А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рассмотрим теперь третью краевую задачу (9). Введем так же, как и в примере 2 и. 1, пространство Н, = 1оо размерности У+1, состоящее пз функций, заданных на сетке ел=(л;=1Ь, 1 О, 1, ..., й, ЫЧ=1), со скалярным произве- дением 132 гл. и, ОснОВВын понятия тВОРии Рьзностных схим и для нее справедлива оценка «%«'„-,<~05<~,«-2 <1 -(- — («, %('. (<<) Для получения этих формул введем точки х, = — Ь, х;+, =1+Ь и положим у(х,) =у,=О, у(х»+,) =у»+,=О, после чего перепишем краевое условие в (9) при ! = 0 в виде (и< — Ро) — о,(ио — и 1) — ' = «р„где а = Ьо„фо = 0,5ф. Аналогично запишем краевое условие в (9) прн 1'=)У: ок+, (Гк+1 — ик) — (Рк — ик 1) ь' «рк, гдв ак+1 = Ьо, <рл=0,5<рк.
Танин образом, задача (9) эквивалентна первой краевой задаче — (ау.„.)» < = (ре 1 = О, 1, ..., А<, у, = у»«.1 = О, (58) где ф«=р<, 1 1, 2, ..., )У вЂ” 1, <р<=0,5<р<, «р»=0,5(р», а,=1, 1 1, 2, ..., А<, а<=йо„а»+<=Ьо,. Если у — решение задачи (9), то [.4 'ф, ф) = (у, ф! = 0,5Ь (уофо+ укфк) + Х у«ф<й = < 1 К-1 л ' н = Х у<ф<й+ Ь (уофо+ укфк) = Х Ьу«ф< = Х (А «р)< ф<й.
<-1 <=о < о Пользуясь теперь для задачи (58) формулами (51), (52) и оценкой (53), получаем (55) и (57). Следствие. Если о,> с, >О, то для оператора (54) имеет место оценка 1< — 1 Ч!' ~Ц. -1~('~ ~~' йфо+ О 5йфо ~ ~ + (1 (р]о (59) 1=1 1 6. Операторные уравнения дивергеитного вида. Рассмотрим теперь операторы специального вида (дивергентные или консервативные) (60) А = Т»БТ, где Т, Ю, Т* — линейные ограниченные операторы.
Операторы такого типа'часто встречаются в этой книге при аппроксимации дифференциальных операторов вида Ьи =<)1т(ййга<) и). Пусть Н вЂ” линейное пространство со скалярным произведением (у, и) и нормой !!у!! У(у, у), Н, — линейное пространство со скалярныи произведением (у, и) и нормой !!у) ! = УГу, у!. Опв- $4. РАзностные схемы ки» опеРАтоРные РРАВнения 133 ратор Т действует из Н в Но оператор Б действует из Н, в Н,, оператор Т* действует из Н, в Н. Тогда оператор А действует изНвН:А:Н- Н.
Операторы Т и Те сопряжены в следующем смысле: (Ту, и] = (у, Т"и) для всех у»и Н, и»н Н,. Приведем примеры построения факторизованных операторов (60) для простейших разностных схем. Пример 6. Первая краевая задача (аУ-) = — »Р, 0<г= »Ь(1, а~с»)0, Уз=О, У, =О. (61) / В данном случае Н =Я~ — пространство сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки едд (л» = »Ь, д = О, 1, 2, ... ...; У, ЬЖ 1], т. е. при 0< д<Л», аН,=Иль — пространство функций, заданных на множестве узлов е»А+ =(х»= 1Ь, $ = 1, 2, ... ..., Фд ЬХ=1).
Оператор А: Н- Н равен Ау= — Лу, где Лу имеет вид (Лу)» = (ау„-)„» д = 2, 3,..., д»' — 2, (Л ) = 'д д " ' ' (Л ) Ьь Скалярные произведения в Н и Н, определим так: л-д Ф (у,и) = ~~", у»и»Ь при у,иенН, (у, и] = ~.у»и»Ь при у»,и»ееН . Операторы Ту, Теи, Би зададим формулами (Ту),= "' „"*'-' =у„-, "л-д при д = 2,3, ..., д»' — 1,(Ту)д — — — ',(Ту)„= — ~ ' » так что и = ТуяН„если у.»ЕН, (Та„) "»+д "» Ь при »=1, 2, ..., У вЂ” 1, так что Т*и»ЕН, если иыН,; (Би), = а,ие »=1, 2, ..., У, т. е. Би»еН„если и»ЕН„(Би, и] >с»1и]]д.
От- сюда видно, что (БТу)» = аду-„, д = 2, 3,..., Лд — 1, (БТу), = а,у П, (БТу)» = — аиу /Ь, (ТРБТу)» = — (ау„-)„»»» = 1, 2,...,Ф при у =у, = О. 134 Рл. и, Основные пОнятия теОРии РАзностных схем Таким образом, мы убедились, что оператор задачи (61) может быть факторкзоваи з виде (60), так что вместо (37) можно написать Тенту = ~. (62) П р и м е р 7.
Третья краевая задача: (ау„-)„= — 1р, 0 ( х = 1я < 1, а ) с, > О, а,у-„, = а,у, — р„— а, у-, = а,у — р„ с,)с,>0, о >с,>0. В данном случае оператор А имеет вид (см. пример 2 п. 1): О О5А (аьур Н1уо) 1 — (ау„-)„,1=1,2,...,/1/ — 1, ,5„(а у.—, + у,„),'=/Т. (АУ)1 = (64) Чтобы представить оператор (64) в виде (60), удобно ввести дополнительную сетку 1 о1А = [хо, х1/„..., х;,/о, ..., хк /,, хя), хо,/, =.
(1 — 0,5) Ь, и рассматривать пространство функций Нс определенных на юы -1 со скалярным произведением (Уз Р) = Х йУ1-1/оо1-1/о+ УНРИ+Уоооз ~~у)~=)~(у~ У). 1=1 Как и ранее, Н вЂ” пространство функций, определенных на ооо (х,=1)о, 1=0, 1, ..., Л/, /1=1/))/), со скалярным произведением И вЂ” 1 (у, Р) = Х У1Р1/1+0,5/1(уооо+У„Р„) ~ И=)~(у, У) Определим операторы Т: Н- Н, и Т'": Н, — Н следующим образом: Р Р11 (Ту)о — — уо, (Ту)1 1/1 — — ~а — =, 1=1,2, ...,Л/,(Ту)„= — уя, о — о (Тою)1 = — оы/о ' 1/о, 1 = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1/у ей Н, и е= Н,.
Сопряженность операторов Т и То следует из формулы суммирования по частям: (у, и„) = — (с, //-1, так что (у, Тою) = — (Р, Ту). а а. РАэностные схемы кАК опеРАтогные РРАвнения 435 Нетрудно видеть, что А = — Т*ЗТ, где оператор Я: Н, — Н, определен формулами (Зу), =Сара, (Бу)а-ь = а,уа,„( < а (аа', (Бу)» о,у». Очевидно, что Б — самосопряженный в Н, оператор и (Бу, у1 > са1У11аа с, ш(п (аь п„оа). Покажем теперь, что операторы Т и Т* являются вэаимно сопряженными в следующем смысле: (Т»Р, у) = (Р, Ту), у аи Н, и ан Н,.
Действительно, л-а (Т~Р У) = Х (па+ма — Ра-ыа)ус Уа(»па Ра)— а а К вЂ” ул(пи Ри Ыа) = Х Ра-з/з(уа уа-а) + уапа уиоя (Ра Ту1 ь а Напишем некоторые априорные оценки для уравнения Ау Т*ЗТУ =~у. Пусть Б>С,Н, С,~О, тогда (Ау, у). (Т*БТУ, у) = (ЯТУ, Ту) > саЬТУ11а, т. е. А ~7А,, где А,= Т»Т, "( с,. Оператор А, самосопряжен, (А,у, з) (Т»ТУ, з) (у, Т*ТЕ) (У, Ааг). Поэтому имеет место оценка (44), которая, если существуют Т-' и (Те)-а, принимает вид ~ Ту11< — '1(т*)-'р)1.
(65) В самом деле, 1уба = (А,у,у) =1ТУ11', ~ р 1„', = (Т- (т*)- р, р) =1(Т )- р)1а. а Оценка (65) упрощается в том случае, когда правая часть ар уравнения (37) имеет специальный вид, ~р Т*ц и А Т»ЗТ. Умножая (37) скалярно на у, получим (Т Бту, у) - (Т'ц у) =(Ту, ц1. Отсюда и из неравенств (Т»ЗТУ, у) ~ с,))ТУ)1а, (Ту, а)1 (1ТУ111)ц11 следует оценка .~ ТУ11 ~ ~— Щ. а а Мы ограничились ' простейшими примерами, покавывающими, как надо испольэовать для конкретных аадач априорные оценки,' полученные для операторного уравнения Ау — ~р. Глава )П ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Основное содержанке главы — теорик однородных разностных схем для урк»нвннй с неремекзымн Всеффнпкектамн х.и+у(х) =О, Ьи= ~З(х) и1 — в(а)и.
й* ~ йе / Главное впнмапне уделяется способам написания однородных рааноствых схем к исследования лх аппрокскмацнн н сходнмостн з случае раарыаных й, с, й а таике з случае наревномерных сеток. 5 1. Однородные схемы для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами 1. Введение. В связи с широким применением вычислительных машин становится ясным, что нецелесообразно использовать раэностные схемы и составлять программы, предназначенные лишь для решения отдельных задач частного вида. Необходимо иметь разностные схемы, пригодные для решения классов задач, определяемых заданием типа дифференциального уравнения, класса краевых и начальных условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты дифференциального уравнения.
Такие универсальные разностные схемы должны, естественно, удовлетворять требованиям сходимости н устойчивости на любой последовательности сеток и для любой исходной задачи из расс»~атриваемого класса задач. Требование единообразия вычислительного алгоритма для решения класса задач приводит к понятию. однородных разностных схем. Под однородной равностной схемой понимается раэностная схема, вид которой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки.
Во всех узлах сетки для любой задачи из данного класса разностные уравнения имеют один и тот же вид. Коэффициенты однородной разностной схемы определяются как функционалы коэффициентов дифференциального уравнения. Большой интерес, например, представляет отыскание однородных схем асквозного» или «непрерывного» счета, пригодных для решения уравнения теплопроводности (диффувии) с разрывным коэффициентом теплопроводности (диффузии) по одним и тем же формулам (программам) без явного выделения точек или линий разрыва коэффициентов.
Это значит, что схема в окрестности разрывов не меняется и вычисления во всех узлах 5 ь РР»вниния с пвРвменными коэФФициент»ми 13у ведутся по одним и тем же формулам, независимо от того, разрывен или непрер)авен коэффициент теплопроводности. Использование однородных схем сквозного счета особенно важно в тех случаях, когда коэффициент теплопроводности вычисляется в результате приближенного решения других уравнений, что, например, имеет место при решении уравнений газодинамики в теплопроводном газе, когда коэффициент теплопроводности зависит от плотности и терпит разрывы на ударных волнах.
Для теории разностных схем необходимо задать исходное семейство схем. Коэффициенты однородной раэностной схемы выражаются через коэффициенты исходного дифференциального уравнения при помощи некоторых так называемых шаблонных функционалов, произвол в выборе которых ограничен требованиями аппроксимации, разрешимости, устойчивости н др. Семейство однородных разностных схем задано, если указано семейство допустимых шаблонных функционалов схемы. Поясним это в возможно более простой ситуации.
Будем рассматривать раз постные операторы над функциями одного переменного х< — — гй, ~ О, ~1, ... Разностный оператор вначале определяется на целочисленном шаблоне, т. е. на множестве Яо=( — ти — т,+1, ..., — 1, О, 1,, та)1 где т„т,— целые числа, после чего совершается переход к реальной сетке Фл=(х( — — зй, г=О, ~1, .) с шагом й.
Пусть Ег) — вектор-функция, заданная на отрезке — т, ~а < т, (на коэффициентном шаблоне). Пусть далее А," [й(г)], — т,(у(т„В"'[й(г)] — некоторые шаблонные функционалы, зависящие, вообще говоря, от параметра й и определенные для вектор-функций й(г), г ы [ — то т,]. Линейная (относительно сеточной ~ункции у") однородная рагностная схема определяется так: (Ьь у»)» = О,где й3» (Ь)ыу»)~ = ~ч~ А"„[й(х~+ гй)]у»(х~+ тй) + В" [й(х, + гй)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
