А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 19
Текст из файла (страница 19)
5) Неравенство Ноши — Буняковского и е-неравенство. Нам понадобится в дальнейшем известное неравенство Коши — Вуня- ковского !(и о)! (1и!! 1о!! где (,) — скалярное произведение в некотором линейном пространстве и 1и)! = У(и, и). В частности, под (,) можно понимать одно из введенных выше скалярных произведений.
В дальнейшем изложении мы будем часто пользоваться нера- венством ьг (аЬ|<еа'+ —, (з)0 — любое число), (г, (ау„-)-„) = — (ау-„, г„-] + агу„-] — а,у еге, (г, (ау-)-) = — (ау-„, г„] при г, = гк = О. 4) Вторая формула Грина. В интегральном исчислении вторая формула Грина имеет вид 1 1 ) и(йо') Ых — ) о(яи')'Ых =-й(ио' — ои') !1. е о Подставив в (3) и = у, и=аг-, получим е 3. сВедения О млтемАтиче»~ком АППАРАте . 101 которое будем называть иногда е-нераеенгтеолс Иэ него, в част- ности, следует ((и, о) !(~и))(и1«(е~и1'+ — )!»»1'. (12) 2. Собственные функции и, образуют ортонормнрованную систему » 1и„(х)и (х)Их=ба, е 10, )»чьт, где ба 3. Если 1(х) дважды дифференцируема и удовлетворяет одно- родным краевым условиям, т. е.
~(0) =)(1) О, то она предста- вима в виде равномерно сходящегося ряда Ф/ ~(х) = Х ~аиа(х), 2. Отыскание собственных функций и собственных значений иа примере простейшей разностной задачи. Метод разделения переменных, иавестный в математической фиаике, используется и для исследования разностных аадач. Применение этого метода позволяет расчленить исходную аадачу, зависящую от несколькнх иеаависимых переменных, на более простые задачи, зависящие от меньшего числа переменных.
Прн этом, как правило, по отдельным координатным направлениям возникают задачи на собственные значения. Такая же ситуация имеет место и в раапостном случае. В этом пункте мы рассмотрнм аадачу на отыскание собственных аначений длн простейшего разностного оператора. Сведения, полученные здесь, потребуются нам в дальнейшем, так как использование метода рааделения переменных приводит к задачам именно такого типа. В последующих главах будут приведены примеры использования этого метода для анализа устойчивости и сходимости конкретных разностных схем. Предварительно напомнил» основные факты, связанные с простейшей задачей на отыскание собственных функций и собственных значений для дифференциального уравнения и" (х)+Хи(х) О, 0<х<1, и(0) = иП) =О. (13) Нетривиальные решения этой задачи — собственные функции ил к отвечающие им собственные значения А, — выражаются следующим образом: 1.
иа(х) = )/ — з(п — ", ХА —. »»»и»,.'Р, »»==. 1, 2,... 102 гл. п. основныв понятия тзогии г»зностяых схим 1 , где 1»= ) ~(х)и»(х)бх, причем а 1 ОО и=~~() =хл.- о Поставим в соответствие дифференциальной задаче ИЗ) раз- ностиую задачу у„-„+Лу=О, х=(й, 0<((У, й= БМ, у(0)=у(Е)=0, у (х) ~ 0 (14) об отыскании нетривиальных решений — собственных функций задачи И4) и соответствующих собственных значений. Перейдем в И4) к индексной форме у<+,— 2И вЂ” й'У2)у<+у», О, 3 1, 2, ..., У вЂ” 1.
И5) Решение задачи И4) будем искать в виде у(х) зш ах, где а подлежит определению. Тогда у~+~+ у<-~ зш а(х+ й)+ зш а(х — й) = 2 з(п ах соз ай. Подставляя полученное выражение в И5), получим 2 з(п ах соз ай - 2И - й'Л/2) з(п ах. Так ияк мы ищем нетривиальные решения, т. е. зшахч»0, то из последнего равенства следует 1 — йМ2 соз сй, и далее 2 4 .за» Л = — (1 — сов ай) = — з1п» вЂ”.
»~ »» 2' Значение параметра а выберем так, чтобы функция у(х) юпах удовлетворяла граничным условиям задачи (14) у(0) уП) = О. Заметим, что.при х 0 граничное условие выполняется автоматически при любых а. При х = ( имеем з(п а( О, откуда а а» йяЛ, й 1, 2, ..., Ж вЂ” 1. Итак, мы.получили собственные функции и собственные значения задачи И4). Перечислим их свойства.
1. уев (х) = зш —, Л» = з- з(п' —, й = 1, 2,..., Ф вЂ” 1. (1б) В 3. сведвпия о м»тем»тичхском Апп»вате 1ОЗ 2. Собственные значения А» перенумерованы в порядке возрастания, и для всей совокупности (Ь») справедливы следующие оценки: 4 .»пЛ 0<3 э 81лэ 2 <Х»( <ля 1 Лэ = — вш 4 .эпЛ(Ф вЂ” 1) 4 эпЛ 4 Л» 21 Л* 21 Л ' = — сов — ( -1-. (17) Из (17), в частности, следует, что все собственные вначення задачи (14) положительны. 3. Собственные функции задачи '(14) у'"', у' ', отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в смысле скалярного произведения, определяемого соотношением (5): (у'"', у'"') О, йч» т. (19) д» = 1, получаем Х е» -е» 1-е» М " =Ней — "= — й.
е — 1 д — 1 » » Ьсов — х,=Не т,йф, =Ней Х 3 1 41 Подставим зто вначвние в (19): (»>р Л(К 1)+ Л 2 2 АУ 1 2 2$ Для доказательства этого факта воспользуемся второй раз- ностной формулой Прина, ваписанной для однородных краевых условий (10'): О = (у(ю, у'"') — Ь'"', уй') = (2- — Ь») (у<»>, Ф")) Так как по предположению уоо и у' ' — собственные функции, соответствуювхне различным собственным значениям, т.
е. Ь»ч»Х, то иэ последнего равенства следует ортогональность уое и у1'"'. (у'"', у'"') = О. 4. Норма собственной функции у'"'(х) есть 1)у'»Д) Ч4/2. Нор- ма понимается в смысле скалярного произведения (5), определен-' ного выше, М-1 ЬР=(У.У)= ХУ1 . Проведем несложные преобразования и-1 М-1 М-1 , э паха Л / 2п»х,1 1у1»1 )э = „)'„(у1»1 (х,))э ь =,~~ ь в)вэ — ' = ' )' -в- (1 — сов — '). э 1 ° 1 . ° 1 (19) 2йпЛ ) / 2»п Обозначая 9» ° ехр(1 — ) и учитывая, что д» = ехр ~1 — х,), цц гл. и. основныв понятия твогии газностных схвм что и требовалось доказать. Итак набор сеточных функций (>и>(х) У2/)у">(х), й $, 2, ..., )т' — $, (20) обрааует ортогональную и нормированную в смысле скалярного произведения (,) систему: ()ви>, )в' ') = б,„.
5. Пусть на сетке юв задана функция 1(х), причем Д 1» О. Тогда, очевидно, она иредставнма в виде суммы по собственным функциям задачи ($4): Н-1 1(х) = Я 1ьрм>(х), (21) где коэффициенты определяются соотношениями 1, (1(х), ии>(х)). При этом оказывается справедливым, равенство н — > Н'= Х1Й. Докажем (22). В самом деле, н-1 /н-1 (1~в = ~ й)в(х>) = (1в, )) = ~ ~ 1ьрм>,,,"~~~ 1„уЯ ь1 ° ь1 А 1 / н-1 н-1 н-> Х 1ь1 Ф~>Ф > т = Х 1в1т(Ф~> Ф >) = Х 1ь при х= О, при х=(й, 0((<)'>/, при х=), (25) так как (ри', (е'">) б„„.
3. Задачи на собственные значения с краевыми условиями второго рода и третьего рода. Рассмотрим вторую краевую задачу на собственные значения и" +Ли=О, 0(х(Х, и'(0) =и'П) О, и(х) чеО. (23) Замечая, что и., = и'(0) + 0,5йи" (0) + 0(й') = — 0,5ЬЛи(0) + 0(й'), и,,+0,5ЬЛи(0) =0(й'), аппраксимируем краевые условия с погрешностью 0(й'). В результате получим вторую краевую задачу на собственные значения: у- +Лу(х)=0, х=(й, (=1,2,...,Ф вЂ” (, й=)//>/, (24) ув,о+ ОэбйЛув = 0 — у„- и+ 0,5ЬЛун = 0 Требуется найти такие значения параметра Л, при которых эти однородные уравнения имеют нетривиальные решения у(х) ча за О. В отличие от первой краевой задачи здесь параметр Л входит не только в уравнение, но и в граничные условия.
Вводя обозначения в э. сведения о мвтем»тичвском лппАР»тн 105 запишем задачу (24) в операторном виде Ау Лу, (26) где оператор А определен в пространстве Н = Я функций у(х), заданных на сетке «во=(х«=ой, «=О, 1, ..., )о). Введем в этом пространстве Н скалярное произведение. М вЂ” 1 о.'«у«з«й + О 5й (уо"о + укс««о) «=1 и покажем, что оператор А самосопрял<ен и неотрицателен: (Ау, о). (у, Ао); (Ау, у! >0 для любого у«иН, В самом деле, (Ау, с) = ( — у„-„, с) + 0'5й «» ооух,о +» 'Ъуо я)' з, г Польвуясь второй формулой Грина (10), получим сАУ ««! = (у о ) + (с«у ус«)о (««у„уо„)я+ +( — гоуоо+олу-я) =(у, — 'с'„-„)+( — уоъоо+уясоя) =(у Ао т. е.
А = А*. Первая формула Грина (8) (при г = у) дает (Ау,у) — (у, — у )+( уоу*,о+улу.к)— = (Ур У-] (Уу-„) + (УУ ) + ( — Уоу*, + Улр„я) = (У„У„1~~0 Для задачи (26) мон«но пользоваться общей теорией (см. Дополнение, з 1). Найдем собственные значения Л„н собственные функции )ооЮ аадачи (24). Будем искать решение задачи (24) в виде у = )с(х) А сов ах, А оь О. Подстановка р(х) в уравнение (24) дает о а» Л = — в1п —. ,о Потребуем выполнения краевых условий при х= О и х=Г. Условие при х = 0: сов ай — 1 + — Л = О автоматически выпол»з 2 нено. Условие при х = 1 дает (1 — 0,5й«Л) сов а) — сов а() — й) = 0 или сов ай сова) — сова) сов ай+ вша(.
вшай = вша) . вшай О, 108 гл. и. освовныв понятия твогии гавностных.схкм откуда следует а( як, й О, 1, 2, ..., К. Тем самым найдены собственные вначения Хе=О, Хь= —,в(п' ~, й=1,2,...,Ф, (27) и ортонормирсванные собственные функцни ()ч,(х)), для которых й= ~и, (Рю ~) = М ' = ~0 а Фж, где т/ 1 т/ 1 Ук'* з/ 2 квв р у — р»= у — сов — р»= у — сов— У(=У(ю'У).ю ° й = 1,,2,..., Ф вЂ” 1. Нормнровочный мнонаггель 'А» находится ив условия ((рь)(а (и р ) = Аз ~сов — "~ сов ~*], (28) и +Мх) О, 0<х<(, и'(0) о,и(0), о, ~ О, (29) -и'(() о,и(!), о,) О, и(х) ча О. Нетрудно ваметить, что равностная схема второго порядка ап- проксимации имеет вид у- +Ау=О, х=й, (=1,2,... У вЂ” 1, (у л — оау)+ О,бкХу = 0„ — (ув, +о(ун)+ОзбЬХук=Оз' у(х)чйО, (30) причем сумма ( н-1 кьв как и~ е сов — сов — ! — ~~ Й сов 4 т вычисляется по аналогии с предыдущим пунктом.
Ортогональ- ность собственных функций (Ре) следует нв общей теории, так как А А» ~ О, и все собственные вначения простые. Любую сеточную функцию ~(х), заданную на ва, можно раз- ложить по (ра(х)): )(х) = 3 1аиь(х), Дь — — (~, и„), й= 0 1',..., Ф, а-е И! причем У, Л = Х Л, а е Рассмотрим теперь третью краевую ввдачу но собственные вначвнил: 6 3. сВедения О мАтемьтичкском лпплгьтв 1ОУ В самом деле, и е — о,и + 0,5йЛи, = = и, + 0,5йие+ 0(йз) — о,ив+ О,бйЛиз= 0(йз). Вводя оператор 1 — — (у — о,у) при О,ЬЬ у-„ при О ОВЬ (У-„+ озУ) пр'1 1 х=О, х= (й, 0<8<Н (31) Ау = к=1, перепишем задачу (30) в лиде Ар=Л>.
(32) Оператор (31) задан в том же пространстве Н, что и оператор (25). Он является самосопряженпым и коложятельно 'определенным А — А*) О, причем (Ау, у) = (ур у„-] + о,уз+ Ь, т. е. А ) О, если хотя бы один из коэффициентов о, или о, отличен от нуля или о,+оз)0, а о,)0, о,)0. В этом случае [Ау, у) 0 только при у(х) О. В отличие от двух предыдущих задач для а не удается найти явное выражение;,сс определяется из уравнения (зш'ссй — й'о,о,) 1к а( й(о, + ов) вш ай, (ЗЗ) а собственные значения выражаются по формуле 4 аз Л„= -тз1пз —, й = О, 1, 2,..., М, где аз — й-й корень уравнения (ЗЗ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
