А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Отсюда следует, что с:», аппраксимирует А. со вторым порядком по х и с первым порядком по с в любой из норм (30) и (31), ~ к-1 '» '/» где !!»(с!!л = шах)ср! либо !!»Р!!л = ~ Х»р,'Ь) и т. д. Таким образа»»л 1-1 зом, в этом случае из локальной аппроксимации следует аппрок- симация на сетке. 73 Гл. 11.
ОснОвныв понятия твоРии РАзностВНХ схим До сих пор мы рассматривали погрешность разностной ап- проксимации на функциях о, принадлежащих некоторому классу Р. В частности, в наших пршверах в качестве У выбирался класс достаточно гладких функций. Пусть теперь о является решением некоторого дифференци- ального уравнения: о и; например, Еи и" В качестве разностной аппроксимации оператора Ло о" вы- беремЬАУ = о-„,. Вьппе было. показано, что на равномерной сетке Ь, = "+,— ", "'+,-" "'( +Ей), — (~0<1.
Подставим сюда о=и, и" = — ), иоо = — )» и предположим, что 1'» =О, а следовательно, и (и' 0 для )в~2. Тогда Ь»и=и" = = Ли, т. е. погрешность аппроксимации в классе решений урав- нения Ьи= — ), где (' — линейная функция, тождественно равна нулю, 1р=О. В этом случае говорят, что аппроксимация точная.
Если же )» чь О, то разностный оператор можно подправить, вводя оператор . ь' 12 и для этого оператора имеем1р Х»и — Ли=0(й'). Таким образом, рассмотрение погрешности разностной аппроксимации на решении дифференциального уравнения может использоваться для повышения порядка аппроксимации. 4.
Постановка разностной задачи. До сих пор мы занимались приближенной заменой дифференциальных операторов разностными. Однако задачи математической физики помимо дифференциального уравнения включают и дополнительные условия— краевые и начальные, которые обеспечивают выделение единственного решения из всей совокупности возможных решений. Поэтому при формулировке разностной задачи, помимо аппроксимации дифференциального уравнения, необходимо эффек= тивно описывать в разностном виде эти дополнительные условия. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия (краевые и начальные), называют рааностной схемой. Сначала проиллюстрируем сказанное на примерах. П р и м е р 1.
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения: и' ((х), х)0, и(0)=и,. (32) Выберем простейшую равномерную сетку в»=(х~=(й, '1 г, 2,;. ) и поставим в соответствие задаче (32) раэностную задачу: У» = % У1+1 — У1 или ' =<ро 1=0,1,...; у =и,. ув = ив ь з 1. АппРОксимАцея днФФеРенциАльных ОпеРАтОРОВ 79 При этом правую часть ф, можно задавать различными способами, например,. »р» = ~(х»), »р» = 0,5Ц(х») + ((х»+») ), лишь бы выполнялось условие»р, — ~с= 0(Ь).
Для нахождения решения получаем рекуррентную формулу у»+, = у»+ Ь»р„с О, 1, 2, ..., где у, = и,. Приме.р 2. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка: — "+Аи=О, С)0, и(0)=и„ где А — квадратная матрица и Х и, А (а„), и = (и„и„..., и )— вектор размерности и.
ВвеДем сеткУ Ф,=(С»=Ут, ) =О, 1, 2, . ) с шагом т и напишем разностную схему Эйлера С+1 +Ау'=О, 1=0,1,2, ..., у'=(у'„уг, ...,уи). Разностная задача поставлена, если при 1=0 задано начальное условие для вектора у'с у» и,. Значение у'+' вычисляется последовательно по явной формуле у'+' у» — ТА у'. П р и м е р 3. Краевая задача: и" (х) = — У(х), 0 ( х < 1, и(0) = )»„и(1) = (сс. (ЗЗ) Выберем опять равномерную сетку в,=(х»=(Ь, ~ О, 1, ..., )т', ЬЬ»=1).
Ьи= — — — =»с(х»») 0(х(1 0(С(гг ди да дс дхг и(О,с) =р,(С), и(1, Ю) = )сг(с), и(х, 0) = иг(х). Выбрав равномерную сетку Ф»»=((х»=»Ь» С»=Ут), 1=0, 1, ..., У»» У=О, 1, ..., ДС») (34) Раэностную задачу запишем в виде у»» вЂ” 2у» + в» у- = — »р, или ' ' = — »ри (ЗЗь) с = 1, 2,..., У вЂ” 1, уг = Ис» Ун = )»г. В результате получим систему алгебраических уравнений с трехднагональной матрицей. Такую систему 'можно решать, например. методом прогонки (см.
гл. 1, $2). Пример 4. Первая краевая задача дея уравнения тепяопроводности: ЭО гл. и. осиовныв понятия твогни ваэностных схим и простейший четырехточечный шаблон (см. п. 2, пример 4), получим ревностную эадачу Уг = Уев+ ф илй в индексной форме: — ~+г + ф(, 1 ( г ( гг'г — 1, О(~(Уг — 1г Т Ь' уго )гг(йг) урн = )гг(йг), уо = ио(х;).
Правую часть ф можно задавать различными способами ф =1(х Гг). фг=)(х1 то+ мг) и т д. (34л) Разностная эадача (34г) является примером испольэования так наэываемой явной схемы: значения решения на верхнем времен- ном слое у'+' определяются черве эначеиия на предыдущем слое по явным формулам у'+' = у'+ т (у'- + ф'). Рассмотрим неявную схему у, = у-„„+ ф, у(х, О) = и,(х), у(О, й) = )гг(й), у(1, ~) = р (г), оеногг, хеног .
Для определения значений у =у'+' на (1+1)-м слое получаем снстему алгебраических уравнений „г+г/, уг+г рг ег „г ~ ) г Ъ г+г (2 + гг т) Уег ( уф гоуз О( ° (У г+1 ' )+1 Уо = )гг (гз+г) Ун = )гг (гз+г) с трехдиагональной матрнцей. Эту систему мегжно решать методом прогонки (см. гл. 1, $ 2). До сих пор мы рассматривали краевые условия первого рода, которые на рааностной сетке аппроксимировались точно.
В случае краевых условий третьего рода вопрос об их аппроксимации требует специальияго исследования. На неммы остановимся позже. 5. О сходимоети и точности схем. При решении некоторой задачи приближенным методом в конечном счете надо иметь предварительное суждение о том, с какой точностью можно приблизить при помощи этого метода точное решение задачи. Поэтому следует рассмотреть вопрос е сходимости и точности ревностных схем. Э ь АппРОксимьция диФФВРенциАльных ОпеРАтОРОВ 8( Пусть в области 6 с границей Г требуется найти решение линейного дифференциального уравнения Ьи ~(х), х»в О, (35) удовлетворяющее дополнительным (краевым или начальным) условиям )и.= )»(х), хю Г, (36) где )(х) и )»(х) — заданные функции (входные данные эадачи), » — некоторый линейный дифференциальный оператор. Предположим, что решение эадачн (35) — (36) существует и единственно.
Область О+ Г непрерывного изменения аргумента (точки) заменяется дискретным множеством точек (узлов) х» — сеткой. Пусть Ь вЂ” векторный параметр, характериэующий плотность расположения уэлов, е»» — множество внутренних уэлов сетки, 7» — множество граничных уэлов. Задаче (35) — (36) поставим в соответствие раэностную эадачу »»у» = »р» х»в»о»~ »»у» )(» при х»и "(» (37) где»р,(х) и д»(х) — иэвестные сеточные функции. Здесь Б» и а»вЂ” операторы, действующие на сеточные функции, зад»юные для хы е»»-с»»+7».
Решение у» задачи (37) есть сеточная функция, определяемая в узлах сетки а»». Меняя Ь, т. е. выбирая рааличкые сетки в„мы получаем множество решений (у»), зависящих от параметра Ь. Таким образом, следует рассматривать семейство раэностных эадач (37), соответствующих различным значениям параметра Ь. Зто семейство раэностных задач (37) будем наэывать раэностной схемой. Основной целью всякого приближенного метода является получение решения исходной (непрерывной) эадачи с заданной точностью е) О за конечное число действий. Чтобы выяснить принципиальную возможность приближения решения и эадачи (35) —.(36) решением у, эадачи (37) с любой эаданной точностью е >О в зависимости от выбора шага Ь(е), мы должны сравнить у» и и(х).
Зто сравнение будем проводить в пространстве Н» сеточных функций. Пусть и» вЂ” значение и(х) на сетке Ф», так что и»»нН». Рассмотрим погрешность раэностной схемы (37): э» у» и» Напишем условие для з». Подставив у»=ъ»+и» в (37), получим для з» эадачу того же типа, что и (37): А»»х» = »Р»» х»в»о»» )»э» = Р»» х ю 7»» (38) где»)»» и х» — повязки, равные ф» = »р» — 7»и», и»» )(» — »»и». Правые части»р» и т» задачи (38) наэываются поерешностью аппроксимац»»и уравнения (35) раэностным уравнением (37) и Э .» А. Сан»раааа 83 гл. и. Оснпвные пОнятий теОРии Рлэностных схем соответственно погрешностью аппроксимации условия (36) раз- ностным условием йул = ул на решении задачи (35) — (36). Обычно говорят короче: фл — погрешность аппроксимации для уравнения йлул'=щл на решении и(х) уравнения (35), тл — поерешность ап- проксимации для условия 4лул )(л на решении вадачи (35) — (36). Для оценки погрешности схемы зл и погрешности аппрокси- мации 1рл, тл введем на множестве сеточных функций нормы ! !1(лл) ! !(лл) и ! !(вл) соответственно.
' Будем говорить, что решение ревностной задачи (37) сходится к решению задачи (35) — (36) (схема (37) сходится), если !1зл!(лл) =!!ул — ил!(1л)-в-0 при !Ь1-л О, или !1хл!(,л) = 1р(1й1)11, где р(!Л!)-~0 при !Ь1-+О. Ревностная схема (37) сходится со скоростью 0(1Ь1") или имеет и-й порядок точности (имеет точность 01Ь1")), если при достаточно малом 1Ь1 ( Ь, выполняется неравенство 11 зл!!(1л) —— 1ул — ил 1Ол) < М1й 1", где )!в ) 0 — постоянная, не зависящая от 1Ь1, и) О. Говорят, что равностная схема (37) обладает и-м порядком аппроксимации, если !ф,!(,„) =О(1Ь1"), ! „!1(,„) =О(1Ь!"): Обоаиачая 7, и (5и)л значения У(х) и Еи(х) на сетке вл и учи- тывая, что (7' — Ьи)л = О, запишем ф, в виде 1тл = (4рл — йлил) — (Ул =(5и)л) = (аул — Хл) + ((Г и)л — т лил) =' „ф) 1 !си Таким образом, погрешность аппроксимации схемы фл склады- вается из погрешности аппроксимациифлп = ул — 7л правой части и погрешности аппроксимации ч)л = (Би)л — 5лйл дифференци!ю ального оператора.
Так как фл есть погрешность аппроксимации в классе реше- ний дифференциального уравнения, то условие!ФА!(лл) = О(1" 1 ) может быть выполнено, если ф)п и ф~ не имеют по отдельности и-го порядка. Иллюстрирующий это утверждение пример был рассмотрен в и. 3. Возникает вопрос: как. зависит порядок точности схемы от порядка аппроксимации на решении? Погрешность ел=ус — ил есть решение задачи (38) с правой частью фл (и тл).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
