А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(57) Если У,=О, у»=0, то первая формула Грина принимает вид (у, Ли) = — (аЧи, Чу) — (ди, у) (58) и, в частности, при и у (у, Лу) = — (ачу, Чу) — (»1, у'). Вторая формула Грина имеет вид (Лу, и)'= (у, Ли), (59) (60) если у, и удовлетворяют однородным граничным условиям у»=у»=0, и,=и»-0. 14.
Пространства сеточных фувнщай. Развоствые операторы. Рассмотрим множество функций у< УП), ааданных на сетке е» П = О, 1, 2, ..., )Ч), т. е. для значений 1 = О, 1, ..., Ж, Вве- В частном случае а, 1, А = О, т. е. при Лу» = Ь чу» = Л'у<, рааностная формула Грина.(57) упрощается: (у, Л Чи) = (и, Л Чу) + (у Чи — ичу)» — (УЛи — иЬУ)» = (и, Л Чу) + и»у» — У»и»- + и»у У<и». $ е РАзностные уРАВнения 55 дем на этом множестве скалярное произведение (у, Р) = ~'., У»у» » а и норму »у» = У(у.у). Полученное линейное пространство сеточ- ных функций обозначим Ия+. Это евклидово пространство со скалярным проиаведением (у, у) и нормой !!у!! = »(у, у), Напомним некоторые сведения из линейной алгебры е).
Пусть А — некоторый оператор, заданный в евклидовом пространстве Н. Это значит, что каждому вектору у»в Н ставится в соответствие некоторый вектор Ау «Н. Это коротко записывается так А: Н- Н. Областью определения оператора А является все про- странство Н, а область значений Н(А) принадлежит Н, Оператор А линеен, если А(у+у) =Ау+Ау для любых у, у«Н, А(СУ) САУ для любого у «Н, где С вЂ” произвольное число, иными словами, А(С,У+ С,у) ° С,АУ+ С,АУ для любых у, у«Н, где С, и С,— произвольные числа.
Оператор Ае называется сопряженным к оператору. А, если .(Аи, Р) (и, Ае»у) для любых и, Р«Н. Если Аз=А, то А называется самосопряженным оператором. Оператор А положитвлен, если (Аи, и) ) 0 для любого и»и Н, ичьО. Мы будем рассматривать линейные разностные операторы, за- данные в пространстве И„+, —— Н сеточных функций. Простейший разностный оператор Л У,-ЛУ,-У„,-У, задан для любых сеточных функций у»в Ие+» (область определе- ния л!)(Л+) оператора Л+ — пространство Ик+») и ставит им в со- ответствие функции с Л+у, определенные при $-0, 1, 2, ... ... Н- 1 (область значений Н(Л+) оператора' Л+ — подпростран- ство Ий состоящее из сеточных функций Р», заданных при 0~ <» < Н). Оператор Л У» Уу»=у»-У»- задан для у»«Ик+» и имеет областью значений подпространство Ил, состоящее из сеточных функций, заданных при 1= 1, 2, ...
..., Ф. Таким образом, оба оператора Л+, Л: И~+» — И». Разностный оператор второго порядка е Лу» Ь Ру» = у»+, — 2у»+ у», задан на Ик+» и имеет областью значений пространство Ие-», состоящее из сеточных функций у», заданных при $ 1, 2, ... «) См. также Донояквкке, $1. гл. г. ш дцвагитвльньп сввдвния ..., Л(-1. Таким образом, Л: И»+,— И»,. Аналогичным свой- ством обладает разностный оператор Лу» = Л (а< чу») — »(<ул Мы будем в дальненшем пользоваться пространством сеточ- ных функций, заданных при»=О, 1, 2, ...; Л( и равных ну»)ю при 1 О, 3=У: у, О, у»=О. Обозначим зто пространство чео о рез И И»+,. о Указанный выше оператор ЛУ,=Лгу» преобразует любую о функцию иа пространства И»+, в функцию нз пространства И», функций, ааданных при 1 ° 1, 2, ..., Ж вЂ” 1. Рассмотрим оператор о а о а о Л, который совпадает с оператором Л в И „так что ЛУ Лу о при у <и И»о», т.
е. о Лу,=у,+, — 2У,+у,, при 1<»(Ж вЂ” 1, о о Лу» — у» — 2У«йу»-< = — 2ул.-<+ ул-». о Отсюда видно, что оператор Л отображает пространство И», на себя, т. е. о Лу»нИ» „если ужИ»,. В дальнейшем мы будем рассматривать операторы о Ау= — Лу, А: И вЂ” Н, где В=И»-». а В И»+, скалярное произведение определяется формулой я-1 (у<'в) = Х у»о». »-1 Вторая формула Грина (60) (Лу, и) = (у, Ли) для любых у, »<ы Йя+г выражает самосопряженность оператора Лу< = Л (е, чу,) — »(,у», т. е. Л» =Л. 1Ь. Условие самосопряжеиности ревностного оператора второго порядка.
Рассмотрим рааностный оператор второго порядка (трехточечный оператор) Лу< — — В,у,+,— С<у,+А,у... 1=1, 2, ..., Л< — 1, о где у»в И»+„то е. у. = О, у» = О. Покажем; что необходимым и достаточным условием самосопряженности разностного оператора (61) является равенство В< А+», 1=1, 2, ...,)'т'-2. (62) 3 х РАЗностные уРАВнения Представим Лу, в виде суммы Лу = Л,у+ Л,у, где Л,у< — А +,(у»+, — у,) — А,(у< — у»,) — Р<у, = Л(А»ту») — Р,уь Р, С, — А, — А, „Л,у, (В< — А,,)у,+,. а Оператор Л, в силу (60) самосопряжен в пространстве 1<»<+<.' о (Л,у, и) =(у, Л,и) для любых у, и<ей»<+<.
Поэтому можно написать (Лу, и) — (у, ЛР) = (Лзу, и) — (у, Л<Р) = А<-1 = ~ (В< — А»+1) (у<+<и< — у»Р»+1). (63) Отсюда видно, что если о (Лу, и) =(у, ЛР) для любых у, и»нОп+<, (64) т. е. оператор Л самосопряжен, то методом конечных разностей, как будет показано в гл. 1П, мы приходим к разностному уравнению Лу» = — ф», где у,=у(х), ф»=ф(х»), х<=й, Ь=1/<Ч, а оператор Л имеет вид 1 Лу< = -Ч [а»+1 (у»+1 — у;) — а; (у< — у<,) [ — <(<у< = ь 1 = — Л (а<Чу<) — »[<у». ь' (67) и-1 ~ (В< А<+,) (у<+<и< — у»а»+1) = О.
(65) < 1 В силу произвольности у и и можно ваять у» б<,»„+м и<=,б«,, где 1,— любой фиксированный узел 1,=1, 2, ..., )Ч вЂ” 2, а б<,а 0 при 1«ь й, б»» 1. Тогда получим у<+,и< — у««+1= б»,<еи условие (65) даетВ<е —— А<+1, т. е. условие (62) необходимо для самосопряженности оператора Л. Достаточность этого условия очевидна, так как из (63) следует (64) при В» = А<+<. В п.
10 было показано, что оператор (61) с коэффициентами А, зь О, В<вь О всегда может быть преобразован к самосопряженному виду Лу< = а»+ (у<+< — у<) — а<(у< — у,,) — »«у< = Л(а» Уу») — »1»у< (66) <-1 я умножением на число 1)< = 2)1П вЂ”. АА+ ' При решении краевых задач для уравнения »< «<а< — ~Ус(х) — ) — у(х) и = — ~(х), 0(х<1„ 58 ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Этот оператор можно получить из (66) после формальной замены а, на а1/Ь'. Здесь Ь вЂ” шаг сетки на отрезке О ~ х< 1, состоящей из узлов х<~ й, 1 О, 1, ..., Н, делящих отрезок О<к~1 на Л1 равных частей.
о Скалярное произведение в пространстве ьо»+, вводится по формуле Я-1 (У, )=Я У1Ф. (68) Все выводы, полученнйе ранее для оператора (66), сохраняют силу и для оператора (67), если учесть (68) и всюду заменить а; на ао/Йо. Таким образом, оператор (67) самосопряжен в пространо стве Я»+,.
После того как установлена самосопряженность разностного о оператора Л в пространстве сеточных функций й»+, =Н, можно пользоваться общей теорией для линейных самосопряженных операторов в конечномерном евклидовом пространстве Н. 16. Задача на собственные значения для самосонряженного оператора в конечномериом пространстве. Напомним некоторые сведения из линейной алгебры. Пусть даны конечномерное евклидово пространство Н размерности Н со скалярным произведением (,) и нормой !!уб У(у, у) и линейный оператор А: Н - Н, действуювшй из Н в Н. Предположим, что оператор А самосопряжен и положителен: А = А» > > О, т.
е. (Ау, Р) = (у, Аи) для любых у, иж Н, (Ау, у) >О для любого ужН. Рассмотрим задачу о собственных значениях оператора А: требуется найти такие значения параметра Л (собственные значения), при которых однородное уравнение А$ Л$ имеет нетрпвиальные решения (собственные векторы) $ Ф О. Из линейной алгебры известно, что зто уравнение имеет Н собственных значений Л„Л„..., Л», которым соответствует Ф линейно независимых векторов 5„$„..., $». Все собственные значения оператора А =Аз > О положительны: Л„> О для всех й = 1, 2, ..., )У.
В самом деле, из уравнения А$о Лози 1Ц) ФО, следует, что (А$„$,) Л„($„, $,). Так как по условию А >О, то (АЕо, Зо)>Он Л =('41'5»)>О 1$»)~ Собственные векторы $„и $, соответствующие равным собственным значениям Ло и Л ФЛА, ортогональны: (Ео, $ ) О при Ло чь Х~. 2 2, РАзностные уРАВнений 59 Для доказательства рассмотрим уравпепия ' Аьл=ЛД„Аф =Л $„.
Вкалярно умпожим первое нз них па $.„а второе па $1 и вычтем нз полученного первого равенства второе равенство: (А$„$ ) — (А$, з,) =(Лл — Л )($4, $„). Так как оператор А самосопряжен, то (Айьлв йьвл) = Йлв Авйв ) = (Аль лв йьл)в (Лл Л )(йьлв йьвл) = Ов откуда при ЛлчьЛ„Н следует ($1, $ ) =О. Если собственному значению Л, соответствует пе один собст- венный вектор, а несколько линейно независимых векторов $41,$41,..., $4„(г — кратность собственного аначения Л„), то мож- но иа их основе построить (методом Шмидта) г ортогональных Н ИОРМИРОВаННЫХ ВЕКТОРОВ айлв Ь»„в Ьй,: (1, а =(3, ($4,„в $42) = дав яа = ~0 Перенумеруем, как это принято делать, собственные значения в порядке возрастания их величины О<Лв(З <... (Л <...<Л„ (69) к поставим каждому из них в соответствие собственный вектор $1, $1, ", $4, ..., $ .
Зиаи раВЕНСтВа В' (69) ОЗНаЧавт КратНОСтЬ собственного значения, которое повторяется в (69) столько раз, какова его кратность. В результате получается система ортонор- мированных собственных векторов, так что ($лв $„) = бл, ~в Рассмотрим теперь произвольный вектор )'лв Н и разложим его по собственным векторам: И ~ = ~ айзйв ай = (1 $4). (70) Д 1 Чтобы найти ал, умножаем (70) скалярно на $4 . 4В и (),$дв) = ~ ад(З4,$4) = Х адбдй = ад. й-1 4=1 М Покажем, что имеет место равенство(7)2= Х ад В самом й-1 деле, Щй=(~,7)= ~~.", аййдй, ~ адвйЬд~ = .вР 'ийад (йзд,дейв)= ДА=1 Д 1 7 д,й'=1 к И адад.бдд = ~~.", айд й,д'=1 4-1 В дальнейшем мы познакомимся с задачей на собственные значения для разностного оператора. Глава И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В втой главе ва лростейшзх примерах веясзяются освоение понятия теоувв развостзых схем: авпревсвмацвя, устойчивость, сходвместь, л дается вредставлевве о вевоторых методах лсследоваввя устойчивости и сходимости, таких вак метод рааделеввя переменных, метод звергетлчесввх неравевств.
В $ 4 дается трактовка раввоствыв уразвеввй как операторных ураввелвй в абстрактном лростравсчзв. й 1. Разностиая аппроксимация простейших дифференциальных операторов Е Сетки и сеточные функции. Для того чтобы написать рааностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие два шага. $. Необходимо заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения. 2. Необходимо заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором, а также сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
