А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 33
Текст из файла (страница 33)
4,А Представим /р~ в виде. 1-е <Р =т)„, Ц~ = ~~ЬРн еа= О, 1= 2,3,...,/У, «7) е=1 и подставим в формулу (8). Пользуясь формулой суммирования по частям, получим У(х) = (6(х, В), оп) = -(61(х, $), Ц($)), х, $ ш Фь (18) Здесь надо оценить ! 6-(х,$)!. Лемма. Для функции Грина 6(х, $) задачи (8) — (7) спра- ведливы равномерные оценки 6 (х, $) ~1/е„ ! 6„- (х, $) ! (~ 2/е„! 6- (х, $)! ( 2/сд для всех х, $ ~и Фв.
Доказательство. 1. В 3 2 гл. 1 бьша получена для ре- шения задачи (6) — (7) оценка к-1 н-е и.:= Х.— '-Х!й*ц.!~ Х Х!йЦр.!. (21) -., в1+, ' -Е, Подставляя в (21) вместо у, функцию 6а, а вместо ~р, функцию б„lй„получим «-1 1 чт 1 — вь 1 хба< — ~ Иа < — < —, Рл. пь ОднОРОдные Рлзностньга схв»вы 186 Так как а„- = -~ ~†, ()- ы -( -, а ($) ( и (1) и () ($) ( »з (1), то ~6~(х,~)) < 1. (22) Аналогично находим ) 6 й (х, $) ) ((,—. 1 Пусть о(х, ф) 6»(х, ф) -6(х, $). Из уравнений для 6, и 6 следует Л,о(х, $) -Н(х)6,(х, $), о(0, $) = о(1, 4) О. Возьмем левую ревностную производную по $ от обеих частей этого уравнения. Тогда для и»(х, $) о3получим Лвю(х,$) =(а(х)и»„-(х,$))„— »»(х)»в(х,$) = — Н(х)6»(х,$), »в(0, $) = О, ю(1, $) = О. В ецлу леммы из гл.?, $2 имеем ~~] ( Я)~ па~)6,1(~,$)1(,—.
(23) Ф З 1 ° Учитывая оценки (22) и (23), нз неравенства ) 6- (х, $) ~ ( ~ 6 4 (х, $) ~ + )»в (х, $) ( получаем искомую оценку (20). Теорема. Для решения задачи (8) — (7) имеют место оценки ~ К-» Ы 2(1, ~1ХЪ~, » 1 У 1с~~ с 1' л~а~ Ь»ра (24) ' (25) ,"))7 Ьр. ;)',ьр. »-» вдв р»= ~~'„', й»р», »= 2,3,...,»ч', р = О. Ь1 Доказательство..Полол»нм»р ц и воспользуемся формулой (18).
В силу леммы получим ( у» (х)(( () 61 (х, $)~, ( г) ($)Ц ( — (1, »») ($)~).. (27) Ясли»р(х) имеет вид»р = ц +»ре, то для решения вадачи (8) — (7) выполняется оценка Ы ~ — ((1 !ц()+(1,!)»~)). (28) 1 З Ь СХЕМЫ ПОВЬППЕННОГО ПОРЯДКЛ ТОЧНОСТИ 187 Функция Ч(х) определяется нз условия Ч. = >р с точностью до ,произвольной постоянной. Решение разностного уравнения Ч+ Ч =)>фа можно представить з одной нз форм: Н-1 Н-1 Ч1 = Чн Х йф = ф Ьф, если положить Чя = О, а=а а=> Ч>+1 = Ч> + Х Йфа = ~ Ьр., если положить Ч, = О. а 1 а=1 Подставляя затем этн выражения для Ч, в правую часть неравенства (27), получаем оценки (24) и (25).
Для доказательства ' неравенства (26) достаточно положить ф»=у так что ф=(Ч+)1)„и воспользоваться предыдущими рассуждениями. 3 а >л е ч а н н е. Из формулы (16) следует оценка 3!у!!С< —,(1,3ф!) <,— Пфб<а — !)фНС где 1ф1= 1'(<р, ф). Нетрудно убедиться в тон, что Х )>фл (~ <(1,!ф!) <!ф!!<!ф!!с. Пользуясь оценкой ~С-.(~,$)~,<- можно получить априорную оценку в С для разностной произ- водной решения краевой задачи (6) — (7). В самом деле, !у.-!=!(а„-(*,з), (з))!< 2 (1,! !), так что !!у„-!!С(~ — (1 ! ф!).
2 6 7. Схемы повышенного порядка точности 1. Точная схема. Для уравнения (1) из $1 можно построить однородную консервативную трехточечную схему, являющуюся точной, так что решение разностной задачи у, совпадает в увлах любой сетки а>1 с точным решением и=и(х) задачи (1) из $1: у, - (.,) д й, у, ~ Е (О, 1).
Для удобства дальнейшего изложения перепишем задачу (1) из 2 1ввиде аа ' и = — 1 — — ) — д(х) и = — > (х), 0 < х < 11 (Р.т> аа ( 1 ааи> >Ь ~р (») а)») (1) и (О) = им и (1) = и„Р (х) = й-1 (х) О < Р (х) < у у (х) ~ 0 188 гл. пь одногоднын гьзнюстныв схемы Отметим прежде всего, что наилучшая схема (14) — (15) из $2 при д=/ О является точной. В самом деле, решение вадачи (1) при о=/ О х /» ~-1 и(х) = и,+с ~рЯНС, с= (и,— и»)~ ~ р(»)сМ~ . (2) 9 е Отсюда видно, что ы» р с «. = — Д р(С)»1» ~ г, а<и„- = с, х»» Ю » ы» -1 где а» = —, ) р(1)А» и, следовательно, функция (2) удовлет( г х»» » воряет уравнению ~аи-)„= О.
Обратимся к уравнению (1). Пусть е»» — равномерная сетка. Основная идея получения точной схемы состоит в том, что решение «и(х) уравнения второго порядка (1) в любой внутренней точке (и, в частности, при х =х<) интервала (х» „х,+,) выражается через аначения и, „«<+, и правую часть |(х).
В самом деле, и(х) можно представить в виде «(х) = А»и»(х)+В»»<»(х) + из(х)< х»»(х(х»+ю (3) где А, и В< — числа, и,(х) и и,(х) — линейно независимые решення однородного уравнения /<ы "и О (шаблонные функции), а и~з(х) — частное решение неоднородного уравнения (1) при однородных условиях: »» ЕР з»и' = /(х), х», < х(х».~.„и» (х».».») = из(х»,) = О. (4) Определим шаблон«ые Яунлции и,(х), и»(х) как решения задач Коши: Ь»гзи»<» = О,х»» < х< х»»», и»(х» д) = О,— (и») (х»,) =1, (5) »<(*»- ) Ь ' и» = О, х»» < х < х»+д, »<»(х»+д) = О, — (»<») (х»+д) = — 1. ' Р (ы»+») (б) Полагая в (3) х-х<, и х х<+о найдем ы(х»+ ) ы(ы» ) А»= — В,== » "» (ы»+») сз (ы»-») а 7. слимы пОвышкннОРО пОРядкА тОчнОсти 169 Шаблонные функции обладают следующими свойствами (ср. со стр.
183): 1) Р1»(х) > О и монотонно возрастает при хс, < х < хс+1, Р,'(х) > О и монотонно убывает при хс-, <х<х»ьс, 2) имеет место равенство и, (х»».1) = и<(х<,); 3) Справедливо соотношение с»< *<+1 Р1~(х<+1) = и<(хс)+ и~<(х»)+ о<~(х<) ) исо(х)бх+Р<(хс) ) <~<д(х)дх; »ьс (9) 4) и, наконец, ис (хс) = Р1 (х<+1). <»+1 (10) окан<ем эти Свойства. Свойство 1) непосредственно следует из (5) и (6). 2) Учитывая (5) и (6), имеем (при Ь =.».»ь ") 'Ч+1 О = ~ (Р~~.5Р< — Рейв~с)»(х = е<-1 =»и» — (и<) — и< — (Рс) )~ = — Р1(хс+1)+ие(х< Д.
«1 < ь <1 С «'»»ХС+1 с 3) Напишем формулу Грина на отрееке (х»-„х<): О= ~ (Р»йос — и,та4ах = (г,— (и,)' — Р,— (и») ) ~~ с» /<1с'»1»'»»хс Р ХС 1 1 < ° < 1 (Р<) (Хс) Р1 (Х») (Рс) (Хс) Рс (хс) + Р< (Х<-1)ь Рс Рс и подставим сюда М< Р» — (и1) (х<) = 1 + ) о (х) Р1 (х)»»х, ХС-1 'Ч+1 — (и<) (х<) = — 1 — ~ д (х) и< (х)»(х. Р» 4) Учитывая, что и',+ (х) удовлетворяет условиям »Рае <+1 <+ 1»»и С+1 Ь ' Р< =О, х<<х<хс+с, и» (хс) =О, — — =1, Гл. 1П.
ОдноРОдные РАзностные схемы 190 получаем «ц д 0 = [ (йд+'д ид' — идЬи',т')»дх = [»+д 1»' »д» 1»»+дд»[[«»+д»+д = [и — дид) — ид — дид ) ) [ = — ид (хц-д) + ид(х»). Функцикди,(х) можно представить в виде «»[д из(х) = ~ 6(х,$)1Я)»$, хЕ[х» д, х»+д]» (И) »Ч-д где» (х, $) — функция Грина задачи (4) (ем. (11) ив'1 6), равная ид'($) и,'(х) х» д<$(х, ид (*»+д) и,'(*) ид (Ы х< $ <х»+д. ид (х»+д) д»(х,$) = (12) Подставим выражение (12) в (11) и положим х х» «» 'Ч+д »»*,»» ".»»»»»д»в»-х»» [»а»»в»в]. х» из(х») = » ид (х»+д) (13) Используя (7), (9) и (13), из (3) получим " ~ "'(») "»(») (14) гдв «» «ц.д 1»«« —,' [ ид($)9($)Ж+ — [ д(Р9($) В, вид(х») й йи'(х») й х» д »ч (15) »ч «»+д = — 1 ~($) У(Рл+ —,' 1 ив)1а) а ьи («») й Введем теперь в точке х =х, местную систему координат, полагая х х,+гй, з (х — х»)/й.
Тогда отрезок [х» „х»+»[ преобра.зуется в отрезок (вдаблон) — 1~в<1, точке г 0 будет соответствовать узел х х,. Положим и,(х)««ид(х»+ зй)=Ь»х (з, Ь)„ » » и,'(х) = и,'(х»+ гй) = Ьр»(з»й), — 1~(з<1, ид(х») = Ьа» и, в силу (10),ид(х»)=йа»+,. Шаблонные функции а»(з, й) и [)»(з, Ь), 192 гл. ш. ОднОРОдные Рдэнпстние схемы 2. Схемы любого порядка точности. Исходя из выражения для коэффициентов точной схемы, нетрудно построить схему любого порядка точности. Из (16) видно, что а(з, Ь) и (3(з, Ь) являются аналитичеокемн функциями параметра Ь* и поэтому разлагаются в ряды а(з,Ь) = ~ ад(з)Ь~, (3(з,Ь)= ф (31(г)Ь~, (19) .где аа(з) и (31(з) определяются по рекуррентным формулам а / « а ад(з) = ) р(г)~ ) «ад 1(Л)о(Л)«(Л)««а, Ь)О, ае(з) = ) р(а)«(а, -1 -1 -1 1 /1 1 (3д(з) = ) рЯ~ ) (31 1(Л) д(Л)Ю)Ф, Ь) О, )3е(з) = ~р(З)Ю. а « 'Если в (19) взять конечное число членов а« \В «а«1(з, Ь) = ~ ад (з) Ь, (3 1(з, Ь) = Х (3д (з) Ь д=е д=е и вычислить по формулам (18) коэффициенты а«"', «««"', ф« ', .заменяя в этих формулах а и р полиномами «3« ' и (3«"', то мы получим схему (называемую усеченной схемой ранга т), кото- рая имеет точность 0(Ь'"+а) в классе кусочно непрерывных функций Ь(л), д(л), /(л) Е (О, 1).
При т=О получаем схему нулевого ранга. Она имеет точ- ность 0(Ь') для Ь, д, /ж0«" и отличается от ванлучшей схемы (14) — (15) из 3 2 выражениями для ««и ф: е а = —.= ) р(х+зЬ)««з, р= —, (а> 1 (' $ е -1 о"' «а+ (Ь«а ), «рав = «р+ (Ь«ре) е а е а ч3е = а ) й- + — ) д (х + 1Ь) «1(, «ре = а ~ „(, + д ) /(х+ 1Ь) й. -е,а -е,а Усеченные схемы замечательны тем, что они позволяют по- лучить любой порядок точности для произвольных кусочно-не- прерывных функций Ь(х), д(х) и /(л).
Точная схема и усеченные схемы могут быть получены (теми же метоДами) на пРоезволыной неРавномеРной сетке «еа. Практическое использование усеченных схем в случае пере- менных коэффициентов уравнения (1) требует вычисления мно- гократных интегралов на каждом интервале сетки. Заменяя эти з 6. метОды ПОстрокиня Рлзностньах схем 193 интегралы конечными суммами, можно получить весьма простые 'схемы 0(й') и 0(Ь'), коэффициенты которых выражаются через значения Й, д и ) в отдельных точках на каждом отрезке (х, „л,+,). Эти схемы сохраняют свой порядок точности и в случае разрывных Й, д, ) на сетках ва(К), когда точки разрыва являются узлаын сетки еаа(К). Точную н усеченную схемы можно использовать в качестве эталонных схем для исследования точности схем (16)-(17) из 3 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
