А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Аналогично получается разностное краевое условие второго порядка аппроксимации при х = 1: — а»у; „= роу» — )со ро = ре+ 0 5йд», )оо = ро+ 0 5Ц» (4) Таким образом, исходной задаче (1) ставится в соответствие разностная краевая задача третьего рода (2) — (4), имеющая второй порядок аппроксимации на решении исходней задачи. 2.'Задачасусловивмипериодичности. Рассмотрим сначала простейшую задачу: найти на отрезке 0 < х < 1 решение уравнения и" (х)' — дои = — )(х), до =' савве > О, 0 < х ( 1, (5) удовлетворяющее условию периодичности с периодом 1: и(х+1) и(х) для любого х~(0, 1). ' (6) При атом предполагается, что 1(х) — периодическая функция )(х + 1) )(х).
Условие (6) в любой точке х св (О, 1) эквивалентно двум условиям сопряжения в одной точке х 0: и(0+ 0) и(1-0), и'(О+ 0) и'(1 — 0). (7) Задача (5) — (6) имеет единственное решение. Для ее решения, 11)а в силу принципа максимума, верна оценка(и)о~ —. ее Пусть до О. Тогда получим задачу и" = — )(х), и(0 + 0) и(1 — 0), и'(О + 0) — и'(1 — 0), 1 которая разрешима при условии ) ) (х) с)х = 0 и имеет единствене ное решение и и(х) прн условии, что 1- .~ и(х)с)х = О. (8) $ а дгтгин 3АдАчи 167 В самом деле, общее решение уравнения и" — -Ях) имеет вид «./ 1 « и (х) = С,х + Сз — ) ~ ) ( (а) Исс) М = С1х + С, — ) (х — 1) ( (1) Ш, где С, н С, — произвольные постоянные.
Условия (7) дают 1 1 ~у«)'(с=О, С,=-~ту(г),(г, « . « т. е. условиями (7) функция и(х) определяется с точностью до по- стоянной С,. Требуя, чтобы выполнялось условие (8), получаем С, = О, т. е. выделяем единственное решение задачи. Напишем разностную схему, аппроксимирующую задачу (5), (7). Возьмем на отрезке 0(х ~ 1 равномерную с шагом Ь У)д сетку ю«=(х,= (й, 1=0, 1, ..., Ж) и аппроксимируем уравнение (5) и условия сопряжения (7). Первое из условий (7) выполнено, если у, = у„. В узлах х~=$Ь, $1, 2, ..., Ж вЂ” 1, напишем трехточечное уравнение у- — д у = — <р(х), х = (й, ' ( = 1, 2,..., Ьг — 1.
Рассмотрим теперь ревностные производные и- = и' (1 — 0) — О,бйй (1 — 0) + О (Ьз), и„з — — и' (О+ 0) + 0,5йи'(О + 0) + О (йз). Подставляя сюда н« = д,п — ~ из (5), получаем и„-, + 0,5й(дои(1) — 7'(1 — 0)) = и'(1 — 0) + 0(йз), и«л — 015Ь (дои (0) — 1(0 + 0)) = й (О+ 0) + О (й'). Отсюда видно, что уравнение у*,е — 0 5Ьдеуо+ 0 5ЬУ(0+ 0) = у-„,+ 0,5йдоуп — 0,5Ц(1 — 0) (9) аппроксимирует второе условие сопряжения и'(0+0) и'(1 — 0) с точностью до величины 0(й'). Полагая затем р«+, = уо перепишем условие (9) в виде у,п де у» = — ~рп, ~рп = 0 5 (~ (1 — 0) + ~ (О + 0)). Таким образом, задаче (5), (7) мы ставим в соответствие следующую разностную схему; р- — д,у= — ~р(х), х««(й, 1=1,2,...,Ф, (10) 168 гл.
пь однотоднын Равноотныв сеймы с условиями периодичности Уо Ую Уо Ус+о. И1) Пусть теперь дано уравнение с переменными коэффициентами (йи')' — ди = — ~(х), 0< я< 1, И2) причем й(х), д(х) и )(х) являются периодическими функциями: й(х+ 1) = й(х), д(х+ 1) д(х), ~(х+ 1) У(х), ИЗ) непрерывными при х 0 (х 1), так что йИ вЂ” 0) й(0+0) й(0) и т. д. Будем предполагать, что й(х)>со>0, д(х)~с,>0. И4) Требуется найти решение уравнении И2), удовлетворяющее условию периодичности и(х+ 1) и(х). Это условие эквивалентно тре-' бованию и(0+0) =иИ вЂ” 0), йи'~, о+о =йи'! И5) Из принципа максимума следует, что задача И2) —, И5) имеет единственное решение.
Напишем сначала схему для 0 < х ° =й < 1: (ау„-)„— Иу= — ор(х), х= (й, 1=1,2, ...,)о' — 1, полагая уо — — у . КоаЯициенты а, Ы, <р выбираются из условий второго порядка аппроксимации (см. т 2, п. 4). Учитывая равенства (аи„-), = (йи')о о + 0,5Ь (г — ди)о о + 0 (йо), ао+ги, о = (йи')о+о — 015Ь (~ — ди)о+о + О (йо), можно аппроксимировать условие йи'1 о+о йи'1, о со вторым порядком следующим соотношением: аоу*,о — Оэ5Ь(д(0) уо — У(0+ 0)) = = апу; + 0.5й (д (1 — 0) уп — У (1 — 0)). Требуя, чтобы выполнялись условия упоо — — уь аз+, а„перепи- шем это соотношение в виде (ауй)„— о(у = — ~р(х), х = хп = 1, где о1 о(с=Ов5(д(0+0)+дИ вЂ” 0)), ~р=орс 05ЩО+0)+~И вЂ” 0)).
В результате получаем следующую периодическую ревностную схему: (ау„-) — Ыу= — ~р(х), х= й, 1=1,2, ...,)о', (10) а>с,>0, Ы~~со> О, 169 с условиями И7) у< = у»~ у< у»+о а< а»+< ° Для определения у<, $ 1, 2, ..., У, получаем следующую систему уравнений: а,у,, — (а<+и«. +А<й')у<+а<+,у<+< = — щ<Ьь, $1, 2, ..., )т, с условиями периодичности у< у», у»+< у,. Решение этой системы может быть найдено методом циклической прогонки.(см.
Дополнение, $2). Так как а > с, > О, «> с, > О, то для задачи И6) — И7) справедлив принцип максимума, в силу которого Ь $с"~ ~—, 5 йс. ( Это неравенство позволяет получить для погрепшоств з у — и оценку 11г!1» 0(й'), тзк как <р< 0(Ь<) при 1=1, 2, ..., У. Таким образом, схема Иб) — И7) имеет второй порядок точности в С в случае коэффициентов Мх) <вС"', д(х), )(х) <нС'".
3. Монотонные схемы для уравнения общего вида. Рассмотрим краевую задачу Ри = (йи')'+ г(х)и' — д(х)и = — )(х), 0(х с 1, И8) и(0) и„иИ) и,, й(х) >с<>0, 1г(х)1(са, 6.=-0. Напашем для нее разностную схеиу второго порядка аппроксимации, для которой справедлив принцип максимума при любом шаге Ь. Это значит (см гл. 1, 3 2), что схема может быть записайа в виде А,у,,— С,у, +В<ум, — <г<, 1 1, 2, . „У вЂ” 1, И9) где А<> О, В<>0, С< — А,— В, Р<>0. Такие схемы называют монотонными. Оператор Ри (йи')' — ди заменим, как обычно, однородной трехточечной схемой Лу = (ау„-)„<)у второго порядка аппроксимации.
Естественная замена первой производной и'(х) центральной разностной производной и» дает схему второго порядка аппроксимации. Эта схема монотонна лишь при достаточно малых шагах сетки. Формулы прогонки применимы при достаточно малом Ь, когда Ь1г(х)1(2й(х). Если воспользоваться одяосторонявми разностными производными (правой и, при г > 0 и левой и» при г(0) для аппроксимации и', то получим монотонную схему, для 170 гл. 1П. Одногодныв Р«зиостньтв схимы.
которой справедлив принцип максимума при любых й. Однако она имеет первый порядок аппроксимации. Построим монотонную схему второго порядка точности,' содержащую односторонние производные, учитывающие знак т(х). Покажем, что для этого достаточно написать монотонную схему с односторонними первымн разностными пронзводными яля уравнения с возмущенными коэффициентами Юи — /, Юи = х(йи')'+Го' — ди, (20) лде х= 1/(1+В), В=05й!г!/й — разностное число Рейнольдса.
Представим г(а) в виде суммы г=г++>-, т+ 05(г+ )г!) Э О, г =05(г— ' !г!) ~0, н аппраксимируем ги выражением (ш>)< = Я-(йи')) ° Ь< а«.<и,<+ Ь; а<и- где Ьг = В [г (х<+ зй)], г~ = г~/й, а <т — шаблонный функцио- нал, используемый для вычисления коэффициентов д и <р. Мож- но, например, положить Ь+ ' 'г+/й, Ь- т /й.
В результате мыпо- лучаем однородную схему Лу = х (ау-) +Ь+а(+<>у» + Ь ау- — Иу = — <р, уе — — и„уи = и;, а<+<> = а(х+ й), аас,) О, (21) х= 1/(1+В), В = 0,5!г!й/й. Покажем, что схема (21) монотонна.'Для этого запшпем ее в виде А,у<, — С,у< + В<у,+, <р<, у, и„у» и„(22) где А< = —,' (х< — ЬЬ; ), В< = — '+,' (х< + йЬ<+), С< = А<+ В<+ <1< Отсюда видно, что А<>0, В<)0 н 1)<>0, так как Ь< (О, Ь<~ вО< <1<) О. Уравнения,(22) разрешимы методом прогонки при любых й иг.
Погрешность аппроксимации схемы (21) >р = х (аи-)„+ Ь+а<+<>и, + Ь-аи- — <ди + <р — (< и + /) представим в виде суммы <р <у<о+ <р<*>< <рп> = [(а~-) — Ии + <р] — ((йи')' — ди + /), <р<т> = [(х — 1) (аи-)„+ Ь+аеы>и + Ь-аи-] — ги'. Для <р«> имеем оценку <а<о 0(й<) при й ж С">, д, /<н С<'>. е а дгугнк 3АдАчи Учитывая, что Ь+ = г+ + 0 (Ь~, Ь- = г- + О (Ь'), йгь = гт., г++ г- = г, 'г+ — г- = (г<', аи„- = йи' — 0,5Ь (йи')' + 0(йе), а<+пи, = йи' + 0,5Ь (йи')'+ 0 (Ьт), (аи-)„= (йй)' + О (Ь~), получаем Ь+а«юи,, +Ь аи-„= ги'+ 0,5Ь(йи')' — "~ + 0(й'), = — — (йи')'+ Л(й ')'+О(й ) = 1+А =, ~ „(йи')'+0(Ь')= О(Ь*). так как В = 0,5Ь(г</Ь,.О(й). Таким образом, монотонная схема (21) имеет второй порядок аппрокенма<и<и: <Ь 0(Ь*).
(23) Если д>с,)0, то для решения задачи (21) при у~ =у«=0 принцип максимума дает оценку ~у)с< — 1<р ~с, из которой, в сис лу (23), следует равномерная сходимость схемы (21) со скоростью 0(й'). Монотонной схемой (21) целесообразно пользоваться в тех случаях, когда г(х) является быстроменяющейся функцией х и в отдельных точках воаможно нарушение условия В(1 (что не сказывается существенно на точности схемы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
