А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поэтому вопрос о связи порядка точности с порядком аппроксимации сво- дится к вопросу о характере зависимости решения раэвостяой задачи от правой части. Если г, непрерывно (и'притом равномер- но по Ь) зависит от фл и т, (схема устойчива), то порядок точно- сти совпадает с порядком аппроксимации. $1. АппРОксиыАпия диФФеРенцилчьных ОпеРАтОРОВ 33 Точное определение устойчивости разностпой схемы будет дано в следусощезс параграфе.
Остановимся сначала на вопросе о повышении порядка аппроксимации разностной схемы на решении дифференциального уравнения. 6, Повышение порядка аппроксимации рааностиой схемы. В и. 3 было замечено, что погрешность аппроксимации дифференциального оператора на решении дифференциального уравнения моокет быть повышена без увеличения шаблона. Рассмотрим этот прием на примере двух разпостных схем. Пусть дана разностная схема Уо=фо У»=по для задачи (32) (и'=)(х), и(0) = и„). Найдем певязку на решении и = с»(х) уравнения и' = )(х): ср = и„— ср. Разложим Ь' .
Ь' и(х+ Ь) = и(х)+ Ьи'+ — и" + — „и" + 0(йо) и учтем, что и' =), и" =)', ..., тогда получим ор = и'+ — й+ — и" — ср+ 0(ЬА) = 2 6 = » (х) — ср (х) -',— —, й + — и"' +'0 (Ьз) = Ь. Ьз = ((х) — ср(х)+ 2 )'(х)+ 6 й + 0(йэ). Выбирая ср )(х)+О,бй)' или»р, Ц+0,5Ь),)с, получаем схему второго порядка аппроьсимации на решении и = и(х): 0(Ь'). Учитывая затем, что и"' = 1" = 1-,„+ 0(ЬЪ ) = Ло — О»5Ц; + + 0(йо), найдем Ь Ь' ф= 1+ — ӄ— — У- +0(йо) — ф, т.
е. схема у = ф с правой частью Ь Ь ф= г+ — ~* — — ~- 2 * 12 ох имеет третий порядок аппроксимации ф = 0(й') ив = и(х). Рассмотрим теперь для краевой задачи и" — уи = — )(х), О ~ х (»; и(О! ос(1) = О, д сопзэ, 6А 94 Гл. и, Основные понятия теОРии РАзностных схем трехточечную разностную схему у- -ду= — «р(х), 2=дй, д'=1,2 У 12 уз=ун=0. Покажем, что можно повысить ее порядок аппроксимации на решении и и(х) без увеличения шаблона, если выбрать соответствующие Ы и «р.
Пусть и = и(х) — решение исходной задачи. Рассмотрим не- вязку «Р = и-„„— Ыи + «р. Подставим сюда и- = й+ «2 и '+ 0(й') н учтем уравнение и" ди — 1(х): ф (у д)и+(,— 1)+ 12й" +0(й). Отсюда видно, что «у=0(й*) при д=«), «р = 1. Подставляя йм= = у'и — 12 = д(ди — 1) — 1-„„+ 0(й') в формулу для ф будем иметь 1 Г I 2Ь2 Ч> = ~«р — 1 — )2 (1-„„+ Д1)~ — ~«2 — ~д+ ~ )1и+0(й«). Таким образом, если положить 2Ь2 ад «2 ' Р 12'( 22 )' то получаем схему повышенпого порядка аппроксимации 0(й') (39) яа решении и(х) исходного уравнения. Остановимся теперь на свяаанном с постановкой разностных задач вопросе об аппроксимации краевых и начальных условий на решении исходной задачи. 7. Аппроксимация краевых и начальных условий. Из п. 5 следует, что точность схемы зависит от порядка аппроксимации на решении исходной задачи не только уравнения, но и дополнительных условий (краевых и начальных).
В етом пункте мы рассмотрим ряд примеров повышения порядка аппроксимации краевых и началг,ных условий 'без увеличения шаблона. Пример 1. Третья краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: еги —, — уи = — 1(х), д = сопз1, 0(х(12 еи' — = Ои (О) — рд, и (1) = р . еи (0) $ ь АПЦРаксимация диФФИРенциАльных опеРАтоРов 35 Выбрав равномерную сетку в, (х,=й, 0~(<Л), запишем ревностное уравнение в виде у яу= т (40) где )(х,), если )(х) — непрерывная функция.
Р раевое условие при х 1 удовлетворяется точно: У(1) = У» Иа. (41) Первую производную и'(0) заменим правой равностной производной у,е (у| — у~)/Ь и краевое условие при х 0 напишем в виде Уа в ауе — (А~ или ЬУ '=® (Ао (42) причем оператор (з определен на двухточечном шаблоне (О, Ь). Подставляя сюда у э+и, где и — решение задачи (29), получвм для погрешности з условие з,, ах,-то где т~ — погрепшость аппроксимации для краевого условии на решении, равная т~ )4+ и... — аи.. Разлагая и(х) в окрестности увла х О по формуле Тейлора иг = ие + Ьие + з ию +0(Ь ), находим из,е из+ 0~5пе+ 0(Ь')' (43) т, (р, + и'(0) — аи(0)) + 0,5Ьи" (0) + 0(Ь1) 0,5Ьи (0) + 0(Ьз), так как )А,+и'(0)-аи(0) О.
Отсюда видно, что т~ 0(Ь). Подправим условие (42) так, чтобы порядок аппроксимации составлял 0(Ь'). Используем для атого тот факт, что и(х) есть решение исходной задачи (39). Выразим ив дифференциального уравнения и (0): и" (0) би(0) — ~(0). (44) Подставляя (44) в (43), получим и,, — 0,5Ь(ди(0) — ~(0)) и'(0) + 0(Ь*), (45) т. е. выражение в левой части (45) аппраксимирует производную й(х) в точке х 0 на решении уравнения и'" — ди со вторым порядном, Отсюда и ив (42) следует, что краевое условие У а ау — ро а а+ 0,5ЬУ, р, р, + 0,5Ь|(0) (40) имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (39). Зб гл.
11 ОснОВные понятия теОРии РАзноствых схем Отметим, что нам удалось повысить порядок аппроксимации, не увеличивая числа узлов сетки (шаблона), которые использовались для.аппроксимации краевого условия. Пример 2. Третьм краевая задача для уравнения тепеопроводности: дс = — с+У(х С), 0(х(1, 0(С~(Сь; и(х, 0) = и„(х), ди (О, с).
(47) = ои(0, С) — Р,(С), и(1, С) = Усе(С). На сетке сосо описанной в и. 1, напишем явную схему у, = у„-„+ ср, у(х, 0) = и,(х), у(1, с) = р,(с), (48) где ср = фс= У(хсс Сс). Эта схема имеет аппроксимацию 0(йс+ 1). Построим раэностную аппроксимацию того же порядка для крае= ваго условия при х О. Для этого рассмотрим и з — — —.' + — ~+0(йз). ди (О, С) Ь д и (О, С) Пользуясь уравнением теплопроводности при х = О, найдем дэи (О, С) ди (О, С) — У(0, С). Отсюда следует, что и (О, с) — — ( д — У(0, с)) = ' +0(йс)с т. е. выражение, стоящее слева, аппраксимирует производную ди/дх при х = 0 с точностью 0(йс). ди 1 и (О, С+т1 — 'и СО, С) Заменяя —. ~ раэностной производной ис,з-—- ! 'с получим разностное краевое условие при х = 0: у„,=0,5йу,,+оу,— ри р,=)сс+0,5ЛУ(0, П.
(49) Оно имеет аппроксимацию 0(Л'+т*) на решении задачи (47). В случае неявной схемы ус = у- 4- ф вместо (49) следует взять условие у.,-0,5йу,,+су,— усе ссс=)с,+0,5ЛУ(0, С). (50) П р и м е р 3. Гиперболическое' уравнение атарово порядка: — = — + У (х, с), 0 ( х ( 1, О < с (~ см дх и(0, С) = и,(С), и(1, С) = и,(С), и(х, 0) = из(х), —,' =и,(х). (51) 9 ь АппРОксимАция диФФеРенциАльных ОпеРАтОРОЕ я7 Очевидно, что при аппроксимации задачи (51) особое внимание следует обратить на запись в разностном виде начального условия для производной ди/дт. Пусть дана равномерная по х и ~ сетка юы с шагами Ь и т (см. и. 1).
Если мы воспользуемся простейшей аппроксимацией и,(х, 0) =й>(х), то погрешность аппроксимации будет величиной 0(т). Представим и>(у, 0) в виде и(х,ъ) — и(х,О) ди(х,с) т д и(х,с) х д~ 2 дс Обратимся теперь к исходному дифференциальному уравнению и найдем — "-ф-~-= "(*' ) +/(х, 0) =Ли (х)+/(х, 0), Ьи = — е, а~ дх' дх д и (х, О) Н ио(х) так как,' = е„. Отсюда следует, что дх Нх ис(х, О) — 0,5т(йи +/(х, О)) = ' +0(т'). Поэтому разностное начальное условие у,(х, 0) й,(х), где й,(х) = й,(х) + 0,5т(Би, + /(х, 0)), аппраксимирует на решении задачи (41) условие ди(х, О)/дг = й,(х) со вторым порядком по т. Условие и(х, 0) и,(х) и краевые условия в данном случае аппроксимируются точно.
В качестве разностной аппроксимации уравнения можно взять, например, одну из схем, рассмотрен- ных в п. 2. Из предыдущего изложения следует, что при повышении порядка аппроксимации краевых и начальных условий мы ис- пользовали существование и непрерывность производных, входя- щих в уравнение, на границе области (прн х 0 или г 0), а также существование и ограниченность третьих производных решения. Пример 4.
Трехслойная раеностная схема для ураенения теплопроеодноети. Рассмотрим первую краевую задачу — — + /(х, й)> 0(х(1, 0(Г~ (1е, и(х, 0) = и,(х), и(0, г) = и,(Г), и(1, й) = и,(Г). (52) Для решения уравнения теплопроводности (52) часто применяются так называемые трехслойные схемы, использующие значения сеточной функции у'-'(х), у'(х), у'+>(х) на трех временных слоях Ге >, с„$,+>. 33 гл. и. ОснОВные пОнятия теОРии РьзнОстных схем Например, трехслойная симметричная схема на равномерной сетке олл* с шагами Ь и т выглядит следующим образом: РЗ+1 РЛ-1 = Л(оу'+'+ (1 — 2О)у'+ау' ') + ~р', о о о л у; = и,(х;), у, = ил, уп = им где ЛУ = У„-, Π— вещественный паРаметР, ~Р'=)(хь ~л). Так как центральная разностная производная по Т аппроксиди! д'и о мирует — ~ со вторым порядком по т, а Ли = —, + 0(Ь ), до (о=О ди то схема (53) аппраксимирует уравнение (52) с 0(Ь'+ т').
Нетрудно, однако, заметить, что задача (53) недоопределена. Для применения трехслойной схемы требуется задать еще одно начальное условие, например, задать у(х, ~) на первом слое. Естественно потребовать, чтобы введение этого условия сохраняло аппроксимацию 0(т'+ Ьо). Можно указать два,способа задания у(х, т). Первый способ состоит в том, что мы делаем первый шаг по двухслойной схеме „л,„о — — Л(у +у)+ср обеспечивающей определение у(х, т) с точностью 0(т'+ Ьл). Второй способ состоит в том, что мы ищем значение у(х, т) в виде у(х, т) = и,(х)+ т)л(х) н подбираем )л так, чтобы погрешность у(х, т) — и(х, т) пе превосходила 0(т'+ Ьл).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
