А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Однако эта схема обладает условной аппроксимацией, так как невяэка удовлетворяет соотношениям ф = Ли+ ф — и.— ~т и- = 0(Ьт) Ьт й= прн с=0(Ь ) ° если ф=/, Ь, = Ь,=...=Ь,=Ь. 3. Схемы с весами. При дискретиэации по т уравнений (2) естественно получается схема с весами уме э р/ = Л (оу/+' + (1 — о) уз) + ф>, у, = Л (оу + (1 — о) у) + ф, х я вы т = /т ) О, (14) уЬт„= р, у(х, 0) = ие(х), хан юь Выберем ф /=/'(х, 8,+э). Будем по-прежнему считать, что б — параллелепипед, а Л определяется согласно (4). Для оценки порядка аппроксимации схемы представим си+И вЂ” о)и в виде и+и пи + (1 — о) и = — + (о — О, 5) ти~ и вычислим невяэку ф = Л (пи + (1 — о) и) + ф — и~ = Л вЂ” + (о — 0,5) тЛи~ + ф— — и~ — — Ьи+ (о' — 0,5) т.би+ / — и+ (ф /) + 0(тэ+ ~Ь!э) = = (о — 0,5)тЕи+ 0(т" + )Ь~'), где Ьи = Ли, и = и (х, г;+,н), ф = /, и = ди/дг.
Таким обраэом, $ = 0(т*+! Ь Р) при о — О 5, ф = 0(т+! ЬР) при о чь О 5. Принцип максимума для схемы с весами применим при условии т< те р — —, 0(о(~1, а 1 а нэ которого видно, что прн о=1 ограничений на т нет. Ксан выполнено это условие, то для решения эадачи справедлива априорная оценка И1). Для докаэательства оценки И1) необходимо привести И4) к виду (6)'. Тогда г А (Р) = 1+ 2п ~ —, о)0, а=э Ьа г В(Р,0) = о ° —,, (1 — о) —,, 1 — 2(1 — о) Ьа а=Ь а $3. схемы для Уравнения теплопговодности 295 оаиа 2 2 «и= 1~2, %=~+ 12 Л1~+ 12 Л1~~ а — 2 12т' (16) имеет погрешность аппроксимации 1У 0(т'+ (й!').
Запишем невяэку 1р в виде 1р = ~~~ (Ла + (оа — 015) тЛаи11 + Л1Лэи+ <р — пг. чйит Г и+ и ь',+ь', а 1 Подставляя сюда — = и+ 0(тт), и1 — — и + 0(тт), 1 = Ааи+ +1Ьаи, Лаи1 = чаи+ 0(т~+ ©1 =Ь и — 515 и — Ь |, и=1,2, Ьа~и Условие т~ т, следует из требования неотрицательности коэф- фициентов В(Р, 0). Нетрудно ваметить, что 0(Р) О. Вместо (14) можно рассматривать схемы с различными по направлениям х весами о: и у1 = ~хи~ Ла(оау+ (1 — оа)у) ° а 1 р В этом случае т~(тюте= 2 ~„~~ 1 / а=1 Ьа 4. Схема повышенного порядка точности.
Для стационарной эадачи Ли — 1(х), и!г )1(х) в параллелепипеде была построена в гл. ЪЧ схема, обладающая точностью О(!Ь!'). В двумерном случае (р= 2) она имеет вид Л'у — ~р, где Л'у = Л,у+Л,у+ '„' Л,Л,У, р=1+ — „' Л,~+ — „ЛА Покажем, что схема ь,'+ ь", у1 =,Д~ Ла(оау+ (1 — оа) У) + т2 Л1Лэу+ у~ а 1 (15) у !ть —— р, у (х, О) = и (х), где я96 гл. ч, схемы для нестАционАРных ЗРАВнений получаем ' ~ь„ 2р = ~~~~ ~+1 + (Оа — 0,5) т ~ Е и + 0 (т' -(- ! й !') = 0 (т' + ! й !'), а 1 если выбрать о согласно (16). Чтобы доказать сходимость схемы со скоростью 0(т'+ )Ь!'), надо получить априорную оценку для задачи с однородными начальнымн и граничными условиями.
Такая оценка приведена в гл. Ч1. Схема (15) устойчива пре любых т и й . Второй, не менее важный, вопрос — как решать систему разностных уравнений 2 тоаЛае — е' = Р. а=1 Для этого можно использовать метод матричной прогонки. Однако он требует большого числа действий ООЧ2), где )2' — число узлов сетки е1. Поэтому использование схемы (15) нецелесообразно. Как будет показано в гл. 1Х; она может быть заменена схемой того же порядка аппроксимации 0(т'+ )Ь)1), но требующей для определения у последовательности применения скалярной прогонки для трехточечного уравнения п затраты 0()2') арифметических действий. Такая сехма называется экономичной.
Пря ее написании используетсн приведенная здесь схема. й 4. Нестационарное уравнение Шредингера 1. Двухслойная схема с весами. Рассмотрим разностные схемы для уравнения Шредиягера 1 — = —, 0<х<1, 1>0, ди ди де даз ™ (1) и(х, 0) = из(х), и(0,1)'= и(1,0 = О, 1= ~~ — 1. Применяя метод разделения переменных (по аналогии с уравне- нием теплопроводяостн), найдем решение этой задачи в виде ряда и(х, С) = ~ сзе "Х1,(х), 2 1 где 1 сз = (ие,ХА) = ) ие(х)Х2(х)11х, Лз = йзя2, Х2(х) = г'2зи1яйх, 2 1 а ннстьционьгнок угьвненив шРвдиигигь 297 На сетке (йл,=ваХа„аь=(х.=.гЬ, г О, 1, ..., Ж, ЬУ=1), ю.=(Ь ут, 7=0, 1, 2, ...) построим раеностную схему с весами (у~ =Л(ау+(1 — а)у), у(х, О) и,(х), у, у„=О, (2) где Лу = у-, а = а, + 1а, — комплексное число.
Найдем невязку: и+и ~У = Л (аи + (1 — а) и) — 1и~ = Л + т (а — 0,5) Ли, — и, = 2 = Ли+ (а — 0,5)тЛи — (и+ 0(т') = = (Йи — (и) + — й'и + (а — 0,5) тЬ и + 0 (т' + Ь4) = = ( — 1+ (а — 0,5) т) Ьи + 0 (т~+ Ь'), ди ди + 0,5т), и = —,, с и = — у. Отсюда видно, что 0(т*+Ьг) при а = 0,5, аР 0(т'+Ь') нуи а= 2 — -гз — =а* 0(т+Ь') .прн аФ0,5, аФа„,. где и = и(х, 1; Таким обрааом, при 1Ь' а= — —— 2 12'с ' ь' а = — а.,= —— 2 ' ' 12т мы получаем схему повышенного порядка точности.
Найдем у(х, с) методом разделения переменных, полагая М-1 уз(х,) ~ ~~'.~ сьДХь (х,), ь 1 с~с+' = уьсь, Ь = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1, 1 — (1 — о) тА„ — (1 — а,) тЬ„ + 1(1 + о,тхь) '1 + отхь а тхь + 1(1 + о тХ„) где Х,(х.) — собственные функции оператора Л: ЛХа+ЬаХа= О Ь 1 2 ° ° ° М 1 Хл(0) =Ха(1) 0 / 4 .тяьь равные Хь(х) = г 2зшпйх, Ьь = —,зш' 2 Подставляя предполагаемое выражение для решения в рааностное уравнение, на-- ходим 298 гл. ч. схвмы для нкстдциондгных тгдвнвнии Для у'+' получаем Ф-1 и-1 у)+с= ~~'„', ддс)дХд, )у1+д~'= ~ |до|'|со|'((идах|до|~)у)||'. д д-1 д Такую оценку для |д,| можно получить и при а, <0,5, если положить т = 0(йс), или 1 со 4 со = — — — тч-, где /д= —,.
та д В самом деле, пусть а, < 0,5. Тогда (( — ( ( ( (( — 2 ( Ь с-(...ы' дсч ( ..(,,'., Ьс (' 2=((ьд' со с ь~ о о ( о) К( ст (сот при а= — — — у. 'о 2 то Явная схема (а = 0) устойчива: ) у) ~ ( с'оО ~ уо ~ с сд если т (~ — о = с, где сс ) 0 — проиевольное число.
Условие Выч!исаакия дают (1+ото)(д)о+(1 — ао)от )(д (2а — 1) т )(дд (1 + а,т)(д)о+ фс~)(д (1+ адт)(д)о+ ~фейхоо Отсюда видно, что |д„| < д, и следовательно, схема устойчива: ||у(+(!! < ||у(|! са... < ||у'|! прн а, > 0,5. Если а, < 0,5, то |д„| ~ д, и схема неустойчива. В частности, явная схема (а О) неустойчива при любых т/)ос-совет.
В отличие от схем для уравнения теплопроводности среди схем с т//до=совв1 нет условно устойчивых: все схемы с а,> 0,5 устойчивы, а все схемы с а, < 0,5 неустойчивы. 1 1Ь Так как для схемы 0()ос+ т') имеем а= — — — т. е. а,= 2 12т' ° ° с= = 05, то она безусловно устойчива. Если допустить устойчввость ||у(|! К М||у'|! с постоянной М~ д, то ото эквивалентно требованию шах | дд | ( 1+ сот ( е'ос, с ) О.
5 нистАцнонАРное РРАВнение шРБдингеРА 299 со о т( — Ь' очень л(есткое и неестественное, поскольку беэраэмерным является отношение т/Ь*, а не т/Ьо. Поэтому явной схемой польэоваться для уравнения Шредингера ~не рекомендуется. 2. Трехслойные схемы. Рассмотрим трехслойную схему с весами оуо = Л (оу + (1 — 2о) у + оу), с уо = ук = О, у' (х) = ио (х), у» = ио (х), где у =у'+', у =у'-', у=у', о=о,— вещественное число. При любых о схема имеет второй порядок аппроксимации $ = 0(Ь*+ т'). Будем искать частное решение для нее в виде у1» (х,) = с»д~»Х» (х,), Подставляя это выражение в уравнение (3) н учитывая, что ЛХ,= — Ь»Х„получаем для д (индекс Ь у у» и Ь» опускаем) И+2ро)до — 2р(2о — 1)д+2ро — 1=0, р=тЬ. Найдем дискримннант этого квадратного уравнения: — = ро(2о — 1)' — 1 — 4р,'о' = (1 — 4о)р* — 1.
4 Отсюда видно, что В(О при о>~ — — —. 1 1 4 4то»о ' Корни квадратного уравнения1 НЮ (2о — 1)р+1У1+4р'оо — (го — 1)'р' д 1'О ~ улл') = 1. Таким обраэом, частные решения уо» не нарастают с ростом уг Ь»" 5~Ьй если о) — — — Л= —. Полагая д»' =е " будем искать 4 (1,1) »»о 4 4тоао»о общее решение нашей эадачи в виде М-1 у1 = ~'~ (а» сову~у»+))» э(ну~у») Х„(х), »-1 где а„и ()1' находятся нэ начальных условий у =йо 1 у =ио зоо гл.
ч. схвмы для нкстьционьвных тгьвн ия или о т — т 1 6 ус= =и„, 2аьма (Фьу2) 1 т аь —— (и„, Хь),. рь — — ((и„Х„) + ) —. у вшие Мы не будем останавливаться на последующих рассуждениях приводящих к оценке вида у,а ~„у)~у)у(~„е~+)„о)) „, Такого рода рассуждения проводятся в $ б при изучении устой. чнвости схем для уравнения колебаний' струны.
5 5. Уравнение переноса $. Явные схемы для задачи Коши. Уравнение первого порядка ди ди — +а — =0 ау ао называют уравнением иераноса. Такое уравнение получается, например, для плотности р=р(х, г) несжимаемой жидкости, движущейся вдоль оси Ох со скоростью о: —, + о — = О. др ар ау а Уравнение переноса является модельным и позволяет еотрабатыватьь схемы для более сложных уравнений акустики, кинетических интегро-дифференциальных уравнений переноса нейтронов, нелинейных уравнений газовой динамики и др.
Поэтому изложение в этом параграфе представляет прежде всего методический интерес. Рассмотрим сначала задачу Коши — "+а —" = О, — оо(х(оо, а)0, и(х, 0) = ие(х), (1) предполагая, что а = совзФэь О. Решением задачи (4) является е бегущая волна» и(х, у) ~ и,(х — ау) (если и,(е) — дифференцируемая функция), где а — скорость волны. На плоскости (х, у) введем сетку Олт мь Х О) мь-(х» (й, ( 0; ~(, ~2, ...), ю,=(ау=у.т, у О, т, 2, ...,) . тгьвнвннп пвгкнось П (по Е). Для вадачи Коши естественно нс. Начнем со следующей схемы: ~ +а, ~~~, ~ =О, уела=и,(х<), (2) с шагами й ( полвеовать явны у,+ау,=О.
Шаблон этой схемы состоит на точек (рис. 17, а) (хе Ее), (х~+о О), (хе Фе+,). (хЕ 9+ (хЕЖ (х+ Ь) (хЕ-ЕЭ (хг Ь) (хЕ-.Е)) ' Гх Еу) (ХЕ 9 а) Ф~ у) (хЕ 9+Е) (хЕ Е) е) (хЕ (хЕ е' ЕЕ) (хЕэ 6) ф Рас. Ет. Схема (2), очевидно, имеет первый порядок аппроксимации по т и й, так как для невявки имеем: ~у ° и, +аи *(й+си')+ 05тб+О 5аЬи" + 0(т'+ Ч) = 0(т+ й). Покажем, что при а)0 ета схема абсолютно неустойчива. Для етого достаточно убедиться в неустойчивости какого-либо. частного решения. Перепишем уравнение (2) в виде уа =-ууЕа+1+(1+у)у., у- а 302 Гл.
ч. схемы для нестАционАР Будем искать частное решение этот моники виде гар- у' = у1епс (здесь 1 = У— Подставляя (4) в (3)', получим о = — 7е" + 7 + 1 1 + (1 — сов 1р)7 — г( з1п 1р (4) или, иначе, )У1 !~~М)у1 ~ при с-(с Ь (в нашем примере ! Уьа ~ = 1), где с, = сопзь ) 0 не зависит от й и т. Рассмотрим еще одну явную схему с шаблоном (хь 81), (хь ГЫ1), (х1-, (1) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
