А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Одно из воаможных опре- 318 гл. ч. схемы для нвст»ционАРньгх уРАВнений делений обобщенных решений основывается на том факте, что дифференциальное уравнение является следствием интегрального закона сохранения, если существуют непрерывные производные, входящие в уравнение (42).
В этом случае обобщенное решение определяется как функция и(л, «), имеющая в области «» =' = (О ~ х< 1, 0<8< Т) ограниченные кусочно-непрерывные производные ди/дх, ди/д«и удовлетворяющая интегральному соот- ношению ( ас ох+ а' » 'й) = О, $ ~", '~й с где С вЂ” произвольная'замкнутая кривая, лежащая в области «», Если первые производные раэрывны, то на характеристиках х~ а« = сопеВ должны выполняться условия на скачке й —,~ = ~ а ~ — "], где [~] = Щ +' 0) — ~ ($ — 0) при $ = х' ~ а«. Для отыскания обобщенного решения задачи — ~ — — ໠—, 0(х(1, «)О, а« эз» ' и(л,О) = и»(х), — '(х,О) = иг(х), и(О,Ф) = О, и(Е, ») = 0 (43) будем пользоваться схемой с весами у;, = Л (оу + (1 — 2о) у + о у), Лу = а»у- (44) с соответствующими дополнительными условиями.
При изучении сходимости схемы с весами мы предполагали существование и достаточную гладкость решения задачи (43). Это возможно при выполнении определенных условий гладкости начальных данных. Сходится ли та же схема при условии, что и и(х, «) есть обобщенное решение7 Оказывается, что сеточное решение задачи (44) сходится к обобщенному решению со скоростью 0(«'т+ уЫ. На доказательстве этого утверждения мы останавливаться не будем. При отыскании обобщенных решений задачи (43) появляются осцнлляции сеточного решения и его «производных» («рябь»), сильно снижающие точность схем. Кроме того, происходит размазывание линий разрыва производных на несколько интервалов сетки, что затрудняет определение истинной скорости раскространения разрывов (это — результат введения фиктивного трения (диссипации) при разностной аппроксимации).
Рябь вызвана тем, что раэностные гармоники обладают дисперсией, т. е. скорости гармоник зависят от их номера, э то время как для дифференциального уравнения все гармоники 1 а схемы для уРАВнения колевАнии стРуны 319 обладают одинаковой скоростью, равной а. Чтобы улучшить схему, надо уменьшить дисперсию. Среди схем с весами (44) наименьшей дисперсией обладает схема с весом 1 / 1~вт о=се= — ~1 — — ч-~, у= —. 12 ~ т !' Ь ; -Она имеет четвертый порядок аппроксимации $ 0(т4+Ь') на достаточно гладких решениях и и(л, 1).
На негладких обобщенных решениях погрешность аппроксимации схемы (44) с весом о = оа так же плоха, как и для схем с весом ЯФае. Однако, благодаря меньшей дисперсии схема с весом о=па является более точной и лучше передает особенности обобщенных. решений. Условие устойчивости схемы (44) 1 1 1 / 1 о ~~ — — ' — = — ~$ — — ~ „г выполнено для схемы с весом о =ою если (<1 или т~й/а, т. е.
при том же условии, что и в случае явной схемы. При этом Заметим, что попытки уменьшить- «рябь» путем введения вязкости приводят к искажению профиля решения, к потере точности. Главар! ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В этой главе вэучаотсл устойчввость по начальным давным и по правой части двухслойных л трехслойвых раевостлых схем, трактуемых как оиераторло-равиослвме схемы с операторами, дойоовувщвми в глльбврчовом пространство.
Получены необходимые в достаточные услоивя устойчивости и при помощи метода эваргетическвх варавелств востроены соответствующие априорные оконки. Раеэит метод рогуллрввацви для получения схем эадаивого качества (ио точности, экономичности) в классе устойчивых схем. Рассиоорвао болывое число ковкрстлмх схем для ураввоввй параболического и гюмрболичвского тинов.
$1. Опвраторно-равностные схемы 1. Введение. В 3 4 гл. 11 краевыв задачи для дифференциальных уравнений Еи=-1(х) мы трактовали как операторные уравнения Аи ), где А — линейный оператор, заданный в банаховом пространстве Я. Прн научении нестацнонарных процессов, описываемых уравнениями в частных производных параболического н гиперболического типов — = 1и+)(х,0, — = Ьи+~(х,О, 0(8~((о, ' аР переменная у (время) играет особую роль и поэтому должна быть выделена. Здесь Ь вЂ” дифференциальный оператор, действующий на и(х, О как функцию х = (х„х„..., х,) — точки р-мерной области С. Функция и(х, т) прн каждом фиксированном г является элементом банахова пространства Я. Поэтому вместо и(х, О мы прлучавм абстрактную функцию и(() переменного (, 0'--=с <у„со значениями в Я, т.
е. и(г) щЯ для всех (щ (О, 8,). Оператор Б, действующий на и(х, О как функцию х, заменяется оператором .Ф, заданным в Я. Оператор и(, вообще говоря, действует иэ некоторого пространства Я, в некоторое пространство Я, (область его определения Я)(об)'= Я, нвлявтся всюду плотной в Я„ а область его значений Я(л~)щЯ,). Мы будем считать здесь, что Я, =Я, =Я. В результате приходим к абстрактной задаче Коши —" +,эби = ((8), 0 н" Ю (~ („и (0) = ио, где ие — эадаккый элемент нз м)(.Ф). з $. ОпеэатОРнО.Рэлностеие схемы 321 Этп рассуждения носят лишь эвристический характер и имеют целью провести аналогию между мвтодами общей теории дифференциальных уравнений и общей теории разностных схем, которая излагается в атой главе, Задача Коши называется устойчивой яо начальным данным и по правой части, если $и(Ю)~((Мд~ил$+ Мэ ) $~(у)$л~у, где а1, = сопел ) О, Мл = сопел ) О.
В силу принципа суперпозиции (Ф вЂ” линейный оператор) устойчивость задачи Коши по правой части следует из равно- мерной устойчивости по начальным данным Ии(г)П <-М,Пи(с')П,' с) г') О, где и0) — решение однородного уравнения. 2. Операторно-разностные схемы. Рассмотрим линейную сис- тему Ял, зависящую от параметра Ъ, являющегося вектором некоторого нормированного пространства с нормой ~)л). На ли- нейной системе Ял можно ввести ряд норм: 1 )ь, Нл >, Язых При этом мы получим линейные нормированные пространства Мл, Мь',Я)ю,...Условимся в дальнейшем для упрощения изложе- ния говорить о нормах Ц<ллпНмль...
в пространстве Мй счи- тая 1 1л основной нормой в Ял. На отрезке 0(г~г, введем равномерную с шагом т сетку Мл = (О=)тг 1 =О 1з ° 7л т ГлГ)л)з ьл Ц =)т, О (У ~~!л). Будем рассматривать абстрактные функции улл(с), ~рлл(л) и т. д.
дискретного аргумента с=)тли ьл„со значениями в Мл, так что Ул~(л) ли Мл длЯ всех Г )т ш ю.. ПУсть Ал,(лл), Вы(Г), Сл,И) и т. д.— линейные операторы, зависящие от параметров Ь, т и дейст- вующие из Мл в Я, при каждом с ш ьл.. В тех случаях, когда это не вызовет недоразумений, индексы Ь и т будем опу- скать и писать у„у(нт) = у(г ) = у, А(с), В(с), С(г). Семейство разностных уравнений (т — 1)-го порядка л-1 Вэ (лл) ул+л ~ Сл (Гл) ул+л- ° + ~в~ и — т 2л т 1л т л=л зависящих от параметров Й и т, с операторными коэффициентами В„ С„ ..., С,, (которые являются линейными операторами,'заданными на Ял и зависят от )ь и т) будем называть т-слойной операторно-разностной схемой или просто т-свайной схемой. Бели сУществУет опеРатоР Вел, то Решение У„+, этой 2л а. л, слнлэсавс 322 й'л.
чх твОРия устоичивОсти Рлзноогных схим задачи может быть выражено череа начальные векторы у„у„... ..., у,, и правую часть 1. Мы предполагаем, как всегда, что векторы у„у„..., у,, заданы. Мы будем рассматривать только двухслойные и трехслойные схемы В,у„+, +В,у„= тср„, и, О, 1, ..., задан у„(1) В,у +, + В,у + В,у , = ир, и 1, 2, ..., заданы у, и у,. (2) 3. Каноническая форма двухслойных схем. Любую двухслойную схему (1) можно записать в виде В(ги) "+' "+А(ги)уи=<ри, и=0,1,..., задан увенМю (3) В самом деле, сравнивая (1) с (3), видим, что В= В„А = = (В, + В,)/т. Будем кольаоваться обозначениями У вЂ” Уп — У ( и) > У вЂ” Уи+1 — У ( и+1) = У (Ги + т) ~ У вЂ” У У вЂ” У У =Уи-м "1= — ~ У-= —.
Тогда уравнение (3) можно записать так: Ву, +Ау =<р(1), 8 = 1„=пт1и е„у(0) ую 1вЯл. (4) Будем называть уравнения (3) или (4) канонической формой двухслойных схем. Уравнение (4) аналогично дифференциальному уравнению М вЂ” + Фи = ~ (1). Пример 1. Для уравнения теплопроводности аи а1 аи1 а1 — = Ьи+ /, Ьи = — (й(х) — ! а ( аи! в гл. Ч была рассмотрена двухслойная схема с весами у1 = Л (Оу + (1 — О) у) + 1р, Ло = (а (х) о„-)„. У вЂ” У Используя тождество у = у+ т — = у+ туп перепишем ее в т' виде у, — отЛу, — Лу = ф., Сравнивая зто уравнение с (4), видим, что В = Е+ отА, А = — Л.
Так записывается в каноническом виде двухслойная схема с ве- сами. $ ь Опзултоуно-Рллностнык схимы 323 .Разрешим уравнение (4) относительно у = у„+,. Если существует оператор В-', то можно написать у = Яу+ тф, Я = Š— тВ 'А, ф = В 'ф. (5) Оператор Я называется оператором перехода (со слоя на слой). Наряду с канонической формой (4) иногда будем пользоваться следующей формой записи двухслойной схемы: Ву = Су+ тф или Ву„+, = Су„+ тф», где С = Š— тА, Š— единичный оператор. Если В=В, то схема (3) называется явной двухслойной схемой ув+, — ув +.4ув = фв.
В этом случае значение у +, на верхнем слое вычисляется по формуле у„+,— — у„— тАУ„+тф„. Если ВФЕ, то (3) нааывается неявной двухслойной схемой. 4. Канонические формы трехелойиых схем. Трехслойную схему (2) будем записывать в канонической форме + В (ув+1 2ув + ув-1) + Аув = 'р (6) Сравнивая (6) с (2), видим, что такая запись всегда возможна, если положить В=В,— В„Л= (Во+В,), А=-(Вв+В,+В,). (У) Введем обозначения — Ую У) у 2у+у У = е У с 2т и наряду с (6) будем под канонической формой трехслойной схемы понимать уравнение ВУ. +чРВУ;, +АУ = фЯ,О<2= птЯеоУ(0) = Уз,У(т) = Ум (8) Пример 2. Рассмотрим трехслойную схему с весами у.
+А(о,у+($ — О,— о,)у+о,у)=ф. Приведем ее к каноническому виду. Используем формулы у — у у — 'у+у тз 2 2 У+ У~+ 2Уй~ 3 у — у у — 2у+у у=у + 2 2 ф 2 н~ = у — ту. + — уот+ о о,у+($ — и,— ов)у+о,у =у+(о,— оз)ту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
