А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. не зависит от 6 и »р, то для функции и и(г)мы получаем уравнение » а ° а — — (»хй(г) — ) — у(г) и= — ) (г), 0 С г()7, г»»г аг (56) О (с»( й(г) (с„д(г) ) О. При г 0 ставится условие гай(г) — "~ = О, (57) эквивалентное условию ограниченности и(г) при г=О, а при г»», например, условие к(В) = рь (58) Ограниченное решение задачи (56) — (58) обладает теми же. свойствами, что и 'в случае осевой симметрии (т. е. в случае. задачи (26) †(28)). На отрезке 0 ~ га:»т введем равномерную сетку о»» (г, = »й, $ О, 1, ..., М, йУ * Л).
Схему напишем по аналогии с (31) в виде Лу»= -~г» хна»уу») — »(»у»= — »р», 1=1,2, ...,Ж вЂ” 1. (59),, $ гз Прн г. 0 напишем разностное краевое условие а,у,,;Iйе — д,у, — у„й» = Ы6, (60). а при» У положим (61)„ 12е 180 гл. ш одноуодеые Рьеностнык схимы Эти уравнения эаписываются в виде (39) и решаются методом прогонки. Отличие от цилиндрического случая появляется при выборе «р и И. Чтобы найти формулы для «р и «1, рассмотрим не- вязку 1»а «у» = Ли» + «р» = —, »(г»»»аа»и;,») — И»и» + «рь Напишем на отреэке г» а < г~ г»+а уравнение баланса га» »» г»~.»» 0 = ' ' — — ) сига»)г+ — ~ ~га«(г» и» = 'гайй» »оИ. й — й 1 Р Ьг»а Ьга» Ьга» »'»»/ »»»» и вычтем его из равенства (62): 1 Ф = ~ Ч,,»+ ф», Ч»= »»-ч.Чп Ч» = и»и„-» — (й~')»- й » где Ч+о,а и+о,а - — ~ --"--.~ -) ° 1 (' а 1 ь, .) ч-о,а »»-о,а Проводя замену переменной интегрирования г = г» + ой, найдем 'Ч+о,а о,а 1 ~ ' 1 — 1»ай = — 1 1(г»+ ой)(г»+ ай)а»1в= ~ Яг»+ ай)Ыг+ » -о,а -о,а о,а о,а ть Ьа (' + — ) о~(г, + гй) «(г+ — ) дг» + вй) га»)з = ~» + О (йа) + г» .) г -о,а » -о,а Ьа Ь' » Ь' .
+ — + — У, + О(й') = ~1+ — ( 1, + — 1»+ О(й'). бг» 12г»а »ага) бг» Аналогичное выражение напишем для второго интеграла, еаменив ( на «(и. Отсюда и иа формулы (63) видно, что ф'=," — „(й.— И'+от, ~ ф*1.=о(й), бг» если»р» и»1» определить по формулам «р»= 1+ — а) ~»»(»= ~1+ — а~ »(»» 1=1,2,...,У вЂ” 1, (64) или по формулам, отличающимся от стих на величину 0(йа). з з.
РАзностная Функция гРинА 181 По аналогии с предыдущим пунктом убеждаемся в том, что невязка в краевом условии равна т = а,и,,/й» вЂ” д,и» + 1, 0(й). (65) Для погрешности х р — и имеем задачу Лз= — ф гнию», а,з„,,/й» вЂ” Ьз~= — т, зв О. (66) Оценка решения этой задачи проводится по аналогии с предыдущим пунктом; здесь будем иметь Ь, = г~~ .На~. В результате убеждаемся в том, что схема (59) — (61) сходится равномерно со скоростью 0(й*): Бз16 1у — иП» — — 0(Ч).
$6. Ревностная функция Грина 1. Раэностная функция Грина. Для оценки решения краевой задачи для разностного уравнения второго порядка можно использовать представление этого решения через функцию Грина. Поясним существо дела на примере краевой задачи дня дифференциального уравнения Е и = — (й (х) „— ) — д (х) и = — ~ (х), 0 ( х ( 1, дк Ы»1 и(0) = О, и(1) = О, й(х)~)с,) О, д(х)~)0. (1) и(х) = ) 6(х, $) у (з) йз, » (2) где 6(х, $) — функция источника нли функция Грина. Функция (2) удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям н(0)=0, н(1) О, если функция Грина 6(х, 4) как функция х нри фиксированном аргументе $ удовлетворяет условиям Е„б(х,$) = „— (й(х) ' ) — 9(х) 6(х,$) = О, хчь$, О~х(1, 6(0, $) = 6(1,$) = О, (3) (6) = 6 (З +О, $) — 6 ($.— О, $) = О, [й -] = — 1 при х = а.
Из этого определения следует неотрицательность и симметрия функции Грина: 6(х, ф) >О, 6(х, $) 6(з, х). Выражение для функции 6(х, 6) может быть получено в явном Решение этой задачи, как известно, может быть представлено в интегральной форме гл. Ыь ОднОРОдные Разностные схемы 182 виде: ( ) ~ (~) при х ( $ а (1) ~('~) = .аб(*) при х~~5< где а(х) и 6(х) — решения следующих задач Коши: Ьа О, 0 <х<1, а(0) =О, й(0)а'(0) 1, (5) 1 = 1, 2, ..., <т' — 1, или в безындексной форме Лу = (ау„-) — ду = — ф (х), х = »й, а(х))~с1>0, <((х))0, 1=1,2,...,Л< — 1.
(6) Пусть при 1 0 (х 0) и 1=)У (х=1) ааданы краевые условия первого рода (7) у.=О, у.-О. Я вЂ” 1 к Введем, как обычно, (у<Р)= ~ у»и»й, (у, и) =~ у<и»й. »=1 4 1 Будем искать решение задачи (6) в виде и-1 У» = 3 С»АфАй («»А< фА) А 1 (8) Потребуем, чтобы зто выражение удовлетворяло уравнению и-1 Лу»--»р<. Из равенства Лу<= ~ Л»»>б»Афьй видно, что уравне- 1-1 ние (6) удовлетворяется только при Л«»» <А — 6~/й, где б»А— Щ=О, 0<х<1, 6(1)=0, й(1)р'(1) — 1. Функции <з(х) и ()(х) линейно независимы, так как определитель Вронского Л(х) зь О, причем а(х) > 0 при х > О, ()(х) > 0 при О~х<1. Перейдем теперь к разностному уравнению второго порядка.
В $2 гл. 1 было показано, что любое разностное уравнение второго порядка А»у,,-С<у<+В<у»+ = — Р» может быть преобразовано к дивергентному виду а+<(у<+» — у») — а (у» — у»-») — <)»у« - — рь Заменяя здесь ф< на й<ф<, »1, на й»<(»; перепишем его в более удобный для сравнения с дифференциальным уравнением форме 1 Лу» = -з [а»+1 (у»+1 — у») — а» (у» — у»,)) — 4у» = — ф», Ь $».
РАзностнАя Функция РРинА символ Кронекера: 1= й, ""= (О, Условия у»-у„О, очевидно,'выполнены при 6<„0«1 О. Таюим образом, формула (б) дает решенно задачи (б) — (7), если С» 6(хь х„) как фулкцня 1 при фиксировавном й 1;2,... ..., Ж вЂ” 1 удовлетворяет условинм Л„»а,„ =(,(а»1)-») » — 3»а = — б„)й, », й = 1,2, ...,Л~ — 1, ась = СНА' = О. Покажем, что так определенная функция Грина сущее»иует, ' и найдем для нее явное представление по аналогии е (4). Введем сначала функции а<, »3< кан решения задач Ко»пи а,— а Ла» = 0,1 = 1,2,...,)3( — 1,ае.= О,а,а„е — — а,— '= 1„ (10) Л»3» = О, 1 = 1, 2,', № — 1.
()в =О, арф„., а -~~~=~ = — 1. Покажем, что а<, (3< обладают следующими свойствами: 1) с»< — монотонно возрастающая, р< — монотонно убывающая положительные функции: а< ~~ »ь<+~ ~ а«, (3< ~ »3<-» ~ (3<~ а,>0 при 1 1, 2, ..., № (3<>0 при $ О, 1, ..., )3(-1. В самом деле, из условий (10) следует »-1 а»<ь; = 1+ ~ йс»ьаь, а, = й/а»> О.
А 1 Если аь> 0 при й 1, 2, ..., 1 — 1, то а»ае, >О и а»>а»,>0. Аналогично убеждаемся, что Р-» < О, О <»3» <»3» 1. 2) а„(3» или а(1) (3(0). Рвлссмотрим вторую формулу Грина (а, Лр) = (»3, Ла) + ав (ар- — ~а„-), — а» (ар„— »)а))р. Отсюда, в силу условий (10), орасу следует, что а» = р,. 8) Определитель Л» = а»(а;»(3» — а4,- ») = сопят = ав > 0 при 0(1-=№ Применвм вторую формулу Грина в области О~х»= = 1й(х =х: »»-1 О = ~ч~~ (аЛ(3 — рЛи)»й = а» (ар- — ()а„-)»вЂ” »-1 — а,(ар — ()а„), = — Ь(х»,) + р(0) а»<ь„»= — Ь(х ) + ()е. Так как х, =х — произвольный узел сетки <в», то Л(х) = сопзс р(0) аИ).
184 гл. пь одногоднык газносгныв схимы Покажем теперь, что функция Грина может быть представлена в виде — при 1(й, а»рь ан аьỠ— при 1~й. ал (И) Отсюда видно, что См = Сяс О: Надо убедиться в том, что функция, определяемая формулами И1), есть решение уравнения Л»оС» — б»/Ь. Если 1ч" й,' то Л«,С» О, тее» каи Ла» О, Л()» О. Рассмотрим Л»еС» прн» й: (Л<оС ) 1 = —,(аь»., (аьрь+, — аь()ь) — аь (аь()„— аь,'))и)) — йьСьь. (12) аль Иа условия Ь„+, В»+,(а»+»б, — а»»)»+,)/Ь ая найдем о»+»а»()»+»=а»+,а,+»»)» — йа» н подставим зто выражение в правую часть формулы И2).
В результате получим рь 1»»ьрь 6ь (Л»»)С»)»-и = — (еа-) — — — — аь = — Лая — — = — —, ал * »а ь ал ал л= а что и требовалоеь. Иа формулы И1) видно, что С»)О при», йч»О, У, С» С,» и, кроме того, С» как функция й при любом фиксированном 1 1, 2, ..., Ф вЂ” 1 удовлетворяет условиям Л»мС» — ба/й, С» = С»я О.
Аналогично строится функция Грина в случае краевых. условий у,=»»»у, и у„=»»,у»,. Рассмотрим частный случай»1(х)» О. Тогда функции а и о а(х), () ()(х) находятся в явном виде иа уравнений ИО): М а» = ~ Ыа» р» = 2~' й/а» (13) Ф=» » ~+1 и функция Грина задачи (ау-)„= — ~р. х~ »оь, у = О, ул = О (14) имеет вид (15) Дяя наилучшей схемы (15), (17) из 1 2»»м совпадает еа в» с функцией Грина дяя диффереваиальиого уравнения. 9 б. РлзностнАЯ Функция РРНИА 185 «9) (20) где 8а=Х ба, 8И=О при 1(й, За=1 при 1=вй. ~1 2.
Предположим сначала, что д(х) О и функция Грина 6 = 6,(х, 4) определяется согласно (15). В этом случае а-(х) () ($) при х($, а (1) а($) рв (е) при х) $. а (1) 6 -(х,$) = 2. Априорные оценки. Явное представление (8) решения за- дачи (8)-(7) при помощи функции Грина можно использовать для получения априорных оценок решения через правую часть, Из (8) видно, что к-е ! уе ! в (6а, ! <РА!) = Х 6а ! фь ! й, «е) н равномерная оценка у, будет получена, если оценить шах 6а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
