А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. т < —. . х,+х„' При етом условии Цу;И<шах!дь))Иу,)(~(1 — ТХ,)/Иу )<е "1'/1уа0 так как ~ д,~))д„~, й)1, 1 — тХ,<е ~ '. В качестве примера рассмотрим систему двух уравнений лз ЛР— + аи + Ьи = О, — + Ьи + ао = 0 Ф 3'1 '/а Ь) с матрицейА =( ], где а=У,(А+6), Ь Ч,(Л вЂ” 6), а собственные числа и собственные векторы равны 3 =6, 3 =Л, ф~=(1/)/2, — 1/У2), фа=(1/)/2 1/У2). Схема (10) имеет вид /+1 1 +ар/+ЬЕ3 О, (15) /+1 ' + Ьу; + ах; = 9, / = О, 1, 2, Положим у~ = 1/У2, г, — 1/У2, (16) т.
е. вектор (у„ з,) = $, — первому собственному вектору. Рассмотрим результаты расчетов для задачи (15), (16) при следующих значениях параметров: 1) 6 1, 6=2, т 3/Ь; 2) 6=10, Л 400, т=б//Л. 6 2, устОйчиВОсть Рлзностнон схемы В обоих случаях ! 1 — тб) ( 1, поэтому для решения задачи !15), И6) справедлива оценка (14).
Однако для обоих вариантов т) ) 2/Ь, поэтому из-за ошибок округления вычислительный процесс неустойчив, т. е. при достаточно больших у решение начинает расти, что приводит к аварийному останову ЭВМ. Результаты расчетов на ЭВМ БЭСМ-6 приведены в таблице 2, где даны значения функций р> и 21 для некоторых ). При расчете варианта 1) авост наступил на 105-м шаге по времени, а прн расчете варианта 2) — на 46-м шаге. Таблица 2 Вариант 2) Вариант 1) *) Начиная о втор> ноиера > нне>и т =р" » Отметим, что для варианта 1) точность задания первого собственного вектора 6, играет важную роль.
Когда были заданы Рв 1> хв = 1> И7) то переполнение арифметического устройства произошло на 197-м шаге по времени (сначала у> и 2, уменьшились до величин порядка 10 " при 7 >и 65 — 70, после чего начали нарастать). В отличие от этого при расчете варианта 2) начальные данные И7) не изменили существенно результатов. Авост наступил при 7=47. Если для 6 1, Ь = 2 задать т = 2,УЬ, при котором условие т ( 2/Ь нарушено слабо (превышение т — бел>), то авост наступает на 760 †7 шагах по времени. 8 9 10 17 18 19 20 25 26 27в) 28 30 50 68 69 70 105 — 5,52 10 а 2'76, 10-в 1'38,10-в 1'08 10-ь 5 46 10-в 2,82.
11 1-в — 1;60 10- 8 18.10-в — 1,63 10 ь 3,26 Ю в 6'51,10-ь — 2,60 10 в — 2,73 10в — 7,16 10' 1,13.10" 2'86, Юв 5,52.10 в 2'76 10-в 1,38 Ю ч — 1,08 10 ' 5 ЗЗ 10 в 2 57,!О-в 1 09 10-в 8.10 10 в — 1,6" 10 ь 8 9 10 13 14 15 16 !7 18 19 20 21в) о'> 38 39 40 46 0,227 О,!93 О.!64 0.10! 8,49.10 ь 7,56 10 ь 4,6>9.10 "- 0,127 — 0,326 1,89 — 9,23 4,63 !О> — 2,32 102 — 3.53 10>ь 1,77. 10>в 8'83, 10>в 0,227 — 0,193 — 0,164 — 0,101 — 8,61 10 в — 6,96 10 в — 7,65 10 ь 2,16 10 в — 0,415 1,81 — 9,30 98 Гл. и.
Основные понятия теОРии Рлзностных схем Разобранные примеры позволяют сделать вывод, что понятие устойчивости по входным данным совпадает с понятием непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных. 3. О понятии корректности разностной задачи, Применитель» но к задачам математической физики принято говорить, что аадача поставлена корректно, если выполнены два условия: 1) задача однозначно разрешима при любых входных данных из некоторого класса; 2) решение задачи непрерывно зависит от входных данных. Аналогично определяют понятие корректности разностной аадачи.
Пусть у» — решение, а <р» — входные данные некоторой разностной задачи. Они зависят от параметра Ь (шага сетки): Меняя Ь, мы получим последовательности решений (у») и входных данных (»з»). Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство аадач, аависящее от параметра Ь. Понятие корректности вводится для семейства рааностных задач (схем) при!Ь) - О. Будем говорить, что разностная задача (схема) корректна, если при всех достаточно малых ! Ь~ ~ Ь,: 1) решение р» разностной задачи существует и единственно для всех входных данных ~р» нз некоторого допустимого семейства; 2) решение у, непрерывно зависит от <р„причем эта зависимость равномерна относительно Ь.
Более точно, второе условие оаначает, что существует такая постоянная М ) О, не зависящая от Ь, что при достаточно малом ~Ь) ( Ь, выполняется неравенство '»рл — ул»(»л) ~~ М3 Ч~л — ~рл((зл) (18) где у,— решение задачи с входными данными»гл, а ( ((»л) и ~ )(лл) — нормы на множестве сеточнык функций, заданных ыа сетке оь.
Свойство непрерывной зависимости решения разйостной задачи от входных данных, выраженное неравенством И8), называется устойчивостью схемы по входным данным или просто устойчивостью (см. $4, и. 2). 4. Устойчивость, аппроксимация и. сходимость. Пусть дана непрерывная задача Га=((х) при хш6, (и=)»(х) при х»ИГ, И9) и пусть на сетке ь»»т ю»+'(» ее аппраксимирует разностная задача Г»д» = ф» при х ы ь»», (»р» р» при х ш "(».
(29) Задача для погрешности з» = у» — и», где и» вЂ” значение (проекция) решения и задачи И9) на сетке вм имеет вид (.»х» = ф» при х е ь»», (»з. = Т» при х»в т», (21) э 3. свидания о млтвмлтичвском Апплглтн 97 где $л, чл — погрешности аппроксимации уравнения и дополнительного условия. Вместо (21) напишем формально л.лзл = ~рл. Если оператор Е, линеен и разностная схема корректна, то, в силу (18), будем иметь 5зл1(лл)<МЙлЦлл) ипи Залам(лл)(М(1Фл5(лл)+1тл|(лл)) (22) Отсюда вядно, что если схема устойчива и аппроксимирует ис. ходную задачу, то она сходится (обычно говорят «из аппроксимации и устойчивости следует сходимостьл), причем порядок точности (скорость сходимости) схемы определяется ее порядком аппроксимации.
Из сказанного выше следует, что изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости, т. е. к получению оценок вида (22), называемых априорными оценками. Отметим, что решение г, и правая часть ~р, разностной задачи оцениваются, вообще говоря, в разных нормах (являются элементами разных пространств). Ранее уже приводились примеры норм, в которых оцениваются решение и погрешность аппроксимации на сетке ю,. К сожалению, мы не можем сейчас же получить оценки устойчивости вида (22) для конкретных разностных задач.
Для этого нам понадобится вспомогательный математический аппарат, а именно: формулы суммирования, разностные формулы Грина, простейшие сеточные аналоги теорем вложения. Такие минимальные средства позволят получить оценки ре1пения разностных анало.гов краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
На этом примере мы познакомимся с типичными ситуациями, которые возникают для значительно более сложных задач при изучении устойчивости, аппроксимации и точности разностных схем. $ 3. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разноетных схем 1. Некоторые рааностные формулы. В дальнейшем для преобразования различных разностных выражений нам потребуются формулы разностного дифференцирования произведения, формулы суммирования по частям и рааностные формулы Грина.
В атом пункте мы получим зти формулы, проводя аналогию с соответствующими формулами дифференциального исчисления (аналогичные формулы были получены в $2 гл. 1 прн изучении разностных операторов второго порядка, однако там использовались другие обозначения; установление связи между формулами п. 12 $2 гл. 1 и формулами данного пункта не представляет труда). т л.
л. самаэевва 9З гл. и. основныв понятия тзоиии илэностных схим $) Формулы раз ностноао ди<дференцироеания произведения. Как известно, в диффереициаль)<ом исчислении имеет место следующая формула дифференцирования произведения функций и(х), и(х): (ии)' *= и'и+ ии'. Выше, в $1, п.
2, дяя сеточных функций были введены два типа раэностных производных — левые и правые. Соответственно этому имеются и две формулы разностного дифференцирования произведения: (ии) = и„и+ и<+1<и, = и и<+и + ии, (1) (ии)- = и-и + и< ни- = и-и<-1> + ни-. х с з х с' (2) Здесь введены обозначения ~1] )<+1) — ) ~ )<-1) у( и=у(*~й), у.= — „, уй — -=, ° Обратим внимание па то, что в 'этих формулах происходит сдвиг индекса.
Докажем, например, первое из зтих равенств. Запясьшая равенство ($) в индексной форме и<+<и<+ — с<и< и<+ и<+1 — э<и<+ э<и< — и<и< л л + . л непосредственно убеждаемся в его справедливости. 2) Формулы суммирования по частям. Рассмотрим формулу интегрирования по частям 1 1 ии'Йх = пи[э — ~и'и<[х. е с Для сеточных функций, как и в предыдущем случае, имеют место аналогичные формулы двух типов: (и, и„) = и»и» — и,и, — (и-,,-и], (З) (и, и,-) = и»их 1 — иэис — [и„и). (4) Здесь использованы следующие обозначения: Х-1 х Х-1 (и, и) = Х и<и<й, (и, и) = ~ и<и<Ь, [и, и) =,Е и<и<й.
(5). <=1 < 1 < е Докажем, например, (3). На основании формулы [1) имеем »-1 Х-1 Х-1 Х (ии )1 й = Х (ии)„,<й — ~~.", (и и<+1>)< Ь = <1 Ь1 <1 х х (ии)» — (ии)1 —,Я (и„-и), й = (ии)» — и<и< — ~~.", и„-<и<й + (ийи) Ь. (б) э 3. свидания о.матвмлтичвском лпплглтв 99 Очевидно далее, что Ь (и„-о), = и1о, — иео,.
Подставляя последнее выражение в (6) и учитывая (5), получим (3). В дальнейшем мы будем часто использовать неравномерную сетку, которую, как уже говорилось в $1, п. т, в отличие от равномерной будем обозначать через вь На этой сетке формулы скалярного произведения и разностные формулы суммирования по частям выглядят несколько иначе: М-1 и-1 н (и, о)е — — ~~ и<»Я, (и, о) = ~ ир~Ь~+„(и, и) =,,'Р~ и~о~Ьм ь 1 ь=г ь г (и, о-„) = инин — и,о, — (о, и„-1, (7) где Ь~=0,5(Ь,+Ь<+,).
Здесь введено также обозначение для разпостной производной на неравномерной сетке о . = (у~+ь — о~))Ь~ и для скалярного произведения на неравномерной сетке (,)е. Для доказательства формулы (7) заметим, что "с+г "1+1 "! у = — у о 1 а»~ "~+~ Подставляя это выражение в скалярное произведение М-1 (и, о-) =(и, о»), где (и, ю) = ~ и1щЬм.„ »1 ь1 и повторяя доказательство тождества (3), приходим к (7).
3) Первая формула Грина. Равенство 1 1 ~ и(Ьо')'дл = — ~ Ьи'о'йг+ Ьио' ~о е е обычно называют пер»ой формулой Грина. Для сеточных функций аналог формулы Грина можно получить, пользуясь формулами суммирования по частям. Подставляя в (3) и=г, о= ау-, »' получаем нереую разностную формулу Грина: (г, (ау„-),) = — (ау„-, г-) + агу;~ ~ — аду»лгз. (8) Если г, г» О, то подстановки обращаются в нуль и первая формула Грина имеет вид (г, Лу) = — (ау-, г-~, Лу = (ау„-) . (8') че 100 гл. п.
основныв понятия ткогии глзностных схим В частности, прн г = у получаем (Лу,у)= — (а,(уй) ], у =ук=О. (8') Аналогичный результат справедлив и в случае неравномерной сетка: (У, (аг„-) ) = — (аУ„-, г,-] + аУг; ], — а,У,г,л. (9) Вычитая теперь (9) из (8), приходим к ревностному аналогу второй формулы Грина: (г, (ау„-) ) — (у, (аг;),) = ак (гу- — 'г„-у),„— а, (у„г — г у) .
(10) Точно тан же для неравномерной сетки имеем (г, (ау;)„-) — (у, (аг-)й) = ак(гу-„— уг„-),„— а,(у г — г„у)е. (11) Коли у и г обращаются в нуль при х=О и х 1, то подстановки разны нулю и (Лу, г) = (у, Лг), Лу = (ау-„)„, (10') (Лу, г)„= (у, Лг)„, Лу = (ау-)- . '(11') Эти формулы показывают, что оператор Л является самосопряженным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
