А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Разрывные коэффициенты, сосредоточенные источнвви. а) Разрывные коэффициенты. Входящие в дифференциальные уравнения коэффициенты й и с могут иметь разрывы первого рода. Так, разрыв коэффнцнепта теплолроводвости имеет место в случае, когда область б является неоднородной и состоит из нескольких частей с разными свойствами. Разрыв коэффициента й = й(х) в уравнениях (10) или (15) означает, что решение и и(х) имеет слабый разрыв, т.
е. функция и =и(х) непрерывна, а ее первые производные по х„х„..., х имеют разрывы первого рода. Поясним это на примере одномерного (по х) уравнения теплопроводности — = — (й(х, !) —,," ) +1(х, Х), 0(х(1. Пусть прв х $ функция 1с(х, 1) имеет разрыв первого рода, т. е. [й) - й(В+ О, г) — ٠— О, г) О. Тогда при х= 4 должны выполняться условия непрерывности ди температуры и(х, Г) в теплового потока й — (условия сопряжеппя [и[=0, ~)с ~~1=0, х=$, 8>0. ди Так кзк [)с! йь О, то отсюда следует, что производная — раэрыв- 5 Ь ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 27 Г ди ! ( ди! ез,~ —.~~Опри х = $.
Условне~й д 1= О непрерывности теплового потока может. быть получено из уравнения баланса на Отрезке $ — е < х< е+з, е >О: 6ве е+е $+е 12 — (х, () е(х =- й — ~ + ] ( (х, 1) дх. (17) $-е $-е $-е ![Ореходя в (17) к пределу при е 0 и учитывая ограниченность ди/д1 и 1, получим [йи'] = 0 прн х = Ч. В многомерном случае й может иметь разрыв на некоторой ш>верхности Г' = б. Тогда на ней должны быть выполнены условия сопряжения [и] = О, []й —,] = 0 при х ен Г', где и' — нормаль к Г'. Для стационарных задач (прн ди/дг = О) условия сопряжения сохраняют свой вид.
б) Сосредоточенный источник тепла. Решение уравнения теплопроводности имеет слабый разрыв и в том случае, когда в некоторой точке х = 3 помещен (сосредоточен) источник тепла мощности Ч, т, е. выделяется в единицу времени в единице объема количество тепла, равное у. Тогда при х = $ тепловой поток разрывен и величина его скачка равна (): [и]=0, ~й — 1= — Ч при х=$. (18) ди 1 дв ] Чтобы убедиться в этом, распределим источник е,) па отрезке $ — е < х < $+ з с плотностью Д,(х, Т), где /.
удовлетворяет условию нормировки: $+е (е(х, $) е[х = (~ пРи любОм 3) О. $ — е Можно, например, положить 1. = 9/(2е) при х еи [е — е, $+ е] и (. =0 вне этого отрезка. Напишем соответствующее уравнение дие д дие — = — '[й — „. ' ) + 1, (х, г) и проинтегрируем его по х от 4 — е до $ + е: $+в 5+в дие ди, — е[х=й — ~ +г,). де дв е-в е-е Переходя к пределу прн е — 0 и определяя решение исходной задачи как предел функции и,(х, д) при е — О, получим (18). гл.
ь пгкдвзгиткльныа сввдвния 28 Если источник тепла ч сосредоточен на границе х ° О, тс в этой точке ставится известное краевое условие второго рода. В многомерном случае, когда источник распределен на внутренней поверхности Г' ~ С с плотностью д, ставятся условия (и1 = О, ) >с д, ~ = — д при х сн Г'. в) Сосредоточенная тепло емкость. Пусть в точке х= з помещепа сосредоточенная теплоемкость величины С. Тогда в атой точке должны выполняться условия сопряжения (и) = О, С вЂ” = >)> — 1 при х = э.
ди ( ди1 д> ( д.с ) ((9~ Если теплоемкость С сосредоточена на границе х = О, то при х = 0 ставится краевое условие С вЂ” =й — при х=-О. д> дх (20) Вывод ((9) и (20) проводится по аналогии с выводом (1Я). Предоставляем читателю написать краевое условие при х = 0 в предположении, что в этой точке сосредоточена теплоемкость С и выделяется (в единицу времени) количество тепла, равное >,>. г) Сосредоточенная сила. Рассмотрим процесс колебаний неоднородной струны, описываемый уравнением (2() где р — плотность струны, й — катя>кение. Предположим, что э точке х=-$ приложена сила, равная г"..
Рассуждения, аналогичные тем, которые привели к (18), показывают, что в точке х = $ должны быть выполнены условия сопряжения ди 1 (и)=0 ~й — ~= — г, при х=$. — д. д) Сосредоточенная масса. Пусть в точке х=ф неоднородной струны помещен груз массы М. Тогда здесь ставятся условия сопряжения (и) = О, М вЂ” „" = ~й ~~ 1 при х =- ф д> Г ди > (ср.
с (>9)). При х чь $ пишется уравнение (2>). Если масса М находится на конце х = О, то при х = 0 ставится краевое условие де ди М вЂ” =й — при х=О. д>з да Во всех рассмотренных выше случаях производная ди/дх имеет при х $ разрыв первого рода (решение и = и(х, д) пмеет слабый разрыв). 5 х РАзностные уРАВнения 29 5 2. Разностиые уравнения 1. Предварительные замечания. Решение дифференциальных уравнений приблнженнымп методами приводит к системам линейных алгебраических уравнений Ап 1, где А = (ио) — квадратная матрица порядка )т', и = (и„им ... ..., Ну) — искомый вектор, 1 = (/о /,, ..., (у) — заданный вектор. Существует дза типа методов решения систем линейных алгебраических уравнений: а) прямые пли «точные» методы; б) итерационные методы или методы последовательных приближений. Общие методы решения систем линейных алгебраических уравнений (в основном, итерационные методы) будут рассмотрень1 в гл.
Х. Начнем с изучения простейших систем линейных алгебраических уравнений — с разностных уравнений, для которых матрица имеет специальный вид (например, является трехдиагопальной). Нужно отметить, что на практике приходится встречаться с скстомамп разностных уравнений очень высокого порядка. Разностные уравнения появляются, в частности, при аппроксимации дифференциальных уравнений математической физики.
Нрп этом приходится искать функции двух или трех переменных, заданных на сетке. т, е на дискретном множестве точек, число которых достигает десятков и даже сотен тысяч. Для определения сеточных функций получаются системы линейных алгебраических уравнений (разностных уравнений), для которых характерны два обстоятельства: 1) матрица А имеет специальный вид (имеет много нулевых элементов); 2) число уравнений очень велико (10' — 10'). В этом параграфе мы проведем изучение разностпых уравнений второ~о порядка независимо от дифференциальных уравнений, т. е.
от происхождения самих разностных уравнений. В частности, будет рассмотрен прямой метод решения краевых задач для раэностных уравяений второго порядка. 2. 11римеры разностных уравнений. Читателю уже приходилось встречаться с разностными уравнениями, не подозревая, быть может, о том, что они разностные, Зто, например, формулы а„э, = а„+ д или а„+, — 2аь + а„, = 0 для членов арифметической прогрессии и вью=да„— для членов геометрической прогрессии, где а„= а(й), причем аргумент й = 1, 2, 3,, принимает целочисленные значения.
Итак, рассмотрим функцию целочисленного аргумента у((), 1 = О, ~1, ~2,... Образуем в точке 1 разности: правую: Ьу~ = уН+ 1) — уВ), левую: Ву» = у(1) — у(1 — 1). гл. ь пгвдвавитвльныв сзндення ЗО Обычно обозначают у< у(<). Тогда Ьу<=у<+< — у<, Уу<= у<в — у<,. Эти выражения можно рассматривать как формальные аналоги первой производной. Рассмотрим вторую разность Да Ь(Д ) Ь( ) = (у<+а у<+<) (у<+< у<) = у<+< 2у<+<+ у<.
Заметим, что Ьу<, т<у<. В самом деле, выражения слева и справа равны у,— у,, Применение оператора левой разности эквивалентно применению оператора правой разности в точке, смещенной на единицу влево, так что Ьт<у< =.Ь'у<, = у<+, — 2У< + у«. Аналогично Ь' определяется Ь"у, = Ь(Ь 'у<). При каждом применении Ь захватывается еще одна точка вправо, следовательно, применяя оператор Ь т' раз, получим, что Ь"у, содержит значения у„у<+о ..., у,+ в точках <, <+ $, ... г+ т. Можно написать уравнение, содержащее разности различного порядка: а,д"у< + а,д" 'у, +...+ а Ьу<+ а у< = Л, где а„а„..., а — коэффициенты. Подставляя сюда выражение для разностей Ь'у<, й = т, 2, ..., т, получим а<у<+ +а,у«„<+...+а,у<+,+ а у< =)< Если коэффициенты а, ФО, а Ф О, то это уравнение называется равностным уравнениел< т-го порядка относительно у< — искомой функции целочисленного аргумента.
Опо содержит значения у<, у<+„..., У<+„. Это разпостное уравнение есть формальный аналог дифференциального уравнения т-го порядка: «~и Ви«и йи ао +а,—,+ ... +а,— „+а н=1, аз~О. Подобно тому, как коэффициенты дифференциального уравнения могут быть функциями от х, коэффициенты разностноге уравнения могут зависеть от й а — а П). Откуда появляются разностные уравнения? Существуют некоторые математические и технические задачи, которые непосредственно приводят к таким уравнениям, по 'главный их источник — разностные методы решения дифференциальных уравнений математической физики. Рассмотрим простейший пример обыкновенного дифференциального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
