А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Энаргетвческое тождество прв г 0 змжсывается в виде 2 г ((В (0) — О 5тА (0)) У,,У ) + Р ( з) = 6 У (0) )д~е) + 2т (цр (0), Уг (О)) . Отсюда прн условнв (64) в цг 0 получим 3' (т) ~ у У (0)ц)злцец. В результате (67) и (68) дают длл задачи (() прн р 0: зуу (2+т)уУлцц>~ ~м цуцу (0)цуцлцец у)У~ = у ' (67) (68) Проведенные выше рассуждения показывают по существу единственное принцнпнальнсе отлична случая переменных операторов от постояваьцц.
Суммируем результаты в виде аналогов теорем 5 п 7. Теорема 12. Пусть операторы А А(г), В=В(() зависят от г и выполнены условия (63), (64). Тогда для схемы (1) имеем о ЦЦу„„Ь„<уу,(ЦЦу,Ц,, ~Цу,Ц -,.уЦу.Ц -,.уХ ЦЦА-'уЦрьуф,,(, Аз лз аз 69 ( ) где Лц( — ез з'зце А„= А ((„). Если с,=О, то А ие зависит от г и (69) переходит в (37), если учесть, что ((А 'цубу = ~цр(((л-и Теорема 13. Пусть операторы А =А(г) и В=В(г) зависят от ь' и выполнены условия (63) и (65). Тогда для схемы (1) выполняется оЧенка з ццу., Ь„<ууц(цу,цс,ц-,', л цу.цц(. и,—,'~". ооц з=-з Поэтому надо говорить об устойчивости в Нлиц (вместо Н ) и Нзццц.
Исходным для исследования является авергетвчеелое тождество (13)„ где А А(г). Чтобы получать рекурревтвое веравеаство, преобразуем вырюв елке (Ау, у) (А(ц)у(у), у(г)) = = (А(г — т) у(ц), у(ц)) + ((А(г) — А(г — т)) у(г), у(6) и оценим второе слагаемое в правой паств прн помощи (62): (А 69У(ц), у(ц)) ~( (1+туз) (А (ц — т) у(ц), у(ц)). Подставив зту оценку в (13), получки энергетическое неравенство 2т((В(ц) — 05тА(с))У„Уц)+Р(г+т) ( (1+тсу)В(с) +2т(цр(ц), Уц), (66) 350 ил. уь 'гкоРия устойчивости Разнсстных схем Отсюда видно, что оценки (37) и (45) для случая постоянного А получаются при М, = 1 илн с, = О.
12. Пример. Цля того чтобы пользоваться изложенной выше общей теорией устойчивости для конкретных разпостных схем, необходимо: 1) привести двухслойную схему к каноклческому виду (1), т. е. выделить операторы А и В; 2) ввести пространство сеточных функций Н, и исследовать свойства А и В (положительность, самосопряженность и др.) как операторов, заданных на Н;, 3) проверить принадлежность схемы к исходному семейству схем, а также проверить выполнение достаточных условий, устойчивости (64) или (65); 4) если зти условия выполнены, то данная.
схема устойчива и для нее справедливы априорные оценки, например, (69) и (70). Первый шаг состоит в приведении схемы к каноническому виду. Заметим, что полученные выше достаточные условия открывают возможность написания устойчивых разностных схем сразу в каноническом виде. Рассмотрим здесь лишь один пример для уравнения теплопроводности е — — —.", 0 < х < 1, 1 ) О, и(х, 0) = ио (х), и (О, г) = и(1, ~) = О. Рассмотрим асимметричную схему, которая задана на сетке о)л~ = ыо)( юо (ол = (хю= й, 0~< ( ~Ю, о)~ (Г~ (т, О ~<) ~~.М, и записана в виде 1 .Уст+1 = — „„(ау~-и~+~ + (1 — а) у'-к, + роост' — (2 — в — а) уь;), (71) где е я'/т, а х — параметр.
1) Приведем схему к каноническому виду, Обозначая у, ~ — — уо у~ м,-уь перепишем (71) сначала в виде (а+ а)у, =ау<, + (1 — а)у~, + у;+, — (2 — ю — а)уо (72) .Учитывая затем, что У~-~ = йу (+Ум Уыч = йуил+ Уь йукл йуоя = й У„о,с у,, = у~ г + тусз г —— у; — Ьукл + ту, ь — Йту-, „ шодставляя эти выражения в (72) к опуская индекс (, будем иметь югу~ = Йзу- — айту- . (73) $ 3. классы усгоичивых дзгхслоикых схим 351 После деления (73) на Ь*,получаем ат "' + и "'" (74) ) р а)1 — —.
(76) Наряду со схемой (71) можно написать другую асимметричную схему, которая после приведения ее к канонической форме запишется так: (Е+атВ,)у, +Ау. О, где В,у = — — у,. 1 Так как (В,у, у) = (В,у, у), то зта схема устойчива при том же условии (76). Из (76) видно, что асимметричные схемы безусловно устойчивы при а Р- 1. 13. Случай косоеимметрического оператораА. Основные результаты теории устойчивости для двухслойных схем Ву,+Ау= р были получены в предположении, что А =А*) 0 — положительный самосопряженный оператор, а В) 0 может быть несамосопряженным. Исключение составляет схема с весами, для которой В имеет специальный вид В =К+ отА н А*чьА.
Предположим, что А — несамосопряженный оператор, причем А = А, + А„где А, = О 5(А + А*), А, = О 5(А — Аз), Аз= А„ 2) Пусть Н,— пространство сеточных функций й, (примеры 1 и 2 гл. П, $4, п. 1), заданных на аз=(х, = Ю, 0 < (~Ф) со к-т скалярным произведением (у, и) = ~ у~и;а. Операторы схемы ьз Ау = — у„-„и В,у= ь у, согласно гл. П, $4, п. 1, являются 1 положительно определенными операторами, причем (В,у, у) — 0,5(Ау, у).
Оператор А самосопряжен, 1А(! ( 4/4Р. 3) Операторы А и В, постоянны. Схему (74) удобно записать в виде (Е+атВ,)у~+Ау О, (75) так что В Е + атВ,. Условие В > 0,5тА выполнено при а> 1 — 2/(т1А!!). Действительно, для любого х ы Н ИВ- 0,5тА)х, х) ИЕ+ атВ, — 0,5тА)х, х) = ИЕ+ 0,5т(а — 1)А)х, х), т. е.  — 0,5тА)Е+ 0,5т(а — 1)А)( — + 0,5т(а — 1)) А~~О. 4) Так как 1А1(4/й', то схема. (71) устойчива в Н., (в сеточной но ме И', п и 1 352 ГЛ. ЧЬ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ Ах- — А„т. е. А, — кососпмметрический оператор, (А,у, и) =. = -(у, А,о) и (А,у, у) = — (у, А,у) О.
Мы ограничимся здесь случаем, когда А =А,— кососимметрический оператор. Рассмотрнм схему с весаин у,+Ауее =О, где А» = — А, (Ау, у) О, уоз = ау+ И вЂ” о)у. Запишем ее в виде Ву, + Ау = О, В = Е+ отА. Так как А и  — несамосопряженные операторы, то результатами общей теории, полученными выше, мы пе можем воспользоваться. Заметим прежде всего, что (Ву, у) = (у+ отАу, у) = (у, у) + ат(Ау, у) = 1!у!1', т. е.
существует обратный оператор В '. Полагая у = В 'х, получим 11В,'х11' = (В х, х) -б 11В 'х101х11, т. е, 11В 'х11 < 11х1 и 11В-1!! ( 1. Перепишем схему в виде Ву=Ву — тАу, у=у — тВ 'Ау и вычислим (Ву, у) = (Ву, у) — т(Ау, у) — т(Ву, В 'Ау)+ т'(Ау, В 'Ау). Представим В в виде В Е+отА = (Š— отА)+ 2атА = В»+ 2отА и преобразуем (Ву, В-'Ау) = (В*у, В 'Ау) + 2ат(Ау, В 'Ау) = =(у, Ау)+2ат(Ау, В 'Ау) 2ат(Ау, В 'Ау). В результате получаем 11у)Р = 11уП вЂ” (2а — 1)т'(В 'Ау, Ау), Отсюда следует 11у11 < 1!у!1, если о ~ 0,5, 11уР < !1уР+ И вЂ” 2а)тЧ1А11'1!у!0 < И + с,т)1!у!!1, иля ЬЫЙИ!, р=е'"", с»=(1 — 2 )ем если о<0,5 и т1!А!1*( с,.
Таким образом, получена оценка нормы оператора перехода: 11811 (1 при о > 0,5, 1!В!1 ( р при о <0,5 и т11А11' ~сь з з. классы гстончивых ттвхслонных схим . 353 Отсюда следует оценка решения неоднородного уравнения Ву,+Ау»р: ~у„+,Ц(р~у,$+ т$~рЦ( р""!!у,~+ 2"„тр" "~ юрам з а Пусть теперь Н вЂ” комплексное пространство и  — несамосопряженный оператор. Тогда необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным в На схемы Ву»+Ау = 0 имеет вид В,. КеВ > 0,5тА, если А =А*) О, где В, = 0,5 (В+ Ва) = Ва. В частности, схема 1У»+ Ау = О, А = 1* ) О является неустойчивой в Н., так как В =»Е и КеВ О.
Однако А' -1А есть кососнмметрический оператор (А')*=-А', и в силу доказанного ранее эта схема условно устойчива в Й: оы оаа ~у».»$(р 1уо$, р=е, со=с„если т~А~а<са. о В случае уравнения ШредингераАУ'= — у-„„, уапц(0, 1), имеем 1А1 ( 4Л»а, условие на т приобретает вид ь' т(~ 1С са и является неестественным для параболического уравнения.
Од- нако схема с весами зу, + Ауоо = О, А' = А* ) О, будет устойчива как в Н*, так и в Н при о > 0,5. В этом слу- чае В, КеВ=атА >0,5тА и 1У„1.»~1у»1., Если же ввести кососимметрический оператор А' — »А, то при о ~ 0,5 мы по- лучим оценку 1уо1 ( 1у»1. $3. Классы устойчивых трехслойных схем 1. Постановка задачи. В атом параграфе будут получены достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных схем. Мы пользуемся канонической формой трехслойной' схемы Вуо+таЯУ-, +Ау=»р(Г), у(0) — у у(т) — у 0 < г = пт'<»а и = 1, 2..., п — 1» оа = ват. (1) Здесь у, и у, — произвольные заданные векторы из конечноацрного вещественного пространства Н, »р(а) — заданная произзольная абстрактная функция а»не», со значениями в Н; А, В 32 л.
а. саа»азс»»аа 354 . Ел. Ть теОРия устоичивости Раэностных схем и  — линейные операторы на Н. Зависимость. р($) уы(т), ср(т) ° (р~(т), А(1) =*Аа*(т), В, В, уа и р, от й и т явно не указываем. Напомним обозначения: р д(г.) у., р у(т.+ ) р „у=уП вЂ” т)=р у = (у — у)/т, у) = (р — р)йт, ут = (у — у)1(2т). уп = (у — 2у+ р)й'. По аяалогпц с т 2 решение задачи (1) можно представить в виде суммы р у+у, где у — решение однородного'уравнения Ву. + т Вуй + Ау = О, 0 < 1 = пт < т„у (0) = у„у (т) = йн (1а) а у — решение неоднородного уравнения с однородными начальными данными Ву о+ т Вуй + Ау = ~р (1), 0 < т = пт < т, у (0) = р (т) = О.
(16) Перепишем (1) в виде (В+ 2тВ)у„.„= Ф„, Ф„= 2(2 — А)ту + ( — 2ТВ)у„, + 2ар„(2) (А, Н и В, вообще говоря, переменные, т. е. зависят от т ). Отсюда видно, что задача (1) разрешима, если существует оператор (В+ 2ТВ) '. В дальнейшем будем всюду считать, что это условие выполнено. Более того, будем предполагать, что оператор В+ 2ТВ положительно определен. (3) При изучении устойчивости трехслойной схемы будем пользоваться функционалом (составной нормой) вида 1 1~ а+тР = а 1рп+Уа+т1т(т1) + (Уя+т Ув~~~р )а ' (4) где 1 ° ~ОТ) и 1 ° Ц) — некотоРые ноРмы на линейной системе Н.
Чтобы понять структуру этой нормы, целесообразно ввести пространство Н*=НЭ Н вЂ” прямую сумму двух экземпляров пространства Н. Пространство Н' определяется как множество векторов вида У (У"~, У<ЧаН~, У' 'еН, а 1 2, в котором сложение векторов н умножение вектора на число проводятся покоордннатно: у+ у = (уп~ + ун1, усо+ ум1], ау = (ауп~, аузп). Норму в Н* естественно определять так: КГ = 1УО'!1;„)+3~'"Р„). В нашем случае вектор (1 Уз+1= ~2 (уа+т+уз) уэ+т — упоен т 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
