А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. с(с(с1 = ЬЙ и — Ьи(х, С) = 0(/с'+ т); 2) 1~(> ди(х + ) хи(х + )» 0(йх»,) дС дхс = Хи (х, С + т) = 0 (Ьз+ т), т. е. с(сссс = Ьзсхси — Еи(х, с+ т) = 0(Ь'+ т); 9) (сидо ди(х,с+ с/2) д «(Р.с+и/2), 0~Ьс и' дхз =А'и(х, с+ т/2)+ 0(Ьс+чс), т. е. срсс сс = Ьф'си — Ьи (х, 8+ т/2) = 0 (Ь'+ тс). 72 гл. и. осяовньш понятия тжини вьэностных схим Таким образом, оператор Ь)ю~ аппраксимирует Ь со вторым порядком по о прн любом а, с первым порядком по т при а=О, а 1 и со вторым порядком по т при а 0,5.
д~и д,и П р и и е р 5. Еи = —," — — '. дР д*' В этом случае для эаписи раэностного оператора Е~, надо испольэовать значения сеточной функции в три момента времени г — т, г, г+т. Минимальным является пятиточечный шаблон (рис. 5, а, б, е). )х-д Ь г) (х8 г) (х+д 8+с) 6лс-г) д/ (х г+ф (х р-г) (лс-т) д) 4 Ряс. 5. Одна иэ вовможных аппроксимаций (на шаблоне 5, в), использующая эначенпе и„-„на среднем слое г, имеет вид .сии = и- — и- (23) где ип (х, г) = (и (х, г+ т) — 2и (х, г) + и (х, й — т)))т'.
'Аналогично можно написать оператор .(на шаблоне' 5, а) ~жи = ий (24) На девятиточечном шаблоне (рис. 5, з) можно написать двух- параметрическое семейство разностных операторов Ь~,' ')и = ий — (ар- '+(1-а,— а,)и- +а,~-). (25) При а, а~=О отсюда следует (23), и при а, О, а,=1 следует (24). Замечая, что ий —— — е' +0(т), и- = а' +0(Ь), д'и(х, Г), д'и(е, О видим, что оператор (23) имеет аппроксимацию ОЪ'+т1). Зтот же' порядок аппроксимации имеет и оператор (25) при а, = а, а, где а — любое число.
6 ь АппгоксимАция диФФегенциьльных ОпвРАтОРОВ 73 Отметим, что параметры О, и ог, так же как и параметр о в предыдущем примере, управляют не только порядком аш!роксимации, но, как будет показано в гл. Ч, $ 1, и таким важным свойством, как устойчивость соответствующей разностной схемы. Пример б. Би и", Нерегулярный шаблон (неравномерная сетка). Пусть й ~ О и Ь+ > Π— два числа. Возьмем трехточечный шаблон (х — Ь, х, х+Ь+). Бели Ь чай+, то шаблон будем называть нерегулярным (сетка, построенная из таких шаблонов, неравномерна). Введем обозначения и„= +, й = 0,5(й +Ь+) и(и) — и(и — Ь ) и(и+Ь„) — и(г) и определим Ели по формуле ЬА!— ! ! и(и+Ь+) — и(и) и(и) — и(и — Ь ) 7 и„— и„- ь ~ л (23) + Коли Ь =й+ Ь, то Бии совпадает с выражением (7) (см. пример 2).
Вычислим локальную погрешность аппроксимации (в точке х): !р(х) Еии(х) — Ьи(х). Учитывая разложение достаточно гладкой функции и(х) в окрестности узла х: ь' «г и(х+Ь+) = и(х)+ й+и'(х)+ ~+и (х)+ — +и" (х)+ 0(й+), Ле и ь*,„ и (х — Ь ) — и (х) — Ь и (х)+ — и (х) — — и (х) + О (й' ), получаем ( ) + з й (х) + Л '" (х) + О Ж). ь л' и; = и' (х) — = и" (х) +: и'" (х) + 0(й' ), . и, — и- л! — ь' ~«и "л ~ Р (х) + ~ел О (х) + О (йз) (пользуемся тем, что й (2Ь). Выражение для !)(х) примет вид л+ — ь !Р = ~ли — Еи = = и" + 0 (й') = 0 (й).
(27) Таким образом, оператор (26) на нерегулярном шаблоне (й+ чь чь Ь ) ИМЕЕТ ПЕрВЫй ЛОКаЛЬНЫй ПОрядОК аннрОКСИМацпн. 3. Погрешность аппроксимации иа сетке. До сих пор мы рассматривали локальную разноствую аппроксимацию (аппроксв- у4 гл. п. основнык понятия твогии глэностных схкм нацию в точке).
Именно в этом смысле и шла речь о порядке аппроксимации в предыдущем пункте. Обычно требуется оценка порядка раэностной аппроксимации на всей сетке. Пусть елл — сетка в некоторой области 6 евклидова пространства (х ° (х„..., х„)), Нл — линейное пространство сеточных функций, эаданных на елл, Нл — пространство гладких функций о(х), 1 11» — норма на Н„1 11» — норма на Нл. Предполагается, что 1) существует (лператор Ул такой, что У,и =и»ля Н» для любого и ш Н„2) корим И Ил и 6 1(л согласованы, т. е. 1(ш 3 У«и 1« = ~ и 1«, ~Ц-Л где |Ь1.— норма вектора Ь. Рассмотрим некоторый оператор 1,, эаданный в Н„и оператор Бл, преобравующий сеточную функцию о, в сеточную функцию лаол, эаданную на вл (т.
е. действующий иэ Нл в Нл). Назовем поерешностью аппроксимации оператора Ь раэностным оператором Бл сеточную функцию 1~» Ьлэл — (ЛЯ1)л, где о» =У»о, («.о)» =У»(л о), о — любая функция (вектор, элемент) нэ Н.. Если 11»р»1»- О при 1Ы - О, то говорят, что раэностный опе- РатоР Бл аппРоксимиРРет ДиффеРенЦиальный опеРатоР л.. Будем говорить, что разностный оператор Ьл аппраксимирует дифференциальный оператор Б с порядком вл~ О, если Щ»11» = 11С»ол — Ко)»11» = 0(1Ь1"), (28) или 1Х»ол — (» о)»11»~ И»1Ь1", где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от |Ь|.
Замечания. 1. Приведем примеры оператора проектиро- вания У, в пространство сеточных функций: 1) если о(х) — непрерывная функция, то можно положить о» Уло(х) = о(х), х лв елл,' х+Л 1 2) « = Улц = — | (1) 11 = — | (х+ ей)»(е, 1 Р 1 ( х-Л -1 если о(х) — интегрируемая функция и т. д. 2. Если Ь (Ь„..., Ьх) — вектор с компонентами Ье Ь„...
..., Ьх, то под |Ь! можно понимать длину | Ь| =-(Ь,+... + Ь;,)тп. Может окаэаться, что аппроксимация по Ь„си 1, 2, ..., р, раэ- лична по порядку. Тогда вместо (28) будем иметь э 1~«ОЛ ЫИЪЛ~(М Х Ьа л Гдэ П»а>О, а 1 6». Аппгоксил»Ация диФФеРенциАльных ОпеРАТОРОВ 75 Выбирая среди и„..., т« наименьшее число и обозначая его через и», получим оценку (28).
3. Если сетка е», неравномерна, т. е. Ь=(йь ..., Ь ), где й» вЂ” число узлов, то, например, !Ь! = шах Ь, нли !Ь! есть сред»с»сн нее квадратичное значение. Рассмотрим примеры. П р им е р 1. Ревностная анпроксимация на неравномерной »» « сетке. Рассмотрим оператор 5о= — в пространстве Н, =С"'[О, 11 »»«а функций, заданных на отрезке 0<к<1. Выберем на отрезке О ~ х ( 1 произвольную неравномерную сетку е»»=(хь»=0, 1, ..., »»', Е,=О, х«=1). Оператору Ьо, согласно примеру 6 предыдущего пункта, поставим в соответствие разностный оператор » Го»».» — и» «» — «»»1 (Ело)» = — ~ „— у, о» = о(х»), й»» = 0,5(Ь»+ Ь»».л), з»»+1 "» определенный в узле х, па нерегулярном трехточечном шаблоне (х» „х», х»+,).
Вводя обозначения Р» — «»» Р»+ — «» и» вЂ” о о«д к. «,'»-» л,+ '*, з » оператор Ело можно записать в виде (Ьло)» = о-- = о=„. В п. 2 была найдена локальная погрешность аппроксимации »!»»=(А'ло)» — (ьо)» = з о» + 0(й»), » = 1,2,...,Х вЂ” 1. Отсюда видно, что оператор О,о имеет в сеточной норме С первый порядок аппроксимации !!»р!(о= шах !,»!»»! =0(Ь), Ь= шах Ьь »с»сн-1 »с»сн В сеточной норме А', также получаем первый порядок: Однако в норме !!Н-»» = Х "' с.» й»гл »Р имеет второй порядок, так что !!»!»!!» О 0(Ь'), где Ь = шах Ь». »с~со 76 гл. и.
Основные понятия теОРии Рьзностных схем Докажем зто утверждение. Перепишем 1Г в виде Принимая во внимание, что й1 = и1+, + 0(Ь1+1), находим Ф о ю "1+1 "1+1 "$1 +,~,о 6$1 о о где»р« = 0(Ь«) в любой норме. Главный член »р1 в разложенин о 1р» = »Г1 + Чч имеет «дивергентный внд». Поэтому 81 = Х Щ» = 2» (ЬЦ+1и»+1 — Ьоио )/6 = (Ь1+1и1+1 — Ь»1и1 )/6. » 1 о а Отсюда видно, что 1Я < МЬ', и следовательно, Так как ЦК <Ц1(1Ц +Ц1р«Ц и Ц1~«Ц — 0(Ь») то 11Г11 О <МЬ», т. е. погрешность аппроксимации в норме 1 11 О имеет второй порядок. Отметим, что норма 111 о согласована с 11» 1» ~'Ь нормой ЦНЦ,= ~) 1»х~) и(Е)«$~ ~, так что 1и»11 о- 1Н1« при о о Ь- О. Разобранный пример показывает, что исследование локальной аппроксимации может оказаться недостаточным для суждения о порядке разностной аппроксимации на сетке и тем самым дли суждения о качестве разностного оператора.
Выбор подходящей нормы для оценки погрешности аппроксимации связан со структурой оператора, и в каждом конкретном случае должен быть предметом изученйя. Связь между оператором и нормой для оценки погрешности аппроксимации в общем виде установлена ниже, в 3 4.
Ее конкретизация для рассмотренного примера естественно приводит к «негативной» норме 1 11 о. Аналогичная ситуация встречается и при изучении рааностных аппрокснмацнй для оператора 1и (Ьп')', где Ь(х) — кусочно- непрерывная функция (см. гл. 111). Если ищется решение и(х, г) нестационарного уравнения (например, уравнения теплопроводкости), то перииенная «(время) выделяется. Функции и(х, 1) как функция аргумента х является элементом пространства Н,. Пусть «о» — сетка в области 6 проСтРаиотВа (Х ° (Х„..., Х )), О»,— Свтна На ОТРЕЗКЕ 0<1<1». $ с. АППРОксимлция диФФкгвкциАльвьск ОПЖРАтОРОВ 77 Сеточная функция у(х, С) у„(х, С) определена на сетке Ф»»=ос»ХФ»=(Ь; С), хшЯц Сжсс») ° Каи ФУНКЦИЯ аРГУМЕНта ХСВФ» Опа ЯВЛНЕтСЯ ранства Н» с нормой !! !!ь Для оценки у(х, С) на используется норма ~у!лс = шас((у(С)(л, Сает вектором прост- сетке сз», обычно (30) нли одна из норм !!у!!»т = Х т!!у(Ф) ~л, !!у!!Ас = ~ ~ч.", т$у(С)!!С',1".
(31) Секс [ся»» Пусть Ес„и„— рааностнаи аппроксимация оператора Ьк, и и(х, С). Оператор Е», определен на сеточных функциях Р»»(х, С), ааданньсх на сетке се»,. Пусть Р(х, С) как функция х принадле- жит Н.. Тогда и»(х, С) У»о(х, С) принадлежит Н» для любого Гж(0, (»). Если и(х, С) непрерывна по с, то можно положить о„(х, с) и»(х, с) для всех Сжв,. Тавим образом, о»,(х, с) аада- на на сетке Ф». и можно определить погрешность.аппрокснмацвп 'ф»,(Х, $) Тлко».,(Х 1) ЮР)»,(Х, й, (Х, ()»н Ф»~ Будем говорить, что Е», аппрокскмирует А'с порядком кс)0 по х и с порядком и ° 0 по $, если в классе достаточно гладких функций и(х, С) выполняется оценка !! У»(х, С)!!», =0(!й!" + с") или !! Р»!!», <М(!)с!" + т"), где М вЂ” положительная постоянная, не зависящая от !)с! и т.
Пример 2. Аи= — — — », 0<х<1, 0<С(~С„Ьлсо= ис— ди де дс зе' Оператор Ь». пишется во всех внутренних узлах сетки се»,=((хь Сс), х =с)с, 0 )т, 0<С<У, О<) <у»,)» С,/т). Если о(х, е), имеет две производные по с и четыре производные по х (и ев Сел), непрерывные в прямоугольнике (О < х < $, 0 < С < с»), то в каждом внутреннем уале сетки в», согласно и. 2 имеем »У».(х, С) й»»нл» вЂ” (йо)», = 0(У+ т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
