в определениях не используются никакие предполо- жения относительно оператора ху. Всюду мы имели дело лишь с элементом и»и М" ~, Однако если и есть решение некоторого уравнения (34), то можно говорить, пак зто обычно делается, об аппроксимации уравнения (34) схемой (21) на решении уравнения (34), о схо- димости к решению уравнения (34) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
