А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Тогда при аэ р 1+ 121 (8) схема (4) имеет повышенный порядок аппроксимации, ООР+ т'), Краевые условия третьего рода — = ()~и(0, С) — рэ(С), — а ' — — (эи(1> С) — рт(С) аи(0, С) да(С, О аппроксимируются следующими раэностными уравнениями: р,у;,=Л (ау+(1 — 2а)у+ау)+~р, С=О, р,уи — — Л (ау + (1 — 2а) у + ау) + <р~> С = Ст, г-,+ Рэг Л'у = — *0 5а г,— Р,г О,бй ч ч % — РЛ + Ф Рв9+ Э При этом погрешность аппроксимации краевых условий есть где ф = Л (аи + (1 — 2а) и+ аи) + ~р- и;;погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении и~ и(х, С), т й,(х) — и,(х, 0)— погрешность аппроксимации для второго начального условия у, й,(х).
Ив предыдущего ясно, что т О(т'). Учитывая, что и =и+тии и = и — ти;, имеем аи+(1 — 2а)'и+ ай = и+ от'и;,, З10 Гл. ч. схемы для нестАционАРных уРАВнениЙ величина 0(тй+ )йй), если йр = ((х, 1),.рй = рй 1, чй = )й~(1), чй = )йй(1). Если же и .лр, ь(), о= — —,+о, а =сопэс, р,=1+ — '', р,=1+ — ', 12т )й 12 ,(1) = р,(1)+ — — +( (0,1) — ~,((0, 1)~, )а (~, р) (1) = )й (1) + е ( — — (" (1, 1) — М (1, 1) й )йй ( р,(й) у- = Л(оу+ (1 — 2о)у+ оу) = Лу") и (4а) у, у~ = О, у(х, 0) = ий(х), уй(х, 0) = й,(х).
Ее решение будем искать методом разделения переменных. Для этого, по аналогии с $1, п. 4, ищем частные решения вида у(х, 1) =,Х(х)Т(1) Ф О. После подстановки у = ХТ в уравнение (4а) получим ЛХ Тчй Х Тю) (9) Отсюда и иэ краевых условий у, = у„= 0 получаем для Х(х) задачу на собственные значения ЛХ+ХХ= О, л~ юй, Х(0) = —. Х(1) =-О, Х(л) ~0. Она имеет решения 2е = — эш', Х<")(х) =. У2эшяйх. 4 . й я)йа л' Из (9) для Тй(1) получим раэностное уравнение второго порядка (Т.)7, +).Т(') = О, иле уравнение (1+ отй)й)Тй — 2(1+ (а — 05)т)йй)Тй+ (1+отЛй)Тй=О. то получим схему точности 0(й'+ й ). Эта схема аппрокснмирует исходное уравнение в узлах в=О, х — 1 с погрешностью 0~ ), краевые условия — с погрешностью 0(т +Ь ).
( '+ай ) й й '2. Исследование устойчивости. Перейдем к изучению устойчивости,схемы (4) по начальным данным (при однородных краевых условиях и нулевой правой части уравнения). Для этого рассмотрим задачу з 6. схвмы для уР»знкння колввАнии стРуны 211 которое перепишем в виде о,вто»» Т» — 2(1 — а») Т»+ Т» = О, а»= . (10) 1+ ото»» Решение етого уравнения ищем в видеТ»= Т»(гу) д».
Для д из ИО) найдем квадратное уравнение о* — 2И вЂ” а)((+ 1 0 (индекс й временно опускаем). Его корни равны о11 1 — а ~ ~ Уа' — 2а. Если 0 < 11 < 2, то корни д,х = 1 — а х (Уа(2 — а)— комплексные и )д»1! =1. Введем новую переменную у„полагая сов ор, = 1 — а„, вш ф» - Уа,(2 — а,).
Тогда получим д~~ю — — е»о», д~ою=е "о». Общее решение уравнения ИО) имеет вид Т»(гу) = С»1оу1 у'+ У)»(Ь у' = А»сову~р»+ В»в1пуу», где А„ и В, — произвольные постоянные. Решение задачи (4а) ищем в виде суммы частных решений: и-1 у1,21 (А» сов у~р» + В» вш у1р») Х(»> (х). »-1 Пусть им и й,„— коэффициенты разложений и,(х) и й,(х): К-1 и-1 ио(х) = ~ ио»Х1»>(х), ио(х) = ~~~~~ ио»Х1»1(х).
(12) »=1 » 1 Потребуем, чтобы сумма И1) удовлетворяла начальным условиям ус=и, у»1=(у' — уо)Ут= ио(х). Тогда для определения А, и В, получим условия: сов е» В1В и» А» = иоы А» +В» = ио1,' Отсюда находим 1 — сов е» -4» = иоы В» =,1 ио»+ — „., иоы (13) Подставив А, и В, в И1), после очевидных преобразований имеем К-1, Х<»~ (х). (14) Получим сначала оценку $!у'6 для схемы (4а) при о О, т. е. для схемы уоо = Лу, у» = уя= О, у(х, 0) = ио(х) уо(х, 0) = и,(х) (15) При о 0 имеем а» = 0,5т )» = (»», сов ~р» = 1 — (»1, вш с1» = У(» (2 — ро). 312 Гл. ч. схемы для нестьционАРных МРАВнений Потребуем, чтобы шаги сетки е»1, удовлетворяли соотношению 1 1 (1( где в ) 0 — любое число. Тогда р,~ —,, й=1,2,...,)Ч вЂ” 1, 2 - 1+в' и следовательно, сов 0,5фв = 1г1 1 — рь/2) 1 1+в' Далее, в1и фа 2 в!и О,бфв 2 »1и О,бфв Ч/ 1 Ъ сов 0,5фе) 1 У 1+в' и так как 2.ы 0,5~, 1, 2»-.
~)»'2~ — у Хь 'е 'е т то справедлива оценка »1ИФА / е ) уГЛ Из (14) следует неравенство (19 ф ° е — 05)е 1) )2 ° ' ~ьподставляя в него оценки (18) и (19), имеем ="'(" ( '"")) Заметим теперь, что выражение (2л г )"' есть не что иное, как «негативная» норма (норма в НА-1): $ и«$' 1 = (А ие, ие) ', где Ау = — Лу = — у- в пространстве функций у, заданных на сетке е»1 и равных нулю при х' О, х 1. Действительно, Л-1 Я-1 А 1ив= ~' и«АА ~Х~ ~= ~~ „ы Х1) »=1 «=1 $6. схемы для угавнения колвваний стРуны 313 и следовательно, (А ио, ио) = ~~~ —. ("оо) хо Итак, если выполнено условие (16), то для схемы (15) справедлива оценка Ь'1<1 — е(6н 1+6«6Ь-). (20) Эта же оценка имеет место и для схемы (4а), если потребовать, чтобы параметр о удовлетворял условию 1+6 й а~— (21) где е)0 — любое число.
Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше дока эательстве ааменнть всюду ро на 0,56 ьо ао= 1+се Хе Для исследования устойчивости схемы (4) по правой части применим принцип суперпозиции. Рассмотрим аадачу ур, — — Лу<о> + В, у, = уи = О, у (х, 0) = О, у, (х, 0) = О. (4б) Ее решение будем искать в виде 1 уг = Д ТУао', (22) н о где У" как функция у при фиксированном 1' удовлетворяет однородному уравнению Уо,*' =' Л(СУгоьр + (1 — 2о) Уан + СУ1-'У), 0 <У'(У, (23) краевым условиям (24) начальным условиям и+1У УУ Р+1У У' ' = 0 У('~ — — — Ф~' (25) ю '1 е где Ф~ выбирается так, чтобы удовлетворялось ' неоднородное уравнение (4б).
Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция Ф~. Из определения Уа' следует, что 1-1 у'- = — 'У'+"+ ч' ТУ1" Лу = ~ЛУ'+" + У„'ТЛ(У"')'"'. й. е сю й у~о у=о 314 гл. у. схемы для нестАционАРных уРАВнений Подставим эти выражения в (46) и найдем У'+' ' — отйЛУА+ьй тф, (26) откуда получаем уравнение для Ф Ф'~У'+' й/т: Ф вЂ” от'ЛФ йр, Ф. Ф О. (27) Перейдем теперь к получению оценки решения у' задачи (46) через правую часть йр. Пусть выполнено условие устойчивости (21).
Тогда для решения задачи (23) справедлива оценка (2О), которая в данном случае имеет вид 1У' 'М ~'+' И"'Ь- =-,'~ '+'1~""Ъ-' Поэтому из (22), используя неравенство треугольника, получаем ьк~ — ",' Х1 """Ь-' 1 О Оценку для 1У'+1' ~ 1 получим из уравнения (27). Разложим Ф и <р по собственным функциям (Х'11): и-1 и-1 Ф = ~.", ФАХЫ~, <р = .~~~ йрАХ1"1. (28) 1.~1 1=1 Подставляя (28) в (27), найдем ФО ° щ/(1+атй2;й), так что при о > О имеем и-1 й и-1 й Я-1 ОА 1 Х ь Айьй й й Х 1 О ~рйлй А 1 ~й й 1 (1+ай ха) Лй А 1 ~й т е 1У ' 1А-1 ( т 1 йр)' 1А-1. Таким образом, если о ~ О и выполнено условие (21), то для схемы (46) справедлива оценка )-1 ~Уц()/ — '':)'.т~ й ~А1 У О Для задачи (4) с однородными граничными условиями у, =у„= = О справедлива оценка )-1 ~>ич<Р— '+,' (1и5~-3ЕГ- ~- А' 3Ф'Ь-) Я О если о > О и выполнено условие (21).
Интересно заметить, что при специальном выборе у' = у(т) удается доказать устойчивость в Ь, схемы (15) при условии т < й. 6 6. схемы для уРАВнення кОлеБАний стРуны 315 Рассмотрим разностную схему у,'; = у-, / = 1, 2, ..., ( у' = ио у1 = ив+ 0,5ту-' (29) (30) Согласно п. 1 задача (29) — (30) аппроксимирует уравнение (1), (2) с погрешностью 0(т'+ Ьв). Выразим решение у' через у' = и, и й,. Поступая как и ранее, найдем и-1 ю у/ =, ивь сов/фа + . в1п/фь~ Х В1П фь где й„— коэффициенты Фурье й,(х), а величины имп фв имеют тот же смысл, что и прежде. Возводя (31) в квадрат и используя оценку 2 .
вь сов/фь~ (ивьз1п/фв) (тв — -ф — оозв/ф» + иввь в(пв/фь, 1 в(п фь / - в1пф, имеем Л-1 'ру1)в(1и ( +т в(п фв т 1 Оценим снизу выражение,, = . Пусть в1п ф~1 Ьь (1 — т Ьь/4) = т/Ь ~ 1. Тогда Ьь (1 — твье/4) = 4 . НЬЬ ( в .1 пЬЬ) 4 ° впьь( ° впЬЬ) 2 = -з-зш — (1 — у вш — ) в — вш — (1 — в!и — ) = 2 / Ьв 2 2 ) 4 .впЬЬ впЬЬ 4 .впЬ впЬ в1ппЬ' = — зш — соз — ) — в1п — сов — = Ьв 2 2 Ьв 2 2 пЬ В гл. П было показано, что —,вшв — '~)8, если Ь, ~0,5. По- 1 этому, обозначив Ь, 2Ь, имеем в1п пЬ 4 . в НЬ1 1 — — 4 — = — з1п — ) 3 Ь( —. 2 ~ - 4' Итак, если т<Ь и Ь~'/„то для решения задачи (29), (30) имеем оценку Ь')в<(ивГ+ з "ив1'.
3. Метод энергетических неравенств. Исследование устойчивости разностных схем для уравнения колебаний можно прозестл 316 гл. ч. схемы для нестАцнонАРных РРАВнении и с помощью метода энергетических неравенств (см. 3 1, п. 8). Ограничимся здесь изучением устойчивости по начальным данным. Будем рассматривать задачу УО = Л(оу+(1 — 2о)у+оу), (32) уз = уи = О, у (х, 0) = из (т) у! (х 0) = из (х). Замечая, что ау + (1 — 2о)'у + оу = у+ от«у;„перепишем уравпение (32) в виде (33) (Š— от'Л) ум о«ЛУ, где Š— единичный оператор.
Умножим (33) скалярно на у.=- ! = (у, +у,-)/2: ((Š— от'Л) уу!, у ) = (Лу, у о ), (34) Воспользовавшись очевидными тождествами (у!! уо) = О 5($у!Р)! — (Лу!!!у!) =(У«!! Уо) = Обюуй1! )!, преобразуем левую часть равенства (34) следующим образом: ((Š— отзЛ)у;„у ) = 0,5($У! ~!+от''1УЦ'),. (35) Покажем, далее, что для любых функций у = у(х, $ ), обращающихся в нуль при х 0 и х 1, справедливо тождество — (Лу У.) = е (К+ Уй') — — Ф!-1~') (36) Действительно, из первой формулы Грина (см. гл. 11, т 3, и. 1) следует, что — (Лу,уо) = (и, ит~, где и = у-, и так как О Оо — ((И+ Р) )! — О ((Р!)З)!, то получаем (36).
' Подставляя (35) и (36) в (34), получим следующее энергети- ческое тождество: (1У;1«+ (о — — )т'~УЦ' + — ~у-, + уДз) О, (3!) или 3' = Ю, где Е'= ЬЧ+ ( — — ') 'ЬЧ~'+ — 'Ь-'+ уз '1~' (38) Э Э. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛГВАНИЙ СТРУНЫ 317 Найдем аначения о, при которых величина Ю' неотрицательва для любых у' и у' ', Для етого заметим (см. гл.
11,„$3, и. 4), что ~у;й]] <~~у-,1 4 н поэтому эу)э +( 4) 1у(й]] ( 4 +( 4) )1у(й]]' Следовательно, правая часть (38) будет неотрицательна, если потребовать о~)4 э У=А 1 1 т (39) 4т~ 1/ При атом выражение(Ю') ' =1у~~» можно считать нормой (или, точнее, полунормой): К4=~~~1~=~~~'+~ — 4) '~~;„-]]'+ 4 ~у~+у1 ]] (40) Заметим, что такие экомбинированныеэ нормы, зависящие от значений у на нескольких слоях, характерны для многослойных (и, в частности, трехслойных) схем. Тождество (37) означает' устойчивость по начальным данным в норме (40) 1у1+э~» = ~уэ~», 1= 0,1,...
Итак, условие (39) достаточно для устойчивости схемы (32) по начальным данным в норме (40). В частности, схема (32) с о — 0 устойчива по начальным данным при условии т < й. (41) Это условие устойчивости чавто называется условием Куранта (и было получено впервые в работе Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви в 1928 г'.).
Для уравнения в размерных переменных ди э ди — =а— дэ д» оио принимает вид т < Й/а, где а — скорость звука. 4. О нахождении негладких решений разностным методом. Многие задачи математической физики, описывающие ударные процессы в газах, жидкостях и твердых телах, приводят к проблеме нахождения негладких решений уравнений гиперболического типа второго порядка, простейшим представителем которых является уравнение колебаний струны (42). Поскольку такие. решения не имеют производных второго порядка, входящих в уравнение, то слова врешение удовлетворяет уравнвниюэ следует понимать в обобщенном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
