А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Мы не останавливаемся на перечне условий, обеспечивающих требуемую гладкость решения. Предполагается, что читатель знаком с основами университетского курса теории уравнений в частпых производных (на- ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ пример, по книге А.'Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения математической физики»), точнее, с постановками типичных задач, а также с элементами функционального анализа (перечень некоторых сведений дан в Добавлении к книге). Коротко о содержании книги. Глава 1 является вводной. В 3 1 гл.
1 даны сведения справочного характера о типичных задачах математической фиаики, а в 3 2 научаются разностные уравнения, в основном второго порядка, и даны алгоритмы прогонки. Основные понятия теории рааностных схем, иллюстрируемые болыпим числом примеров, излагаются в гл. П.
Глава 111 посвящена теории однородных -консервативных разностных схел~ для краевых задач в случае обыкновенного дифференцпальпого уравнения второго порядка. Здесь демонстрируются рааличные методы исследования и построения разностных схем. Раеностная задача Дирихле для уравнения Пуассона, а также для эллиптических уравнений общего вида изучается в гл.
ГЧ. В главе Ч рассматриваются разностные схемы для уравнений теплопрозодиостп, колебаний струны, уравнения Шредингера и уравнений переноса; здесь изучаются только уравнения с постоянными козффш(иентами. В главе Ч1 излагается общая теория устойчивости двухслойных и трехслойпых операторко-разностных схем. Применение этой теории к однородным разносткым схемам для параболических и гиперболических уравнений 2-го порядка с переменнымн коэффициентами дано в гл. Ч|1.
Глава ЧП1 посвящена нелинейным задачам теплопроводпости и газовой динамики. Экономичные методы решения многомерных уравнений математической физики изложены в гл. 1Х, а в гл. Х даны методы решения сеточных' уравнений, получающихся, в частности, при аппроксимации зллиптических уравнений. По ходу изложения обращается внимание читателя на вопросы, касающиеся практического использования алгоритмов. При написании данной книги использовалась монография автора «Введение в теорию разностных схем». Переход от монографии к учебному пособию потребовал существенной переработки. В частности, за последние пять лет. появился ряд новых численных методов и теоретических работ, приведших к переоценке некоторых популярных методов.
Так, например, полностью переработан материал главы Х. В последние годы появилось много работ, посвященных методу конечных злементов (МКЭ) — одному из видов вариационноразностных методов. Его изложение громоздко, и'в книге дан пример вывода разностной схемы с помощью МКЭ для одномерной задачи (з 8 гл.
П1), причем схема совпадает с той, что получена интегро-интерполяционным методом. Подчеркнем, что МКЭ вЂ” зто только один из методов получения разностных схем, воаможно, нестандартного типа. ' ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Характер книги как учебного пособия вынудил отказаться от ебзора работ по отдельным разделам теории разностных схем и ограничиться краткими библиографическими сведениями в конце книги.
Отметим также, что в книге «Введение в теорию разностмых схем» дана подробная библиография вплоть до 1971' года. На основе материала книги можно построить лекционные курвы по теории разностных схем, рассчитанные на один, два или три ееместра. Отбор соответствующего материала не представляет труда. В частности, материал $ 2 гл. 11, частично гл. 1П, ЧП1 131,П.
1) и гл. Х (общая теория итерационных методов, модельный пример — трехточечная схема для уравнения и"(х) = -Дк), 0(х(1, и(0) п(1) =О) составил ббльшую часть содержания лекций по численным методам, прочитанных автором в весеннем семестре 1976 года для студентов 2-го курса факультета вычислительной математики н кибернетики Московского государственного университета. Данную книгу следует рассматривать как первую в цикле, И которому относятся также книги: Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разносгиых схем.— М., 1973. Самарский А.
А., Попов Ю. П. Раэностные схемы газовой динамики.— М., 1975. Самарский А. А., Андреев В. В. Разностные методы решения эллиптических уравнений.— М., 1976. По материалам, вошедшим в зту книгу, автор в 1960 — 1976 гг. читал в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова лекции для студентов физического, механико-математического факультетов и факультета вычислительной математики и кибернетики. Считаю своим приятным долгом выразить благодарность моему учителю Андрею Николаевичу Тихонову, многолетняя совместная работа с которым способствовала определению содернтаиия и характера изложения теории разностных схем.
При подготовке книги автор учел замечания В. Б. Андреева, А. В. Гулина, И. В. Фрязинова и др. Особенно большую помощь еказали автору А. В. Захаров при подготовке рукописи.к печати к К. С. Николаев — при работе над гл. Х. Всем им я выралтаю глубокую благодарность. Я благодарен также .В. М.
Марченко за помощь при оформлении рукописи, Р. А. Волковой и Д. А. Гольдиной за проведение методических расчетов. Москва, октябрь Звтб г. А, А. Самарский ВВЕДЕНИЕ Бурное развитие численных методов и становление новой науки — вычислительной математики — в последние два-три десятилетия связано с необходимостью решения крупных научнотехннчееких проблем и появлением быстродействующих электронно-вычислительных машин (ЭВМ или компьютеров). Достаточно укааать такие проблемы, как 1) овладение ядерной энергией, создание ядерных реакторов, 2) проектирование летательных аппаратов (самолетов и ракет), 3) динамика космических полетов, 4) изучение' физики плазмы в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза и др.
Решение этих задач было бы невозможно без применения численных методов. Успехи в области вычислительной математики и ее приложений способствовали повышению интереса к математике вообще и привели к созданию новых ее разделов. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование,— вычислительный эксперимент, т. е. исследование реальных процессов средствами вычислительнои математики. В чем заключается вычислительный эксперимент (ВЭ)? (См.: Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.— Вестник АН СССР, 1979, гй 5, с.
38 — 49.) Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Будем исследовать его методом ВЭ. Первый этап — математическая формулировка задачи нли выбор математической модели. Этому предшествует выбор физического приближения, т. е. того, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. Это — привилегия физиков.
Что такое математическая модель) Указываются группа искомых физических величин и группа ааданных величин: между ними есть связь, т. е. уравнения (алгебраическпе или дифференциальные), написание которых вместе со всей необходимой информацией (о коэффициентах уравнений, о начальных и краевых условиях) и есть выбор математической модели. Изучением математических моделей физики занимается математическая физика.
Уравнениями математической физики, в основном, являются дифференциальные уравнения с частными производными, а также интегральные и интегро-дифференциальные уравнения. Эти уравнения обычно выражают законы сохранения основных физических величин (энергии, количества движения, массы и др.) и, как правило, являются нелинейными.
(О вввдвнин После того как написана система уравнений, описывающих процесс, надо исследовать полученную математическую модель методами общей теории дифференциальных и интегральных уравнений. Надо установить, правильно ли поставлена задача, .хватает ли данных, не противорзчат ли они друг другу, найти условия, при которых задача разрешима и имеет единственное решение, выяснить, нельзя ли написать решение задачи в явном виде, можно ли построить частные решения. Частные решения важны для получения первичной информации о характере физического процесса, а также как тесты для проверки качества численных методов.
Второй этап — построение приближенного (численного) метода решения задачи, написание вычислительного алгоритма. Третий этап — программирование для ЭВМ вычислительного ° алгоритма. Четвертый этап — проведение расчетов на ЭВМ. Пятый зхап — аналиа полученных численных результатов и уточнение математической модели.
Может оказаться, что математическая модель слишком груба— результат вычислений не согласуется с физическим экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение 'с достаточной точностью можно получить при более простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого зтапа и снова пройти все этапы и т. д. Здесь покаааны этапы вычислительного эксперимента прн теоретическом исследовании фианческих задач. Речь идет о новом методе теоретического исследования с испольаованием сложных математических моделей.
На первом этапе испольауются классические методы математической физики. Следует отметить, что многие аадачи приводят к таким математическим моделям фиаики, разработка теории которых находится в начальной стадии. На практике приходится численно решать такие нелинейные аадачи математической физики, для которых еще не докаааны даже теоремы существования и единственности. Здесь мы остановимся лишь на втором этапе вычислительного эксперимента. Под вычислительным алгоритмом обычно понимают последовательность операций (логических и арифметических), при помощи которых находится решение задачи. Требуется, чтобы вычислительный алгоритм давал решение аадачи с любой степенью точности е) О аа конечное число действий ()(з).
Это общее требование. Но уже оно вызывает много вопросов математического характера. Что значит: зс любой точностьюэ? Должна 'быть показана принпипиальная возможность получить решение с любой точностью, однако воаможен случай, когда фе) при некотором е конечно, но настолько велико, что нереально на практике получить решение с такой точностью е. Для любой ВВЕДЕНИЕ задачи можно построить бесчисленное множество вычислительных алгоритмов, которые обладают, например, одинаковыми асимптотическими свойствами, так что для них фе) имеет один к тот же порядок по е при е- О. Изучать надо не все такие методы, а лишь те из них, которые пригодны для работы на ЭВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
