А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Она получается из явной неустойчивой схемы А — 0 А Р (х+ Ь, Е) — 2у (х, Е) + Р (х — Ь, Е) уь + е хх У = — У-— ь е ь в результате замены у(х, 1) = у( полусуммой 0,5(у';+е+у~е ~) = = 0,5(уе+ уе), что дает Приведем (81) к каноническому виду. Так каку+ у= 2у+ е +т'у;„то правая часть в (81) равна у„-„- —,у;,, следовательно, Р 4 еяа 4 уь + —,уи + Ау = О, Ау = — у-„, ~ А ~ = — созе — ( —. Сравнивая это уравнение с (79), видим,' что ее 1//ее)!)А~!/4, т.
е. схема Дюфорта и Франкела устойчива при любых т и )е. Нетрудно сразу написать аналог этой схемы для случая, когда Ь вЂ” любой эллиптический. оператор. Прн этом надо лишь выбрать х нз условия (80). 2) Несимметричная трехслойная схема 3 ь ЗР— 4Р+ Р— у, — — у;+ Ау = ф или + Ау = ф 2 2 2т применяется для решения уравнения теплопроводности. Пользуясь формулами е Уе=У, + 2 У)е У(=У; 2 Уй У=У+ТУ;+ 2 Уй $.3. Бллссы усгончивьгх тувхслонньгх схим 367 приведем ее к каноническому виду (Е + тА) у 7 + т' ( — + — А) уй + Ау = »р, т. е. В =Е+ тА, В Е/т+ 0,5А. Отсюда видно, что условия В) — А, 0<с($, В)Е выполняются при любом А>0. Если А Ае>0, то схема ус- тойчива в норме $ 'Г(г+ т)!!»») = — ( 5 у(» + т) 5~~ + $ у(г) 11,'~) + т) у»)а.
8. Трехслойиые схемы с песамосопряжепными операторами. Трехслойная явная схема с самосопряженным оператором А: ус +Ау= О, 'А = Аз)0, » является абсолютно неустойчивой; необходимое условие устой- 1 чивостн В~~ — А в атом случае не выполнено, так как В = О. Эта схема неустойчива ни в какой норме (~ г . Она является обобщением известной схемы Ричардсона для уравнения тепло- проводпости У» — У» У»» — 2У»+ У»».» 2т Ьа Очевидно, что и неявная схема Ву»+ Ау = Ос любым оператороч » В = В* > 0 является также абсолютно неустойчивой.
Рассмотрим теперь схему с косооимметрическим оператором Л: у. + Ау = О, А = — Ае. (82) Покажем, чго эта схема устайчива при тПАП (» и для нее спра- ведливо энергетическое тождество 8'„„» В'„ где 8'„+, =!!у +»!Р+2т(у„+„Ау„)+ ~!у 1Р>0. Запишем разностное уравнение в виде у+ тАУ у — тАу н вычислим квадраты норм левой и правой частей: !!у!Р+ 2т(у, Ау) + т»(!Ау~Р ()уР— 2т(Ау, у) + тЧАУР. Прибавим к обеим частям ~)у))» и учтем, что А — кососимметрнчс.
скнй оператор, т. е. (Ау, у) — (у, Ау). В результате получки 8'„„Ю ... = Ю',. Покажем, что Ю„+» > О. В самом деле, Ю'„+» > ~~ув+»(Р— 2тЗу +»ПАу ~+ '(у.((' >!(у (Р— тЧ!Ау ~!' > О. 888 1'л, У1. 'геогия устОЙчиВОсти Раэностньтх сеем если т1А1 ( 1. Здесь Н вЂ” действите»нное пространство. В случае кемтшексного пространства Н »й'„+» 1у„+,Р+ 2т Ве (у„+„Ау„) + 1у„1». Все,рассуждения и результаты сохраняют силу.
При и е р. Рассмот»рим уравнение Шредингера 1 — = — — ди» д = сопзФ> 0» 0 <х< 1 ди д»и д1 ди» и (О, Ф) = и (1, 1) = О, и(х, 0) = и, (х). Па отрезке 0(х(1 вводим, как обычно, сетку о»» (х»»й, 1 0,1, ...,Н; йН 1). о Пусть Н И» — пространство комплексных функций, заданных на сетке о»» и обращающихся в нуль при х 0 и х 1. Обозначим и-1 (У,о) = ~~'.~ ~У»Р»й » 1 где У,— комплексно сопряженная к О» функция. Перепвшем исходное уравнение в виде ди ди — = — 1 — ч-+ (уи» д1 ди после чего в пространстве Н введем оператор Ау = »у- — »ди. Оператор А является кососиммеерическим: (Ау, О) -(у, Ао), так как Я-1 Ю-1 (Ау, Р) = ~ (»у- ») Р»й+ Д ( — »ду)» Р»й = »-1 »=1 К-1 К-1 = — ~~'.~ ~у» (»Р- „) й — ~ у» ( — 1()о)» й = — (у, АР). »-1 ' . »-1 Оценим норму оператора А: )А$( —,+у.
Явная схема (82) для уравнения Шредингера имеет вид у» + »у- — »уу = О, у ен Й». Она устойчива при т1А1 ( 1, т. е. при ( —, + д)т<1, клит< $ 3. Ельссы устОйчиВых туехслоиных схем 369 В качестве второго примера можно рассмотреть схему уо + уо = 0 С и ди ди для уравнения переноса †, + д — — О, которая устойчива при тlсс ( 1. Отметим, что явйая трехслойная схема у-„+ Ау = 0 с кососиммеъричесним оператором А= — Ао является абсолютно неустойчивой, а схема с самосопряженным оператором А =Ао > > О, как известно, условно устойчива при г Е > — А, или т (— У').А1 (для Ау = — уйи получаем т(й). ' 9. Другие априорные оценки.
Наряду со схемой (1) часто встречаются трехслойные схемы, записанные в виде. (Е + то.й) у;, + Ву о + Ау = ср, у (0) = уог у (т) = ус. (83) Эта схема формально получается нз (1) заменой В на Я=В+ +Е!т*. Имея в виду зту замену, нетрудно заключить, что схема (83) устойчива при В) А/4, и написать соответствующие оценни. Составные нормы!1г"о естественно появляются при написании уравнения энергетического баланса.
Оки весьма сложны по структуре. Желательно иметь априорные оценки для решения задач (1) и (83) в обычных енергетпческих нормах НА и Н,. Перейдем к выводу таких оценок. Любую трехслойную схему будем записывать в форме Ру- + Ву . + Ау = ср (с), О ( Г ~ оси, у (0) = уо, ус (0) = уо (84) где Р =Р(с), А =А(с) и В =В(С) — линейные операторы. В частности, Р = г*В для схемы (1), Р =Е+ т'В для схемы (83). Наряду с (84) будем рассматривать задачи Ру;, +Ву + Ау.= О, у(0) = уо, у,(0) = уо, (84а) Руй+ Вуо + Ау = ср(с), у(0) = ус (0) = О. (84б) Будем предполагать, что А(С) =Ао(Ю) >О, Р(С) =Ро(С) >О, В(С) )О, (85) А(с) и Р(с) лппшпц-непрерывны по с с постоянной сс.
(86) Иа теоремы 6 следует, что схема (84) при условиях (85), (86) 24 А. А. соиоооииа гл, 'л. 'геОРия устОйчиВОсти Р»зпостных схим 370 и условии !!Г !!( ) а М(!!Г !!(о где М, =М,(с„ е, 1,) ) 0 пе зависит от т, й,н и (88) $» в+(!!(в! = а гув+ ув+(1»((в) + ~~Р(тв)» А(гв)~у(му(в)г а 1 (89) $У,фю= — $ур'+у,~д<,>+ЯР(т) — — А(т))у((0),у((0)). (90) Постоянная М, 1, если операторы А и Р не зависят от й Для перехода от (88) л оценкам в Н» и На нам понадобятся двусторонние оценки функционала !! У„+,!!*.
Лемма 3. Пусть вылолнены условия (85) и (87). Тогда !! г' в+( $(в! ча ! уа 1»((в) + !( У( (гв) !р((в) в ' (91) ° / в Р'+ И(з>')' ~~, Ь' ) ! !. !Т"+й"!> 2 К 1+в (~у+~Ь(()+Ь((1~)Ь(()) (93) Доказательство. Обозначим Х = —,$ у +у~~+ ((Р— -т-А) у» у()). (92) Докажем неравенство (91); ° ( 4 ()у!!»+ 2(АУ, у)+)у)») — 4 ()у)( — 2(Ау,у)+)у~()+ + (Ру(, у() = (Ау, у) + $ у(!!)з. Подставим сюда у у+ ту(( 7=1У!!".'+т(АУ»У()+1У(1р<)уь+ т1УЫУ(!!»+)у()р.
Используем условие (87):)у()а ~ ~ у(1рг так что 2 т у'Т+в х<Ь6+ — т —,— ЬЫУ(Ь+6У(6* ((ЬЬ+5У(Ы' Отсюда следует первое неравенство леммы. Р в — +т'А (87) (где з) 0 — любое число, не завися(цее от т и Ы устойчива по начальным данным и для решения задачи (84а) имеет место оценка $ 3. клАссы устОйчиВых тгехслоиных схем 371 Заметны далее, что з = (Ау, у) + ~ус ~ь. Псдставим сюда »=У ТУз: .7 = (Ау, у) — т(А»,у) +1»,)п~. Пользуясь обобщенным неравенством Коши — Буняковского (Ау, у,) ( !!у!!.,!!Уз!!., н учитывая (87), получаем у=в!! УРА т!! У!!А!(Ус!!А+ )Ус(!й>~1 У !!А — ~~У!!А !!»с !! +Ьс!й Применим неравенство аЬ ( ба'+ Ы(46).
Тогда У)« — 6)!!»!(,"+(1 — 8, )1» )о. (94) Полагая второй коэффициент равным нулю, найдем 6=1/(1+ с) е 1-м и у) )— 1»)А. Вторая оценка леммы доказана. 1+в Чтобы получить третью оценку, потребуем равенства коэффициентов прн ~ у'1„и /!»с/!и в (94); это дает 1/1-)- е — 1 е Так как 71+с(1+с при любом е>0, то 1 — 6> + н 2 (1+ е) ( з» А + !! Ус !!Оз 4 (1 + е) ( з» зА + !! Ус !!оз Лезсма полностью доказана. Подставляя (91) — (93) в (88), получаем оценки для задачи (84а) !!»„+с !А(с ) (.)Хс у — (~ус !(АСз) + !(»с (О) )дцтС)з (95) ч/ 1+с !(ус+с !!А(с„) + 5ус (ге) !!п(с„) ~~ Вс)|с $с — '-(! уе Ьсзс+ !!ус Япсз>) с (98) Для доказательства устойчивости схемы (84) по правой части воспользуемся привцвпом суперпоаяцви и будем искать решение задачи (84б) в виде оумиы е ссе = Х'ц'. з я = 1 2' '' ' Уе = 0' з = 1' 2' ' (07) з=с где Гз, з, как фупкцвя и пря лшбозс фяксированиом з удовлетворяет уравнению (84а) и начальным условиям (0,5ТВ(С,) + Р (С,)).
'+С' з' =- Чсзз Ззз = О. Поскольку Р > 0 и Н вЂ” коиечяомерное пространство, ео Р > 6В и опе. ратор Р-' существует (8 > 0). Так как В > О, а Р Ре > ОВ, то для ре. шысяя уравнения (0,5тВ+ Р)ш = и будем иметь оценку 1ш!(и ~~1зр1 д, 3 (Зс)з,з(!п(с ) «$ зуз!!р-с(с )' 24з 372 гл. у1. теОРия устойчивости Рлзнсстных схем В силу (95) получаем Г 1+в ч/ 1+е $вз+з,в Ьр„) ~ Зуз у — 3(зю)а ° $О(юй ~ Мз ~ —,$ Фабр-зр ) Пользуясь затем (97) и иеразенстзом треутозьаиза, получим для решения задачи (848) оценку (100) (103) 1з.+,1.„.) ~ "з У вЂ” '~„'т~..~, (98) Э 1 Суммируем все результаты в виде следующей теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
