А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Подставим в формулу и(х, «) — ио(х) = т — ~ + 2 —,~ +0(т ): о до~,, г до~~, ди значение —,~ о исходя из дифференциального уравнения ди ! ио — =Ли +)(х,О), Ти = — о. ш ~~=о Тогда получим )л = Ти, + )(х, О), и, следовательно, у(х, «) = ио(х) + т(ио(х) + 1(х, О)). $2. Устойчивость разностной схемы 1. Примеры устойчивых и неустойчивых разностиых схем. Использование разностных схем позволяет свести решение задачи для дифференциального уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом правые части уравнений, краевые и начальные данные, которые мы будем в дальнейшем называть одним общим термином — входные данныв,— 6 3.
устойчивость Р»<зностнои схимы 89 задаются с определенной погрешностью. В процессе самого чис- ленного решения системы также неизбежны ошибки, связанные с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы, чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нара- стали в процессе вычислений и не приводили к искажению ре- шения. Схемы, которые в процессе счета усиливают, начальные по- грешности, именуются неустойчивыми и не могут быть исполь- зованы на практике. Прежде чем дать определение устойчивости разностной-схемы по входным данным, к понятию которого мы интуитивно подо- шли, приведем несколько примеров. Пример 1.
Устойчивая схе»»»а. Пусть и' — аи, х>0, и(0) ио, а>0. И) Точным решением задачи И), как нетрудно видеть, является функция и(х) и,е . Это решение не нарастает с ростом х: )и(х)! ()и,) при а>0 и, следовательно, и(х) непрерывно зави- сит от и,. Задачу И) на равномерной сетке»оо (х»=»Ь, »=О, 1, ) аппроксимирует разностная задача (у< — у»,)/Ь+ау» О, у, и»» 1 1, 2, ... (2) Задачу (2) можно переписать в виде у» ву» „в 1/И+аЬ), »=1, 2, ..., у, и,. Отсюда следует у» = в»у». Рассмотрим фиксированную точку х и выберем такуто после- довательность шагов Ь, чтобы х все время оставалось узловой точкой, х »,Ь. Тогда при измельчении сетки, Ь - О, номер 1„ соответствующий выбранной нами точке х, неограниченно воз- растает. Вычислим значение у в этой точке; »о у (х) = у», = е уо.
Так как !в! (1 при а>0 и любых Ь, то)у(х)) <)в! )уо! ( < )у(0)1 при любом Ь. Из последнего неравенства видно, что решенно разностяой задачи (2) непрерывно зависит от начальных данных. В таких случаях будем говорить, что разностная схема устойчива по на- чальным данным. Пример 2. Неустойчивая схема. Для задачи И) рассмотрим схему у» — в»; у»+» у» о ~ +(1 — о) ' +ау»=0, уо=ио у»=ио» (8) » 1,2,..., где о > 1 — числовой параметр. Так как схема трехточечная (раз- ОО гл.
и. Основныв понятия твогнн РАЗностных схвм постное уравнение имеет второй порядок), то помимо у, следует задать у,. Прн любом о схема (3) имеет, по крайней мере, первый .порядоз( аппроксимации. Если положить й, = (1 — а)2)и„ то й, — и(й) = 0(Ь'). Частные решения разностного уравнения (3) ищем в виде у, з'. Подставляя у<=э' в (3), получим для з квадратрое уравнение (о — 1)з' — (2о — 1+ ай)з+ о = О, (4) которое имеет два различных корня' 2о — 1+а)<+ << 1+ 2(2а — 1) аА+а Ь 2 (с — 1) Общее' решение уравнения (3) имеет вид у< = Аз;+ Взо. (5) Полагая 2 = О и 2 = 1 н учитывая, что у, = и„у, = й„найдем по- стоянные А и В: ио 22 ио А= о — о 1 2 ио В= о — 8 1 2 Так как о> о — 1>О, таз,з,>1. Покажем, что з,<1 при любых ай.
В самом деле, разность 2 (о — 1) — (2о — 1 + ай — 'у' 1 + 2 (2о — 1) аи + аойо) = = 'Г (1 + аЬ)2 + 4 (о — 1) сй — (1 + ай) > О при о>1. Очевидно также, что з, > 1 нри любом значении а<2, так как з,з,>1. Из формулы у<=Аз,+Вз, видно, что. у,— прн 2- < < если А чиО. Можно'выбрать значение у, = й, так, что А ='О. Для этого достаточно положить й, и,з,.
Однако в процессе вычисле< ний из-за ошибок округления решение з, неизбежно появляется, что приводит к неустойчивости указанного типа. При фиксированном й эта схема приводит к нарастанию решения с ростом х<-й. Сгущение сетки (уменьшение )о) приводит к нарастанию ошибок в фиксированной точке х =1,Ь, так как 1<=х/)2 растет с уменьшением й. Малое изменение начальных данных приводит при й — О к неограниченному возрастанию решения задачи в любой фиксированной точке У..
Ниже приводятся результаты расчетов для задачи (3) прн у, 1, у, = з„ где з, — меньший корень квадратного уравнения (4). При этих начальных данных точное решение уравнения (3) имеет внд у< = Вз'„так как А = О. Однако из-за ошибок округ- . ления в формуле (5) решения возникает первое слагаемое, которое растет с ростом 2 и приводит к переполнению арифметического устройства ЭВМ. 9 а гстоичнВОсть Ризносткой схимы 91 Были проведены расчеты следующих вариантов па ЭВМ БЭСМ-6: 1) а=1,1; аЬ=0,01; г, 11,11; за=0,99; 2) о=1,1; ай=0,1; з, 12,09; га 0,91; 3) С=2; ай=001; г,=202; г,=099; 4) о 2; сй= 0,1; г, 2,17; за=0,92. В таблице 1 приведены значения у< в некоторых узлах сетки юа для всех четырех вариантов. В последней строке таблицы указавы номера узлов сетки, в которых наступил аварийный останов ЭВМ (авост).
Таблица 1 Ваииаит 3) и, Вариаит 2) Вариаит П Ваииаит Ю Ут 2. Задача Коши дли системы уравнений первого порядка. Условие устойчивости схемы Эйлера. Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка — +Ан = О, 1) О, и(0) = и„ (6) где и = (ин>, и1а), 7 ., иоо) — искомый вектор,на —— (ио~ иа7, ..., иа ) — заданный вектор размерности и, А =(ае) — симмет(и)и рпчная положительно определенная матрица и Х в. Пусть ̈́— линейное пространство векторов со скалярным про-.
и изведением (н, ч) = ~ инЬО>и нормой1)н~ = 'г (а, п). Матри- 1-1 це А соответствует линейный самосопряженный оператор А: Н вЂ” Н, А =Аз>0. Обозначим (Лю ва) множество собственных значений и орто- нормированных собственных векторов оператора А: А$а=Лаза, й 1, 2, ..., и, в 7 11 12 13 14 15 16 20 25 32 0,952 0,942 0,900 0,832 0,174 — 7,05 8,72 10т — 9,77 10а — 1 49 10т — 2,52.10'а аа 8 10 11 12 13 14 15 20 25 30 0,567 0,516 0,420 0,306 — 0,641 — 1,17 10т — 1,45 10а — 1,76 10а — 4,54 10а — 1,17 10та 32 33 37 38 39 40 50 60 80 90 100 0 724 0,703 0,260 — 0,196 — 1,11 — 2,95 — 4,10 10а — 4,64 10а, — 5,92 10та — 6,69 10и 28 29 32 33 34 40 50 60 80 90 92 8,97.10 а 7,87.10 а 3,78 10 а — 7,41 10 а — 0,237 — 3,17 10' — 7.84.10а — 1,94.10а — 1,19 10та — 2 94.
10та 92, Гл. и. Основныв пОнятия теОРии РАзностных охнм так что Решение задачи (6) будем искать в виде н (С) = ~ а, (й) $,. а=1 Подставляя это выражение в уравнение (6), получим и ф — '„"; +).а,)В. = О. 1-1 Отс1ода еледует еа„ + )ааааа = О, аа = 1, 2, ..., я, аз(1) = аь (0) е ~1~, так что «(() ~ а„(0) е ~1'$1. 1-1 Потребуем выполнения начального условия и н(0) = и = ~.", а„(0) ьь, 1 1 так что аа (0) = (», $1), ~ па)з = ~ аз (0). Из (7) видно, что п и , Зп(Т)~~ = ~ ~ а„(О) а,(0) е ""'е ""($1, $а) = й 1 ° 1 =- ~ч~~~ авь(0) е аьаа(е 1111 ~ ааь(0) = е 1~1~$п ~1, й 1 й 1 т.
е ~ и (а) ~ ~ (е ' ~ НД. (8) Таким образом, решение задачи Кошд убывает с ростом 11 (!н(ТН! ~!!На(! при 1~ О. (9) Рассмотрим теперь схему Эйлера для аадачи Коши: +АУ1=0 1=0 1а ° ° ауе=наа (10) 5 х устойчивость УАзностноп схемы 93 где у; у(11), 21 )г. Решение этой эадачи ищем в виде суммы У) — — ~ аАДАЬА, (И) 1-1 так что уо = по = ~ аоэА, ао = (и, $А).- А=1 Выражение И1) удовлетворяет уравненпю ИО), если аА( — "+ АА)ЩЗА — — О, 1=1 ао — 2 т.
в. А +АА = О, откуда находим 91=1 — тА,. Из формулы ! о!!'= 2;!ао!'СА видно, что !у;фо(шах!до!' ~Р ао= шах$ф,|'фуоЦ1 <Цуофо, если шах ! д„! < 1, и !!У,1* ) !!У,Р, если шш ! д,! ) 1. Неравенство А А !!У,1 < !!у,!! И2) является аналогом (9) и выражает устойчивость решения вадачи ИО). Условие шах!ОА! <1 выполнено, если — 1<д, 1 — тАА<1, т. е. тАо< 2 для любых й = 1, 2, ..., п. Для этого'достаточно потребовать, чтобы ИЗ) т<2/Ь, где Ь шахА,=А„.
Если тЬ)2, то, полагая у, с$„, мы получим, что а„О для й =1, 2, „и — 1, а„с н У) =СЯоооо=Яоуо !У)1= !Д»!~!УА1>!Уо1~ так как !д ! УА — 1 тЬ вЂ” 1) 1. Если, например, тЬ 2+р, р) О, то !д.! -1+ р и ! О4! = (1+ р)1-~ оо при ) ° -. В этом случае схема ИО) неустойчива. Можно эадать начальное условие так: У= Ф. Тогда У) = Доуо !У11= !Д1! !Уо! где О1 = 1 — тА,.
о4 гл. 11. ОснОВные пОнятия теоРии Рхзностных схем Может оказаться, что т) 2/Л, но т)„<2 и )д,) <1. В этом случае 1у1< !(( Р1у01 < 1у.1. (14) Однако в силу ошибок округления, у, задается с некоторой погрешностью е, которую можно разложить в сумму н = .с.'1 ззею за = (е. Фь) а=1 Каково бы ни было е, можно указать такое уе что! ем ) д~! ') ) М, гце 1)т — машинная бесконечность, т. е. при / у, наступает авост, так как ~д„! ~ 1.
Поэтому схема (10) неустойчива по отношению к ошибкам округленяя при любых начальных данных, если только тй) 2. Если добиваться, чтобы решение у, задачи (10) удовлетворяло оценке, аналогичной неравенству (8), то надо дополнительно потребовать, чтобы 2 1 — тХ, > й. — 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
