А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для решения задачи (25) с ковЯЯициентами, удовлетворяю«цики условиян (22), и кривой частью т«Рерь $ г, 2, ..., У вЂ” х, справедлива оценка Ь1)о ~ ))«р))о. (3$) Для доказательства теоремы аапишем уравнение (2$) в виде С,у,=А,у,,-+В,у„, +Рь (27) Пусть !у«! достигает наибольшего значенва)у«о!) 0 при 0<«;<У, так что!у«о)>!у«! при любом «О, 1, 2, ..., № Тогда из уравнения (27) прн «,'= «о следует ! ~«еУ«о! = !С«о!!У«о! = ! А«о"«о «+ В«о"«о+«+ Р«о!(!А«о!!Уо-3 !+ +! ~«о!!У«о+«1+!Р«о!((!А«о!+1~«о!)!М+!Р~!. Отсюда находим (!с,,! — !А,,! — !в,,!)!у,,!= в,,!у,,!(!Р,,! и, следовательно, «р !у«! = шах )у«)(=о (— о<«<к Р «о с что и требовалось доказать, Рассмотрим задачу (25) с коэффициентами, удовлетворяющи- ми условиям (22): А,> О, В«>0, Р« — — С вЂ” А« — В«в.О при 0< «<№ Если условие Р > 0 не выполнено, то для оценки решения у< о атой задачи можно представить его в виде суммы у, у«+и«, о где у« удовлетворяет уравнению о о о о о о В,(Уив — У«) — А«(У, — У,,) — )т«, 0 < «< К, У, У„О.
(28) Тогда для и«получаем задачу о- Я(и,! = В,и«о, — С«и, + А,и,, -Р«у,, (29) и,-и„«-0, О<)<№ решение которой удовлетворяет неравенству !и1с= шах )и«(~(1у)!с. о<«(к 3 2. РАзностные уРАВнения Доказательство. Если Р,=О при всех «=1, 2, ..., М вЂ” 1, то в силу следствия 2 из теоремы 1 у, = О, и оценка (31) очевидна. Предположим теперь, что Р; > 0 хотя бы в одной точке.
Построим функцию У, > О, являющуюся решением задачи )2(У,) =-Р,)ф,~, У,=У.=О. (32) Согласно теореме 2 !1у1о <1Л„так что нам остается оценить решение задачи (32). Пусть в точке « = «, достигается максимум функвии У». Тогда В«о(У«о+« — У«о) <О, А, (У«У, ) ) О и из (32) получаем Р,,У,,<Р,,(ф;,! <Р,,(ф(с. Если Р«, ) О,то отсюда следует искомая оценка ()У1о оо 1ф»~о. Если же Р», = О, то из (32) получим «о ( «о+««о) «о ( «о «о «)' Так как У«) У«,, и У«,)~ У«,+„то отсюда следует равенство «о+««о «о «' т. е.
то же самое максимальное значение достигается н в соседних с «о точках. Взяв « = «, = «, + 1 (или й = «, — 1), повторяем предыдущее рассуждение н получаем неравенство Р««У««< Р««!1 ф»«с. откуда снова с~сдует либо неравенство (33), либо. равенство 1 «,+« = 1 «, « =- У»,. Так как Р,че О, то при некотором « = «, получим Р« )О и неравенство (33). Теорема 4. Для решения у, задачи (25) с коэффициентами (22) справедлива оценка 1У'(с(21У (с, (34) о еде у — решение задами (28). о Докааательство. Разность и,=у,— у», как показано вью ше, является решением задачи (29) с правой частью Р,=Р,у». Пользуясь оценкой (30), которая следует из леммы при «р,= у», о о и учитывая неравенство 1у»»о = )»у+ и((о (»)у««о+ Мо, получаем оценку (34), Гл. ь пгцдвлгнтзльныи сввдвния Эта теорема позволяет свести оценку решения общей задачи о (25) к оценке решения у, более простого уравнения (28); функ»- ция у1 может быть найдена в явном виде.
9. Принцип максимума для краевой задачи третьего рода. Принцип максимума и все его следствия справедливы для общей краевой задачи (б), (8'), которую можно формально записать в виде ЫУ~) — Рь 1=0, 1, 2, ..., Л, (21') где Ы(у,) =-у,+х,у„у,=рь Ы(у») = — у»+х,у» ь Е»=)г„ так что С, 1, А, О, В,=х„С» 1, А» х„В»=0.
Теорема 1 (принцип максимума). Пусть выполнены условия А,«0, В,>0, С,~А,+Вь 1=1, 2,..., Ж вЂ” 1, (22') 0<х,<1, 0<х,<1, 0<х,+х,<2. Тогда из условий Я(у~) «О (Ы'(уД «0), 1=0, 1, 2, ..., У, где у,ьлсопзд следует, что у, не может принимать наибольше- го положительного (наименьшего отрицательного) значения ни в одном узле ( = О, 1, 2, ..., )т', т. е. у, < 0 (у, « 0). Доказательство теоремы 1 аналогично доказательству теоре- мы 1 п.
8; следует лишь дополнительно рассмотреть два случая: а) (,=О, т. е. шаху~=у,=М,«0 и у, <М„тогда з У(у,) =-у.+х,у, -(1 — х,)у,— х,(у,— у,)<0 при 0<х,~1; б) (г )т', т. е. шаху~=у, =М,«0, а у»,<М„тогда У(у») -у»+ х,у, =-(1 — х,)у» — х,(у» — у»,) <О, если 0<хе<1. В обоих случаях мы приходим к противоречию с условием 2'[у~) >0 для всех 1 О, 1, 2, ..., У.
Отсюда следует, что у,<0, так как если бы у, «О хотя бы в одной точке 1= (г, то функция у~ имела бы в какой-либо точке ( Ц (например,(г = 3„) наибольшее положительное аначение, что невозможно. Следствие 2а. Если выполнены условия (22'), то задача ЫЧу<) О, 1 О, 1, ..., У, и.яеет только тривиальное решение.
Не представляет труда переформулировать остальные утверждения предыдущего пункта; на этом мы не будем останавливаться. 10. Оценка решения разностной краевой задачи при помощи формул прогонки. Разностное уравнение (21) имеет трехдиагональную матрицу (У-1)-го порядка в случае первой краевой а х гааностныв тглвнвния 45 аадачи — с, я, о ... о А, — С и, ...
О о о О о О О О .. А»-< — С»<-д В»»-< О О О ... О Ал — Ся д Эта матрица симметрична при В, = А<+,. (35) В,у»+, — С<у»'+ А,у<, = — г»» у, (д„у» = р„ А,ФО, В<чь О, (=1, 2, ..., У вЂ” 1. 136) можно привести к саиосопряженному виду Лу, = а<+,(у<+, — у») — а»(у< — у,) — А»у« = — рь д = 1, 2, ..., Л»' — 1. В самом деле, умножим уравнение (36) на функцию д)<чьО и потребуем, чтобы А<д)» а,, В»т)» = а,+,. Отсюда следует, что Ад+<<)<+» В»д)» = а»+„т.
е. ч<+ = — „ч =ч.П-у —, <+< '. . .+, где д)< — лроиввольная постоянная. В реаультате получим уравнение Лу» = — <р< с правой частью <р» = д)»»<и а< = А»д)<, <1< = (С» — А, — В,) <1< с, — а, — а,+„с» С«)». Польауясь формулами прогонки, можно получить оценку ~(у()с для аадачи Лу = а,у», — с,у, + а,+,у«.„— р„ д 1, 2,..., У вЂ” 1, у<=О, у»=О. Справедлива оценка Ф-д < (37) ЬПс( ~~~ — — — Г ~~~! <рь! (38) Раеностные уравнения с симметричной матрицей встречаются при численном решении краевых аадач для самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка.
Ниже (см. п. 15) будет покавано, что равенство В< А»+, необходимо и достаточно для самосопряженности оператора 2Чу»). Заметим, что любое рааностное уравнение гл. 1. НгедвлРительные сВедения если выполнены условия )а<! >О, !с,! ~ )а,)+ )а<+,!. (39) Чтобы получить (38), рассмотрим формулы правой прогонки: у» = а<» 1у»+1+ р»+1, 1 = О, 1 ° °, <'в' — 1, уп = О, »+1 а»+» = —, с» — и<а» ' аА+ <р» !)<+ =, а»»» 1=1,2,...,Х вЂ” 1, с»,=0, (40) » = 1, 2, ..., У вЂ” 1, !)1 = О. Так как !а,+,! ( 1 при условиях (39), то из (40) следует )у,! с )а,+,))у,+,)+ !!)<+,! ()у+,)+ !!)+,), откуда для 1()в' получаем ! у< ! ( ~~~~ ! 81 ), уп = О, О <» < Ж вЂ” 1.
-1-»+1 Вводя обозначение (, = а»()„находим у<+1 — — а<+1 (у» +»р»), »» < )У<+1!(!У»)+!<Р»!()У1!+ Х (Ь(= Х (Ь! (41) то для решения задачи Лу»= — »р<, 1 1, 2, ° ., )Р— 1, рв=)»», уа=)»в (43) выполняется неравенство П-1 » (у!!С<~шах(!)»1!,)р !)+,)'„,» !"»ра! ! <+1! ь-1 В самом деле, представим решение задачи (43) в виде суммы «=у<+и<, где и< — решение задачи (3<). Учитывая затем (38), 42) и неравенство )у,! < )у<! + (Р»), получаем искомую оценку. и, следовательно, »-1 !р<!» — ~~ ~(<рз!, 4= 2,3,,)в', 81*= О.
!'! Отсюда и иа (41) получаем (38). Так как для решения задачи ЛД< О, 1 1, 2, ° °, Ж-1, у»=)»<, уа )»в при а» ) О, с< ~ а<+ а<+» верна оценка (см. следствие 3 в и. 8) бура < шах ()р',), !)»,!), (42) $2. РАзностные уРАВнения 11. Ревностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В случае, когда коэффициенты разности ого уравнения )2 (у,) -.4,у,,-с,у,+В,у„,=О (44) не зависят от <, так что А< = а, С< = с, В, = Ь для всех < = 1, 2, ..., то решение уравнения Ьут,— су,+ау<,=0, ЬчьО, аФО, может быть найдено в явном виде.
Пусть (<)<) и у)« — два решения разностного уравнения (44). Они линейно независимы, если равенство С<у<и+Сту~<~~ =О, < = 0,1,2,..., возможно только при С, =С, =О. Это эквивалентно требованию, чтобы определитель системы С,у)п+ С<у1ю = О< С<уфе, + С<уф„= О, в<= 1„2, ...< был отличен от нуля: 1 Р<<' Р<д' Ь,.„=~ „',', ~О для всех <, в<. В частности, условие 1Р<+, и~~<~ ~ АР< АР1' аналогично условию ! "," "," ~~о й (х)а (.)( линейной независимости решений й(х) и й(х) дифференциального уравнения второго порядка. Исключая с помощью уравнения (44) у«а, уц.м находим н) ы< Ь<, +, = — '(В у1+<уР' — В уФ< уР) = — ф(уР у1*-).
— й'-'уР')< < < л< т. е. Ь«,.~~ — — — -Ь<,< и Отсюда видно, что иэ условия Ь<,< о<чьО < « < для какого-либо <= <, следует, что Ь«+<чьО для всех допустимых <. Пользуясь уравнением х(у<) = О, можно показать, что Ь«, + при любом в<) 1 выражается через Ь, <+, и, следовательно, иэ условия Ь«,+< чь 0 следует Ь«,+ те О. 48 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
