А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Такие схемы мы будем называть консервативными. В следующем пункте дается общий метод получения консервативных схем, сходящихся в классе разрывных коэффициентов. Прежде чем переходить к его наложению, сделаем два замечания, связанных с рассмотренным вылив примером. Метод экспериментальной проверки сходимости схемы путем сгущения сетки, применяемый часто на практике в тех случаях, когда нет теоретических оценок качества схемы, может иногда привести к ошибочному выводу о сходимости схемы на том ' основании, что при сгущении сетки обнаруживается стремление решения разностной задачи к некоторой предельной функции й(х). Приведенный выше пример показывает, что функция й(х), вообще говоря, может сколь угодно сильно отличаться от решения и(х) исходной задачи.
Поэтому методом сгущения сетки надо пользоваться с известной осторожностью. Во всяком случае, он не может подменить теоретического исследовлння хотя бы на модельных примерах. Можно рекомендовать для проверке сходимости и порядка точности метод пробных функций: Выбирается некоторая функция (У(х) (она может быть выбрана произвольно, но так, чтобы выполнялись условия сопряжения в точке разрыва коэффициентов).
Подставляя ее в уравнение (1) из $ $, найдем правую часть ЙУ')' — дУ и краевые значения )2, ИО), )2,=У(1). Полученная задача решается по схеме (4) из 3 4, и разностное решение сравнивается с известной функцией У(х) на различных сетках. Второе замечание состоит в том, что, так как не всякая схема, сходящаяся в случае гладких коэффициентов, сходится в случае разрывных коэффициентов, то необходимо выделить семейство схем,,сходящихся в классе разрывных коэффициентов, и в дальнейшем иметь дело только с такими схемами. 2. Интегро-интерполяционный метод построения однородных разностных схем. Различные физические процессы (теплопроводности или диффузии, колебаний, газодинамики и т. д.) характеризуются некоторыми интегральными законами сохранения (тепла, массы, количества движения, энергии и т.
)ь). При выводе дифференциальных уравнений математической физики 144 гл. 1п. ОднОРОдные Рлэностные схимы обычно исходят иэ некоторого интегрального соотношения (уравнения баланса), выражающего эакон сохранения для малого объема. Дифференциальное уравнение получается из уравнения баланса при стягивании объема к нулю в предположении существования непрерывных производных, входящих в уравнение. Метод конечных раэностей фиэически означает переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели.
Прн таком переходе естественно требовать, чтобы основные свойства физического процесса сохранялись. Такими свойствами, прежде всего, являются эаконы сохранения. Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называют консервативными (или диеергентными). Законы сохранения для всей сеточной области (еинтегральныв эаконы сохранвнияэ) для консервативных схем должны быть алгебраическим следствием раэностных уравнений. Для получения консервативных раэностяых схем естественно исходить из уравнений баланса, записанных для элементарных объемов (ячеек) сеточной области.
Входящие в эти уравнения баланса интегралы и проиэводные следует заменить приближенными разностными выражениями. В результате получаем однородную разностную схему. Такой метод получения консервативных однородных раэностных схем будем ' называть интегро-интернолационным методом (методом баланса). Проиллюстрируем этот интегро-интерполяционный метод на примере уравнения (1) из э 1, описывающего стационарное распределение температуры в однородном стержне О < х< 1. Напишем уравнение баланса тепла на отрезке х, ч<х~ х;+„. е(+1/2 та+1/е ин,/,— ин/ы/,+ ~ /(х)дх= ~ д(х)и(х)дх,и/= — йи', (И) 'Ч-1/з й/ — 1/3 где и/(х) — поток тепла, д(х)и(х) — мощность стоков тепла (при д ( Π— источников), пропорциональных температуре, /(х)— плотность распределения внешних источников (стоков) тепла. Сток тепла происходит за счет теплообмена с внешней средой, происходящего на боковой поверхности стержня.
Величина ю, и дает количество тепла, втвкающее через сечение х д ь на отреэок хт ъ-6х< х,+и, и,+ч — количество вытекающего черве сечение х х,+„ тепла; третье слагаемое в левой части (И) дает количество тепла, выдвляющегоси на отреэке (х< в, хен/,) эа счет распределенных с плотностью /(х) источников тепла, интеграл в правой части (И) есть количество тепла, отдаваемое внешней среде эа счет теплообмена на боковой поверхности.
Чтобы получить из (И) раэностное уравнение, намекни й и интеграл, содержащий и, линейными комбинациями значе-„ ний и в уэлах сетки. Для этого воспользуемся интерполяциями з з. консигват(шныи схимы 145 в окрестности узла х»..Возьмем простейшую интерполяцию и= совз$ = и» при х»»/»(х(х»+,/а, »ч+»/а а»+»/г д (х) и (х) Ых ж Ь»»»и», »1» = †„ ) д (х) »»х, 1 а»-»/а а»-1/а (12) Г н(г) и», — и» = ) — »дх. ,) л (г) Предполатая, что к»(х) =к»» /, сове» при х,, (х(х», имеем а» Г и», — н»жк»»»/а ) 3 л(.)' Отсюда находим приближенное значение ю» ь потока а» -1 а» а»-» ' 1 1 Г Ех~» ю»»/а — — — а» ' = — а»и-., а»= — ) т.— - ° (13) л /о =~л 3 ()) а»-» а» Отметим, что ) есть тепловое сопротивление отрезка Г ,) лл(г) а»-» (х»-», х»).
Подставляя И2) и ИЗ) в (И) и обозначая через у, искомую функцию, получим консервативную ревностную схему 1 » У»+» У» з» У» » л [о»+' л о' л ] — с)»у» = — Чч. (14) где -1 а -1 — [), '„,„~, »»»» -1 е а»=а»= а,а в о »1» = »1» = ) д(х»+ гл)»(г, »р»=»р» = ) ~(х»+ гЬ)»)г. -а,а 0,6 Разностное уравнение И4) написано в фиксированном узле х=х».
Считая узел х, 'произвольным, получаем уравнение И4) во всех внутренних узлах сетки. Так как коэффициенты оь»»», 10 л..а. самааа»»аз где»1» есть среднее значение д(х) на отрезке х, ь~х~х»+ь длины Ь. Проинтегрируем равенство и' -к»/'Ь на отрезке х»» <х»=х»: гл. нх одногоднык Р<»зностыыи схимы 146 <р, во всех узлах х„ 1 = 1, 2, ..., )т' — 1, определяются по одним и тем же формулам И5), то схема И4) — И5) является однородной консервативной схемой. Поэтому в И4) и И5) индекс 1 можно опустить и вместо И4) писать (ау„-) — <[у = — »р.
В общем случае в формуле для потока коэффициент а< является некоторым функционалом значений й(х) на отрезке [х, „х,!. Отметим, что закон 'сохранения во всей сеточной области юл (зинтегральныйз закон сохранения) для любой (с любыми а, <1, <р) консервативной схемы вида И4) есть алгебраическое следствие уравнения И4). В самом деле, обозначая череа й<»«= — а,(у» — у<-»)/Ь разностное выражение потока тепла при х = х< „,, запишем равенство И4) в виде и; »« — в<+»а+Ь»у» =ЬА»у<.
Суммируя'по 1=1, 2,;, )У вЂ” 1, получим разностный закон сохранения тепла во всей сеточной области и<па — юь-из+ Х йф» = Х Ь<(<у<. <за Он является разностной аппроксимацией интегрального закона сохранения для уравнения И) пз $ 1. 3. Однородные консервативные схемы. В предыдущем пункте мы получили консервативную схему И4) интегро-интерполяцпонным методом. В общем случае можно считать, что коэффицпенты а, <1, ф схемы И4) являются функционалами коэффициентов й(х), д(х) и )(х),дифференциального уравнения а(х) А[й(х+гй)), «(х) =Р[<((х+гй)), »р(х) =Р[)(х+гйВ. Иб) Область определения шаблонного функционала А[а(г)) есть ()»о[ — 1, 1)(л(г) ж<)"Ч вЂ” 1, 1)), область определения Щ(г)) есть ()»'<[ — »/„Я.
Иными словами, А[а(г)) (Р[7(зИ) определен для всех кусочно-непрерывных функций Й(г) ()т(з)), заданных на отрезке -1 <г~1 (-0,5 ~э ~0,5). При вычислении а(х) согласно Иб) мы полагаем й(г) =й(х+гй). Это соответствует переходу от шаблона — 1 ~ г ~ 1, на котором задана функция л(з), к шаб-' лону х — Ь ~ х' ( х+ Ь, на котором надо задать й(х'), чтобы вычислить а(х). Итак, рассмотрим однородную консервативную схему (ауД.—. Ау = — ф(х), х -=, (17) у (0) = им у (1) = им а ) с».) О, НЪО, коэффициенты которой определяются согласно И6).
Сравнение консервативной схемы И7) или И4) с трехточечной схемой общего вида (4) из $1 показывает, что И7) соответствует случаю Ь< = а<+,. г 3, консегэлтввнын схемы 147 Требование консервативности («дивергентности») схемы (4) из $ 1 эквивалентно также требованию самосопряженности разпостного оператора.
Действительно, рассмотрим оператор второго порядка (Лу)< = а<у<, — с<у<+ Ь<у<«о О определенный на пространстве й» сеточных функций у-(у<), заданных на а<, и равных нулю на границе, у,=уз О. Введем « <«-< в 1«» скалярное произведение (у, «)= ~' у;в<Ь. Так как для любых <зо о Функций у, «<и Й» справедливо тождество Н-< »<-< Д (а<у», — с«у< + 5<у<+<) «< = 2", (Ь<,«<, — с<и< + а<»<и<+<) у<, <=1 <«г то условие (Лу, о) = (у, Лс) будет выполнено при любых у, и<и « ю(«» тогда и только тогда, когда Ь<= а<+о < 1, 2, ..., )»' — 1. (см.
~ 2 гл. 1). Условие Ь< —— а<+, для схемы (4) из $1 означает, что В[й(х+ гй)1 = А И(х+ (г+ 1)Ь)), ВИ(гН А[Из+ 1И для любых х(г) <и 0"<( — 1, И. Это, очевидно, возможно только в том случае, когда Функционал АИ(г)) не зависит от значений Нг) при О~»~1, а ВИ(гН вЂ” от значений функции Ь(г) при — 1(г~О, так что а(х) А(й(х+ ай)) при — 1( г < О. Условия (5) из т 1 локальной аппроксимации второго порядка для консервативной схемы (17) принимают вид а(г+Л) — а(г) )<( ) ()(») а(г+Л)+а(г) й( ) 0(й») (18) <1(х) = д(х)+ 0(Ь'), ф(х) = 7(х)+0(Ь»).
Отсюда следует, что а(х) йИ) — О,бйй'(х) + 0(й») или а(х) й(х — 0,5Ь) + 0(Ь'). В п. 2 при помощи интегро-интерполяционного метода была получена однородная консервативная схема Иб) с коэффициентами а, <(, <р специального вида (15), а именно с шаблонными 10» 148 гл. Нх одноРоднык Разностяь«Б схимы функционалами < в В,с ( ~ =~ [с)(г))= ~ ~(г)с(г. (15') й (в) -1 -0,1 Коэффициенты а, «(, ф при этом вычисляются путем интегрирования функций й(х), й(х) и [(х) (см. И5)). Для практических целей удобно иметь возможно более простые формулы для нахождения а, с), «р, использующие значения й, б, !' в отдельных точках.
Обычно используют шаблон из одной или двух точек, полагая, например, а<=й< и,— — й(х< — 0,5й) .(АИ(гН =х(-0,5)), «(< = д<, «р< = Л (Р[7(гН =~(0)), а« = 0,5 (й<+й< 1) (А [й (г)1 = 0,5 (й ( — 1) + й (О))), Для всех этих схем условия И8), очевидно, выполнены. Если коэффициент й(х) разрывен в полуцелых точках сетки х х,,<„а о(х) и 7(х) — в точках х хь то в формулах И9) следует брать полусуммы предельных значений слева и справа: а< 0,5(й(х«<в — О) + й(х<'-ив+ О)), «[< 0,5(д(х<+ О) + фх< — О)), <р< 0,5(7(х< — О) + У(х<+ О)). Отметим, что формулы И9) и ряд других формул для а, с(, «р могут быть получены путем замены интегралов И5) их при- ближенными выражениями х4 х« [' ах 4 4 (' х «,) 4<(х) а, Ч' Ь 3 г(х) 2 ~«<4 )<4 1) "4-1 х4-1 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
