А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Такая приближенная замена ьо на 1»о» называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или ревностной аппроксимацией оператора» ). Изучение разностных аппроксимаций оператора Ь вначале обычно проводят локально, т. е. в любой фиксированной точке х пространства. Если о(х) — непрерывная функция, то о»(х) = о(х). Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора Ь, необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции о(х) могут быть испольаованы для аппроксимации оператора г'.

В этом пункте рассматриваются примеры разностной аппроксимации для простейших дифференциальных операторов. э ь Аппгоксизгьция диФФегенцплльных ОпеРАтОРОВ 55 П р и м е р 1. Ьо = (Ыйх. Фиксируем некоторую точку х оси Ох н возьмем точки х — Ь и х+ Ь, где Ь> О. Для аппроксимации т и можно воспользоваться любым нз следующих выражений: (1) г (е) — е (х — Ь) ь о = — о-. (2) й Выражение (1) есть.

правая раеностная производная (ее мы будем обозначать о,), а (2) — левая раеностная производная (обозначение и-„.). Разностные выражения 5~+,о и л'ьо определены па двух точках (имеют двухточечные шаблоны х, я+Ь и х — Ь, х соответственно). Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производной <Ыдх можно взять линейную. комбинацию выражений (1) и (2) л.)шо не ов„+ (1 — о) и„-„ где а — любое вещественное число. В частности, при О=0,5 получаем так называемую центральную (двустороннюю) разностную производную 1 г ъ з(е+Ь) в(е — а) ". = Х('*+~)= Чь х е~ (4) (предполагая при этом, что функция о(х) — достаточно гладкая в некоторой окрестности (х — Ь„х+Ь,) точки х и Ь(Ь,, Ь,— фиксированное число). Подставляя это разложение в (1), (2) н (4), получим (* + ") "(*) ь — о (х) + — о (х) + 0 (Ье) — о'(х) — — о (х) + 0(Ьз), 2=- "'+"2„"(* " - ()+0(Ь).

(5) э А. л. самарские Таким образом, оказывается, что можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих БО = о'. Возникает вопрос: какую ошибку мы допускаем, используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя разность ф(х) =адьо(х) — 5о(х) в точке х при Ь- О. Величина фх) = ььэ(х) — Ьо(х) называется поерешностью ревностной аппронсимации елт в точке х. Разложим О(х) по формуле Тейлора о(х~Ь) = О(х) 1-Ьо (х)+ — о (х)+ 0(Ьз) 66 гл: и. Основные понятия теОРии РАзносгных схем Отсюда видно, что ф = и„— й (х) = 0 (Ь), 1Р = и- — о' (х) = О (Ь), 1р = ии — о' (х) = 0 (Ьи).

Пусть У вЂ” класс достаточно гладких функций ош [т, заданных в окрестности Ш(х, Ь,) точки х, содержащей при Ь(й, шаблон Ш(х, Ь) разностного оператора бь Будем говорить, что Ц аппроксимирует ди4$еренциаяьпый оператор х с порядком т ~ 0 в точке х, если 1Р(х) =, Ело(х) — Ьи(х) = 0(Ь").

Так;ам образом, левая и правая разностные производные ап-' проксимируют т.о = о' с первым порядком, а центральная| разностная производная — со вторым порядком. Пример 2. Аи = й = —,. а и йх Чтобы написать разностную аппроксимацию второй проиаводной, надо использовать три точки (х — Ь, х, х+Ь), т. е. ваять трехточечный шаблон. В этом случае Бло— и (х+ Ц вЂ” 2и (х) + и(х — Ь)' (6) Замечая, что правая разностная производная в точке х совпадает с левой разностной производной в точке х + Ь, т. е. о (х) = о-„(х+ Ь), перепишем (6) в виде и (х)- и-.(х) 1 ДАР = " * = — [их(х+ Ь) — и„-(х)1=- о- (х).

(7) Пользуясь разложением функции о(х) по формуле Тейлора, нетрудно показать, что порядок аппроксимации в этом случае равен двум, т. е, и- — о'(х) = 0(й'), так как о- = и" + — ом1+0(йх). 12 П р и м е р 3. Ео *= и'". Выберем пятиточечный шаблон, состоящий из точек (х — 2Ь, х — Ь, х, х+Ь, х+ 2Ь), и определим Ььо = о,-„- . Пользуясь формулой (6) для о„, напишем выражение для ь„-: Ььо = о„- - = —, [их (х + Ь) — 2и„- (х) -[- о- (х — Ь)) = 1 1 = —, [и(х+ 2й) — 4и(х+ Ь) + 6о(х) — 4и(х — Ь) + и (х — 2Ь)[.

з ь АппРОксимлцня диФФеРенци»льных ОпеРАтОРОВ б7 Нетрудно проверить, что Е» аппроксимирует Б со вторым порядком О- — — О'~ — Л РЫ + 0(Ь»). В самом деле, пользуясь разло- 6 жением по формуле Тейлора в'Л'Л* »!'х (х) Р (х + ОЬЬ) = Р (х) + ~~ , †, + 0 (Ьз), о = * 1, Ф=! при Ь='», 2 и учитывая, что сумма Р(х+ЬЬ)+ с(х — ЬЬ) содержит только четные степени, получаем написанную выше формулу для Ру разложение погрешности аппроксимации»р = ܻР— ЕР по степеням Ь можно испольаовать для повышения порядка аппроксимации. В самом деле, имеем Л' Л' Р- — Р' = — Р!ю+ 0(Ь') =[2 Р- — + 0(Ь'). Отсюда следует, что оператор Л' ЩР = У- — — Р х,х~ хх (2 определенный на шаблоне (х — 2Ь, х — Ь, х, х+Ь, х+2Ь), аппроКСИМИРУЕт Ео Рх С ЧЕтВЕРтЫМ ПОРЯДКОМ.

В принципе такой процесс повьппения порядка аппроксимации можно продолжить дальше и получить любой порядок аппроксимации в классе достаточно гладких функций Ош У. При этом шаблон, т, е. число используемых узлов, возрастает. Однако указанный прием повышения порядка разностной аппроксимации не всегда можно рекомендовать для практического применения, так как качество получающихся при атом операторов ухудшается (в смысле объема вычислительной работы, условий существования обратного оператора, устойчивости и т.

д.). Нам в дальнейшем понадобится Лемма. Справедливы формулы х(в+Л) — 2Р(х)+ х(х — Л) — о" (зх) зх = х+ ОЬ [б! < 1 (О) если Р»ЕС!*![х — Ь, х+Ы, = "()+ —,", Оп(Р, Ь= +В,Ь„)О,)((, ((О) если РшС!»![х — Ь, х+Ь). Здесь С!»![а, Ы вЂ” класс функций, имеющих непрерывную Ь-ю производную на отрезке а < х ~ Ь. Я» 66 гл. и. Основные понятия теОРии РАзностеых схем Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме а) и(х) = и(а)+(х — а)и'(а)+ ...

+ — аиоо+ Ваы(х), (11) где В,+т (х) = — ) (х — $) и ~ ($) <$ = а 1 (х а)аы Г ) (1 — )" ""' ( + ( — «И . (12) с Применяя теорему о среднем для интеграла, представим Я,+,(х) в виде (а — а)а+ В,+т(х)= („, „',' где $ — среднее значение х на отрезке О'+Н (ае) (а, х), 1 ь = а+ 6(х — а), 0(0((1, ) (1 — з)"Ыз = —. о Заменяя в формуле (11) х на х+ Ь, а на х, получим при г 1 и г 3 соответственно и(х+Ь) = и(х)+ Ьи'(х)+Ь' ) (1 — з)и'(х+ зй)дз, о (13) и(х+Ь) = и(х)+Ьи'(х)+ 1 + — и" (х) + —, и" (х) + —. ~(1 — з)зиов (х -(- зй) Из. (14) о и(х — Ь) = и (х) — Ьи' (х) + о + — и' (х) — — и'" (х) + — ~ (1+ з)зиоо(х + зй) «(з.

(16) -1 Сложим формулы (13) и (15), перенесем 2и(х) в левую часть «) См. Никольский С. М. Курс математичесвого анализа.-Мз Наува, (975. 7. 1. Заменяя здесь Ь на — Ь и затем з на — з, получим формулы о и(х — й) = и(х) — Ьи'(х)+ Ьз ) (1+ з) и'(х+ ай) с(з, (15) -з 5 1.

АппРОксямАпня днФФегвнцнзльных ОпвРлтОРОВ 68 равенства п рааделим на Ь1: Рз(з) Р'(х+ зЬ) Ыз1 -1 ( .+ц+,( -ц-г.(з) Р- 1+з при — 1а,,з(0, 1 — з при 0:~зз-.1. Так как Р1(з) > О, то можно воспользоваться теоремой о средкем, что дает где 1 Р- = Р'(х+ ОЬ) ) Р1(з)1Ь= и(х+ ОЬ) = и'$), — 1«~81~1 -1 где $ — средняя точка на отрезке [х — Ь, х+ Ы. Аналоппзио получается и вторая формул» (10).

Сложим И4) и ИО), перенесем 2и(х) в левую часть и равделим на Ь': с- = Р (х)+ — ~ Р (з) и11(х+ зЬ)йз, -1 где — 1(з(0, Г Оа,:„з(1, 3 Рз()" = г' -1 непрерывна, то, применяя теорему )(1+ з)з при ((1 — з)з при Так как я,(з)>0, а ип1(х) о среднем, получим „="()+ ~.оп(х+ОЬ), ~8~<;1, что и требовалось. Замечания. 1. Очевидно, что аналогично можно получить н формулу и- = Р (х)+ — Рсп(х)+ — Р~(ь), с = х+ ОЬ, — 1(81Я,'1, (17) если и(х) ж С"Чх — Ь, х+ Ы.

2.. Аналогично можно показать, что Р- -„= —,(и(х+ 2Ь) — 4и(х+ Ь)+ 6и(х)— 1 — 4и(х — Ь)+ Р(х — 2Ь)) = ОПОЯ), ($8) где с=х+ОЬ, !О! <2 — средняяточканаотреэке (х-2Ь, х+2Ы, 70 Гл. 11. ОснОВные пОнятия твОРии Ргзвюстных схем а о ев С'Чх — 2Ь, х+ 2М. Для этого достаточно получить формулу 2 Р- — =- — „, ) г (г) о (г+ гй) 2(г, (Г ЬО -е где б(г)- Пусть (х, 2) — фиксированная точка плоскости (х, 1), В~О и с~Π— два числа (шаги). Чтобы написать разностную аппроксимацию е,„-для оператора ь", мы должны прежде всего определить шаблон. (а,'г т) г»еу (з'-дд) (из) (г»4() д» (ц г) ф Остановимся сначала на аппроксимациях простейшего типа. Пусть шаблон состоит из четырех точек (рис.

4, а). Определим 12» так: »121 л»(ю г+ 2) — г(х,е) ' г(э+ь,е) — 2»»(г» 2)+»»(2 — ь, 2) (18) 2 )»сов Ъ Для упрощения записи разнбстных выражений весьма важным является вопрос о введении рациональной символики. Условимея о следующих обозначениях: и=и(х, 1), о=и(я, 1+ с), О=О(х, Ф вЂ” т). В этих обозначениях, например, разностная производная по г 8 (1 + г/2)2 при 8(1+ г/2)2 — 4(1+ г)е при 8 (1 — г/2)2 — 4 (1 — г)е при 8 (1 — 2,~2)2 при П р и м е р 4. л:г = — — —, и = и (х, 1) ди де де дге' (з л6 Мг) (ю~() 4 Рзс.

4. — 2<2< — 1„ †1<2, 0<г<1, 1<22 2. 6 с, АппРОксимАция днФФетенп;нальных ОпеРАРОРОВ 71 может быть записана следующим образом: и(х,с+ с) — и(х,с) й — и (20) ис — т — х ° Учитывая (7) н (20), запишем (19) в виде ОАС и = иС вЂ” ийи (19') При построении Ьзх мы взяли значение и- в момент 2 (на ояжкем слое). Используя шаблон, изображенный на рис. 4, б, можно взять й' в момент с+ т (на верхнем слое), что дает Хзс'и = РС вЂ” и- . (21) Взяв линейную комбинацию (19') и (21), получим однопараметркческое семейство разностных операторов БАЛ'х'и = РС вЂ” (Оиа+ (1 — а) и- ), (22) определенных при о чь О и о ~ 1 на шеститочечном шаблоне, укаэанном на рис.

4, в. Для оценки порядка разностной аппроксимации воспользуемся формулами ди(х,с) с д и(х,с) О( ') = ди(х,с+т/2) +О( х) и(х' с) + /с д и (х' с) + 0 (Ьс) = дхс (2 дхс д и(х. с+ т/2) с д и(х, с+т/2) ., з+ дхс 2 дхсдс дси(х, с+'с/2),. с дзи(х, с+ т/2), 0 с+ дхс 2 дхсдс ПоДставлЯЯ зти выРажениЯ в фоРмУлы Длн/.Ахи, с.ьсо, сФхо, получим: сзи>и д (х, с) д и(х, с)+0(Ьс . ) ии( С)» 0(Ьа»„т) дс дхс т.

Характеристики

Список файлов книги