А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 53
Текст из файла (страница 53)
+ ' 'чзу;,. 21 ° 324 тл. Рд. 'геоРия устои»дивости Рлэпостных схем Подставляя зто выражение в (9), запишем схему с весами в канонической форме (8), где В=Е+т(с,— с,)А, В=0,5(с,+с,)А. (10) Переходя от (6) нли (8) к (2), получим для определения значения у„+, на верхнелд слое д= г„+, уравнение (В+ 2тВ) у„+, = 2т(2 — А )у. + ( — 2тВ) у„, + 2тдр„. Отсюда видно, что задача. (8) разрешима, если существует оператор (В+2тВ) '. При этом р„+, выражается через у„и у., па двух предыдущих слоях. Поэтому требуется задание двух начальных векторов у, и у, (нли у,=у(0) и у,= у,(0)).
Если В, — В+ 2тВ = Š— единичный оператор, то трехслойная схема (8) называется явной;-для нее имеем у„+, = 2т(2 — А)у„+ ( — 2тВ)у, + 2т~р . Если же В+2тВФ Е, то схема (8) называется неявной. Наряду с канонической формой (8) иногда удобно трехслойную схему написать в виде (2) или Ву + (Е+ ™) уй + у = ду. (11) Это уравнение получается прп формальной замене в (8) В оператором — Е + В. 5. Понятие устойчивости.
Введем понятие устойчивости для двухслойных схем. Под двухслойной схемой мы понимаем множество операторно-разностных уравнений (4), зависящих от параметров Ь и т. Операторы А и В считаем заданными на всем пространстве Яь Будем рассматривать поэтому множество решений (у»,(д)) задачи Коши (4), зависящих от входных данных (др»,(1Н, (ум). Схема (4) нааывается корректной (корректно поставленной), если при достаточно малых т < т, и ~Ы ~ Ь;. 1) решение задачи (4) существует и единственно при любых начальных данных у»»»МЯ» и правых частях др»,(») шЯ» для всех 1»и ы,; 2) существуют такие положительпые постоянные М, и М„не зависящие от Ь, т и выбора у»», ~р»ч что при любых у,»диЯ., ~р».(д) »и Я», Юшв, для решения задачи (4) справедлива сцепка |/улд(1+ т) !/(дл) (~ Мд /!у»л((д»д + Мд шах 1~рлд(1) 1(»л), (12) (дл) о<д ~д где~ )(дл) Н(»») и Цгл) — некоторые нормы в пространстве Я».
Неравенство (12) выражает свойство непрерывной зависимости, равномерной по Ь и т, решения задачи Коши (4) от входных данных. Это свойство и называется устойчивостью. Будем 9 ь ОпеРАтОРНО-РАзностные схемы 325 называть разностную схему абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых т и Ь (а не только при достаточно малых). Обычно пользуются понятиями устойчивости по начальным данным и устойчивости по правой части. Схема (4) называется устойчивой но начальным данным, если для решения однородного уравнения Ву~+Ау= О, 1 пт)0, уЮ) =у, (4а) выполняется оценка Дул (1+ т)Д( л) (~М«Ду~«Д( о) Схема (4) устойчива по правой части, если для решения уравнения (4) с однородным начальным условием уЮ) = 0: Ву, + Ау = <р, у(0) = О, (46) (12а) выполняется неравенство Дулт(1+ т)ДО«) (Мл шах ДЧ«т (У)Д(лл).
в<иве Решение задачи (4) у у"'+у'*', где уоо — решение задачи (4а), а усе — решение задачи (46). В силу неравенства треуголь- ника (126) Ду" ('+ т)Д(1«) ~Ду'л,) (1+ Ч( л) + Ь'л.) ('+ т)Д( «) и из (12а) и (126) следует И2). Аналогично вводится понятие устойчивости для трехслойной схемы. Однако при этом следует рассматривать пару векторов У +, = (у., у„+,) с нормой вида Д ~ «+« Д(1«) Ду~ + у~+г Д(~~~) + Ду~+л у~~~~~) гйе Дф л«, Д.Дт чл« вЂ” некоторые нормы в АР«. Нормы вида (13) возникают при изучении устойчивости трехслойных схем методом энергетических неравенств (см.
гл. У, $6). Таким образом, трехслойная схема (8) называется устойчивой, если при любых начальных данных у„у, и любых правых частях ~р(1) для ее решения справедлива оценка Д Улт ((+ т)Д(1«) а=. М«Д Улт (т)Дт ел + Мл плах Ьлт («)Д(лл), (14) ~1«) о<с а1 (13) где М, и М, — положительные постоянные, не зависящие от Ъ, т и от выбора у„уь <р(1). Основная задача, которая стоит перед нами, заключается в следующем. Предположим, что уравнение (4) однозначно разрешимо относительно у„+, при любых у„и ~рИ). Какими свойствами должны 'обладать операторы А и В, чтобы схема была устойчивой в смысле данного выше определенияу Иными словами, надо найти достаточные условия устойчивости 326 ГЛ. УЬ ТЕОРИЯ. УСТОИЧИВОСТИ РАЗНУОСТНЫХ СХЕМ где Я„= Š— ТВ„'А„ (16) — оператор перехода. Оператор Я„ зависит от 1„ = нт, Ь, т, однако зависимость от Ь, т мы не указываем явно ни для Я„, ни для В„, А„, у„, ур„, у,.
Пользуясь рекуррентной формулой (15), найдем. уу уч+е = Т +еуеуе.-)- Х тТч+иу+е|уу (17) где 7„,; = З„Я„,... Ве+удь 7„+у е = Я~Я„-у... ЯуЯе, 7„+у +с Е. Оператор Т„е, у называют оператором перехода со слоя ) на слой п+ 1, а оператор Т„+,, — разрешающим оператором. Неравенство треугольника дает уу $ууу(уфм<) Туу+ио~!)уефм+ 3 Т(уч+Вд+Е1(Ууу(И> (18) где 1 1„> — любая норма'в Ме.
Из (18) видно, что имеет место следующая Теорема 1. Для устойчивости схемы (15) достаточно, чтобы выполнялось условие () Т„Я ( М, при любых 0 ~ )' < п < н,. (19) При этом для решения задачи (3) верна априорная оцднка ч 9у„,. е <м (3у Ее у Х /В, еуЕе) у * е« . (2еу схемы (4) и получить априорные оценки вида (12). При этом достаточные условия должны быть удобны для практической проверки в случае конкретных разностпых схем, соответствующих уравнениям математической физики. Устойчивость разностпых схем будем исследовать вне связи С аппроксимацией и сходимостью. 6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах. Исследуем теперь в общих чертах вопрос о достаточных условиях устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах.
Более детально это исследование будет проведено в з 2 для случая, когда Ме = В. — вещественное гильбертово пространство. Всюду предполагается, что задача Коши (4) разрешима, т. е. существует обратный оператор В-'. Поэтому схему (4) можно записать в виде ууу+т = Я„у„+т~ч, 1в —— Вуу еруу, и = 0,1, ° °,уеен Ял, (15) 5 ь ОпеРАтОРНО-РАзностные схемы 32? (24) Заметим, что'из (20) следует (12) при М» = М»т» и !)ццЬ) = =1В ~4„.
Теорема 2. Для устойчивости схемы (3) достаточно, чтобы для нормы ее оператора перехода 81 выполнялась оценка Щ)~1+с,т для всех у =О, 1, ..., и,— 1, (21) где с, > Π— постоянная, независящая от т и й. При условии (21) М». верна априорная оценка (20)' с Мд — — е Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что из (21) следует (19): (т„,;!)= !)В.,В.," 8,+,В)(( (1Я;~!)У,1" (Яв+,ЦЯ((1+с,т)" '( (~ (1+ с«т)" (~(1+ е»т) ( е «» = е»» = М . Часто высказывается утверждение: «из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части». В каком смысле следует понимать это утверждение? Будем говорить, что схема (4) равномерно устойчива по начальнь м данным, если устойчива задача Коши у ~, =Я у, и у, 1+ 1, ..., задан уь у О, 1, ..., и, (22) при любом 1= О, 1, ..., и« вЂ” 1, т.
е. !!у„(1ц <М,!!у1!!<ц при всех 0(1< и <П, (23) где М» > 0 — постоянная, не зависящая от т и й. Если выполнено условие равномерной устойчивости, то для разрешающего оператора Т,1 справедлива оценка (19). Следовательно, в силу теоремы 1 для решения задачи (4) выполнена оценка (20). Таким образом, имеет место Теорема 3. Если схема (4) равномерна устойчива по начальным данным, то она устойчива и по правой части при условии согласования норм Ьр!!Оз = )!В-'ц)),О При этом верна априорная оценка (20).
Заметим, что условие (21) достаточно для равномерной устойчивости по начальным данным. Рассмотрим двухслойную схему с постоянными (не зависящими от'г„пт) операторами А и В: у +~=оуа+т(и? В цпь и Ою 1э '' (23) Ю Е вЂ” тВ 'А, задан у,. Если схема с постоянным оператором перехода 8 устойчива по начальным данным, то она равномерно устойчива по начал» ным данным, так как т„,,=т„ь,=д.-~.
(26), 328 Гл. ы. теОРия кстоичивости Рязностньдх схем Теорема 4. Устойчивость по начальным данньм схемы (25) с постоянными операторами необходима и достаточна для устойчивости по правой части при условии согласования норм (24). При этом верна априорная оценка (20). Достаточность. Устойчивость по начальным данным означает ограниченность разрешающего оператора 1)т.,,11 < М. (27) В силу сделанного выше .замечания отсюда следует, что выполнено и условие (19), после чего остается воспользоваться теоремой 1. Необходимость. Пусть схема (25) устойчива по правой части, т. е. для задачи (46) выполнено я 1уь+д~<д>(~М>Х т~В 'ф;1<д>, и= 0,1,2,...
(28) >' в Эта оценка имеет место при любой правой части )>=В 'ф,. Из формулы (17) имеем у„+, = ~ т„+,)+,);. р=а (29) )у(г+т)1<д>(М<~у(0)~<д>+М, ~ т)<р(д')!!<д>, М,=М,с,. (30) «-а В 3 2 будут получены априорные оценки, для которых условие (24) согласования норм 1! 1!<ц и 11 11<ц 'не требуется.
3. Схема (4) устойчива, если Щ1 (1+с,т для всех ) =О, 1, ..., и,— 1. При практическом использовании зтогб достаточного критерия устойчивости надо указать, какими свойствами должны обладать операторы А и В для того, чтобы обеспечить выполнение условия (21). Такие условия найдены в 3 2. Они Нужно показать, что выполнено (27). Выбирая т>> 6> <>, иа (29) найдем у„+, — — Т„„<7 = Т„,,) и 1>у +;!!<„< 11Т„,!1 !1(!!<О.
С другой стороны, (28) дает )1у„+<11<„( М<!1)!!<ц. Сравнивая зги неравенства, получаем (27), откуда и следует устойчивость по начальным данным. Сделаем выводы, необходимые для дальнейшего. 1. Если оператор перехода постоянен, то исследование устойчивости по начальным данным сводится к оценкам нормы оператора перехода. 2. Условие согласования норм для правой части и решения 1>ф11<д> 11В ф<1<ц является весьма жестким. Если 11В Ч! ( с„где с, >0 — постоянная, не зависящая от Ь и т, то!<ф>1<ц(с,<1<р11<,> и вместо (20) получим оценку $ !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
