А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 12
Текст из файла (страница 12)
После осуществления такой процедуры мы приходим к алгебраической системе уравнений. Таким образом, задача о численном решении исходного (линейного) дифференциального уравнения сводится к вопросу о нахождении решения полученной алгебраической системы. Остановимся на этих вопросах несколько подробнее. При численном решении той или иной математической задачи мы, очевидно, не можем воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области евклидова пространства. Естественно поэтому выбрать в этой области некоторое конечное множество точек и приближенное решение искать только в этих точках.
Такое множество точек называется сеткой. Отдельные точки называют узлами сетки. Функция, определенная в уалах сетки, называется сеточной функцией. Таким образом, мы заменили область непрерывного изменения аргумента сеткой, т. е. областью дискретного изменения аргумента; иными словами, мы осуществили аппроксимацию пространства решений дифференциального уравнения пространством сеточных функций. Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависят от выбора сетки.
5!. АЦНРОксимАция диФФеРенциАльных ОпеРАТОРОВ б1 Рассмотрим несколько примеров сеток. Пример 1. Равномерная сетка на отрезке. Рааобьем единичный отрезок (О, 1) на /(! равных частей. Расстояние между соседними узлами х< — хоо =Ь=1/У назовем шагом сетки. Точки деления х< — — <й — узлы сетки. Множество всех узлов <о„(х< (й, ( 1, 2, ..., Н-1) и составляет сетку (рис. 1), в данном случае введенную на отрезке. В это множество мол<но включить х .„Рх, хз., х,, яв-/ х граничные точки х, = О, хв = 1. Обозначим ав = (х; = <й, < = О, 1, ... Рлс.
1. ..., Ж вЂ” 1, У). На отрезке (О, 1) вместо функции непрерывного аргумента у(х) будем рассматривать функцию дискретного аргумента рг(х<). Значения этой функции вычисляются в узлах сетки х<, а сама функция зависит от шага сетки й как от параметра. Пример 2.
Равяомврная сетка на плоскости. Рассмотрим множество функций двух аргументов и(х, (). В качестве области определения выберем прямоугольник У=(0<х<1, 0<8<Т). Разобьем отрезки (О, 1) оси х и (О, Т) оси ( соответственно на Р./~ Л, и № частей; пусть Ь=1/№, т = Т/№. Через точки деленна проведем прямые, параллельные соответствующим осям. В результате пересечения этих прямых получим узлы (х„г<), которые и образуют сетку (рис. 2) <о«- ((х„г<) ш)2)). Зта сетка имеет шаги й и т соответственно по направлениям х и !. Соседними узлами сетни называются узлы, лежащие на одной и той же прямой (горизонтальной или вертикальной), расстояние между которыми равно шагу сетки (й или т).
Пример 3. Неравномерная сетка на отрезке. Рассмотрим отрезок О~х<1. Вводя произвольные точки 0<х<~х,<... ... (хв,(1, разобьем его на )т' частей. Множество узлов (х„ <=О, ..., Ж, х,=О, хв=1) образует неравномерную сетку е<ЛО, 1). Расстояние между соседними узлами — шаг сетки — равно Ь<=х,— х,, п зависит уже от номера ! узла, т. е. является сеточной функцией. Шаги сетки удовлетворяют условию нормировки и Х Ь,=1. б2 Гл. и.
Основные пОнятия теОРии Рлзвопгньгх схем Пример 4. Сетка е двумерной области. Пусть на плоскости х = (х„х,) дана область 6 сложной формы с границей Г. Проведем прямые х, = (,Ь„(, = О, ~ 1, ~ 2,..., Ь,) О; х( ')= (»Ьз,( = (*' ) = О, ~1, ~2, ..., Ь, ) О. Тогда на плоскости (х„х,) получим сетку (решетку) с узлами ((»Ьо (»Ь»), (о (» О, ~1, ~2, ...
Эта решетка равномерна по каждому из направлений Ох, и Ох,. Нас интересуют только те узлы, которые принадлежат области 6 6+ Г, включая границу Г. Те узлы ((,Ь„(,Ь,), которые попали внутрь 6, назовем внутренними, а их совокупность обо- . значим е»» (рнс. 3). Рассмотрим точки пересечения прямых (й) (ь») х, »,Ь, и х» = (»Ь„ $„( = О, ~1, х2, ..., с границей Г; зги точки назовем граничньыш узлами, а множество всех граничных узлов обозначим «».
На рис, 3 знаком Х обозначены граничные узлы, а значком ° — внутренние узлы. Из рис. 3 видно, что имеются граничные узлы, которые отстоят от ближайших к ним внутренних узлов на расстоянии, меньшем Ь, нли Ь,. Таким образом, хотя сетка на плоскости и равномерна по х, и х„ но сетка е»1 е»»+ «» для области 6 неравномерна вблизи границы, Более'подробно зта сетка будет рассмотрена в гл. 1Ч. Итак, область 6 изменения аргумента х мы заменяем сеткой а», т. е. конечным множеством точек хь принадлежащих 6. Вместо функций и(х) непрерывного аргумента х»и6 будем рассматривать сеточные функции у(х,), т.
е. функции точки хь являющейся узлом сетки е»» (х<). Сеточную функцию у(х,) можно представить в виде вектора. Если перенумеровать все узлы в некотором порядке х„х„..., хю то значения сеточной функции в этих узлах можно рассматривать как компоненты вектора у=(у, ", уь ", у ). 'Если область 6, в которой построена сетка, конечна, то размерность У вектора У конечна. В случае неограниченной области 6 сетка состоит из бесконечного числа узлов и размерность вектора У также бесконечна. Обычно рассматриваются множества сеток (е»»), зависящих от шага Ь как от параметра. Поэтому и сеточные функции у»(х) зависят от параметра Ь' (или от числа узлов )т' в случае равномерной сетки).
Если сетка ю» неравномерна, то под Ь следует понимать вектор Ь = (Ь„ Ь„ ..., Ь„) с компонентами Ь„ ..., Ь„. 3 <, лппРОксимАП1ая диФФЕРвнцизльнь<х ОпеРАтОРОВ б3 Это же замечание относится и к случаю, когда область 6 многомерна, х=(х„..., х,); тогда Ь (Ь„Ь„..., Ь„), если сетка Ф» равномерна по каждому из аргументов х„х„..., х,. Функции п(х) непрерывного аргумента х<вб являются элементами некоторого функционального пространства Н,. Множество сеточных функций у»(х) образует пространство Н,. Таким образом, используя метод конечных разностей, мы заменяем пространство Н, пространством Н, сеточных функций у„(х). Рассматривая множество сеток (Ф»), получаем множество (Н») пространств сеточных функций, зависящих от параметра Ь. В линейном пространстве Н, вводится норма ((.(<», являющаяся сеточным аналогом нормы 1! Ц в исходном пространстве Н,.
Укажем простейшие типы норм в Н, для случая сеток Ф» (х< — — <Ь) на отрезке О ~ х < 1 (индекс Ь у у, опускаем). 1) Сеточный аналог нормы в С: ~у)с=шах(у(х)) или (у)с= шах (у<~. ~Ф<~Л е«~л 2) Сеточные аналоги нормы в Е;. <<я-1 ч</» / /</ Ь1/» 5у$= ~ ~ч; у<Ь~ или $у$ = Я у~<Ь) В дальнейшем будем, как правило, пользоваться нормами, индуцированными скалярными произведениями на Н» (сеточными аналогами норм в Ь„)1/', и др. См.
стр. 11 — 12). Пусть и(х) — решение исходной непрерывной задачи, и <в Н,, у» — решение приближенной (разностной) задачи, у»<ВН,. Основной интерес для теории приближенных методов представляет оценка близости у, к и. Однако у, и и являются векторами из разных пространств. Имеются две возможности: 1. Сеточная функция у», заданная 'в узлах Ф»(0), доопределяется (например, при помощи линейной интерполяции) во всех остальных точках х области 6. В результате получаем функцию Д(х, Ы непрерывного аргумента хж0.
Разность у(х, Ь) — и(х) принадлежит Н,. Близость у, к и характеризуется числом бу(х, Ы вЂ” и(х)1„где!!.(« — норма на Н,. 2. Пространство Н, отображается на пространство Н». Каждой функции 'и(х) жН, ставится в соответствие сеточная функция п»(х), х<нв„так что и»=/У'»«<ВН», где У» — линейный оператор из Н, в Н,. Это соответствие можно осуществить различными способами (выбирая разные операторы /г'»). Если и(х) — непрерывная функция, то полагаем и»(х) и(х), где х<в<о». Иногда определяют и»(х,) в узле х«ВФ» как интегральное среднее значение и(х) по некоторой окрестности (например, диаметра 0(Ы) данного узла х<жв». В дальнейшем всюду. будем предполагать, что и(х) — непрерывная функция и и»(х<) п(х<) для всех х, ш Ф».
б4 гл. и. Основные понятия теогии Рлзностных схем Имея сеточную функцию им образуем разность у» — и„, являющуюся вектором пространства Н,. Близость у, к и характеризуется числом (~у» — и»1», где!! 1» — норма на Н»; При этом естественно требовать, чтобы норма (~ Ц аппроксимировала норму 1 ((, в следующем смысле: 11ш1ил 1» = 1и'1» л- з для любого вектора и из Н,. Это условие будем называть условием согласования норм в Н» и Н,. Мы всюду используем второй путь, исследуем погрешность разностных методов в пространстве сеточных функций.
В большинстве случаев эти пространства являются конечномерными. Как будет показано в дальнейшем, оказывается возможным йровести изложение основных вопросов теории разностных схем, трактуя Н, как 'абстрактные линейные пространства любой размерности. После того как мы познакомились на простейших примерах со способами построения сеток н тем самым пространств Н, сеточных функций, перейдем к вопросу о разностной аппроксимации дифференциальных операторов. 2.
Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Пусть дан линейный дифференциальный оператор г', действующий на функцию о=о(х). Заменяя входящие в г,о производные разностными отношениями, мы получим вместо Ео разностное выражение Ь»о», являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции о на некотором множестве узлов сетки, называемом и»абяоном; Т лил(х) = Х .4»(х, $) ол($) Звшоо или (Хлол)» = 2~ Ал(хь х() ол(х;), * яш (ж) где А,(х, $) — коэффициенты, й — шаг сетки, Ш(х) — шаблон в точке х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
