А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Представление (53) для невязки ф можно получить и нз уравнения баланса (52), если заметить, что (йй)»+мв — — (йй)» + 0,5Ь»+» (йй)» + — й»+, (йи')» + О (ф.») „ (йа')»-»»в = (йи')» — 0,5Ь» (йи'); '+ — Ьв» (йй)» + О (й») 992 Гл. тп. ОдноРодные схемы для нестАцнонАРных РРАвненни и, следовательно, (Йй)» = [(Йй)» м«)9, — За,Уй+1 (Йй)« — Ь» ()«й)») + О (М). Остается теперь только учесть, что (ЬЦ.~Р« — Ь»Р») = »«Ь«У» ~»1) «+ О 1Й«), так как Р, Р» «««+ 0(Ь«), и, Р«+««1+ 0[Ь» «), (Йи')' й — 1, (Йп') й' — 1', и записать «у в виде »Р = Ли«ю+»р — и« вЂ” ((Йй)'+ ~ — и) «-«.
Из формулы (54) видно, что з) = 0,5а(Ей+и-) — Йй +т(Π— 0,5)аи-, +0(Ь«) = 0(ЬА+ т ~). Перейдем к выяснению точности схемы (49). Для етого нам понадобятся априорные оценки решения задачи (50), учитываю- пше специальную структуру (53) правой части «у. Рассмотрим, о как обычно, пространство И Н сеточных функций, заданных на»е« и равных нулю при х О, х 1, и введем скалярные про- изведения и-1 Ф-1 и. (У Р)е= Х У«Р«Й«(У,Р)= Х У«Р«Ь«, (У,Р) =Х У«Р«Ь«. » 1»-1 $-1 Определим оператор А: Н- Н: Ау= — Лу = — (ау ), для любого уаН.
Очевидно (см. гл. 11, $4), что А — самосопря«конный положи- тельный оператор А Ае>0, так как (Ау, и) = (ау-, ий] = (у, АР). Далее, имеем (Ау, у) = (ау-, у„-]) е« (у-, у-], $у$с= шах )у»[<-(у-,у-]1»1<=(Ау,у) е<«<я з * * й ~'с Представим решение задачи (50) в виде Х и+»Р, где и — решение той же задачи с правой частью $ = цй, а ив решение задачи (50) с правой частью»У $е. Схема (50) устойчива при 1 1 4~ О~ОМ ОА= г — ~~,, 1А]<у* где Ь» ш«в Ь».
«а«а» з < схвмы для твавнвния тжпюпгонодноаги 393 Для с используем априорную оценку (41), а для ю — оценку (42) и учтем, что ~т)-, ~а, я~=1тф, где ~6]~= )< (1< т)»1 а также 1 1з1 < 1«1+ 1и<1. В результате получим оценку при а ~ а., а. 0,5 — И вЂ” е)/(тНА1). Предположим теперь, что й(х), 1(х, г), и,(х), и<(1), и»(г)— гладкие функции, и выполнены условия, при которых В = О()Ь('+т '), В~=О(~Ь~'+т»), ф» = О(1Ь(з+'т'). (56) (57) Это следует из априорной оценки (42) /< ~<я 1~ '1~( — ' — .~', 4ф' ~'„-1 при а~)а,. 2» Тогда схема (49) на любой последовательности неравномерных ««» сеток (<»<) равномерно сходится со скоростью О (т + ) Ь )з), где 1Ь! шах Ьь если а > а.. Это' следует иа (55) и (56).
<смя Остановимся кратко на вопросе о сходимости схемы (49) в классе разрывных коэффициентов, проводя аналогию со стационарным случаем 4 4 гл. 111. Будем предполагать, что: а) функции й(х) и )(х, г) могут иметь конечное число разрывов первого рода на прямых, параллельных оси,координат Ог; б) сетка <з»=е«,(<?) выбрана так, что все линии разрыва функций й(х) и 1(х, <) проходят через узлы этой сетки; в) в областях между линиями разрыва функции й(х), )(х, Ф) и и(х, <) достаточное число раз дифференцируемы, так что во всех узлах сетки <э<(К) имеют место формулы (53),'(54) и справедлявы оценки (56).
Заметим, что ф< определяется по формуле (47). Если выполнены условия а) — в), то схема (49) сходится равномерно со скоростью О (т » + !Ь ~ ) на специальных последовательностях сеток <е»(<о. 3 а качание 1. Сходимость с той же скоростью в сеточной норме <., имеет место при более слабом условии в): ц = О (Ь'+ т '), ф» = О(~ Ь)'+ т'). 394 Гл. чп. ОдноРОдные схемы для нестАционееных уРАВнений Замечание 2. Для схемы с опережением (о= е) равномерную сходимость со скоростью О(!ЬГ+ т) можно доказать при помощи принципа максимума (ср.
и. 4). 6. Сосредоточенный источник тепла. Рассмотрим нестационарную .задачу теплопроводности при наличии в точке х = $ сосредоточенного источника тепла. В этой точке решение задачи (е) — (3) удовлетворяет условиям сопряжения (см. т 1 гл. 1): [и)=0, ~)е — 1= — О прн х=$, (53) где Ч = Ч(Ф) — мощность источника. ди1 Условие разрыва теплового потока ~)едв) = — () означает, ди что разрывны первые производные —, т.
е. решение и и(х, Ф) имеет на прямой х = 5 слабый разрыв. Коэффициент х(х) и функцию ~(х, е) здесь считаем непрерывными и гладкими. Чтобы написать однородную разностную схему, учитывающую источник О при х $, воспользуемся интегро-интерполяционным методом. Предположим, что сетка ю, равномерна и 3 — х„+Ой, 0<6<05. Тогда во всех узлах х~ Ф х„Н Ф е) разностное уравнение имеет обычный вид (6).
Напишем уравнение баланса для интервала х„у,<х<х„+О, при фиксированном е=е Гые,е. Учитывая, что ()ей)'еех = ) (йи )' еех+ . ~ ()ей)' еех =)ей~ + 'в-е,е -е,е $ вв+е,е + ()Ей) = Юв+ИŠ— Ш Е|Š— (), ЕЕ = йй, будем иметь вп+еР ,) 2 де (х, е) Зх = ед(хп+е(е, $) — к'(хв — 1)м г) — О Я + )ефп (59) "в-е!е Совершая отсюда обычный переход к разностному уравнению, получаем Уе=ЛУ +ф+ а ПРи х=хп, (е) О (е) где Лу = (ауй)„. Таким образом, схема для задачи (е) — (3), (58) имеет вид уе = Лу~~~ + ф + —, Д (т) бе в, О ( х пв х» ( (, г = г; ) О, (60) уе = р» у» = ре у (х.
0) = не(х) где бс „— символ Кронекера. % ь схемы для РРАвнення теплопэоводности 395 Для погрешности г у — и получаем уравнение с правой частью ф = Ли~~~ + ~р + —, О (5) 6;, — иг (65) и краевыми условиями гю О, гп О, г(х, О) =О.
(62) Пользуясь уравнением баланса (59), преобразуем выражение для невязки к виду 1Р=. Ч +1Р"', Ч = аи-'„' — йй (63) (здесь, как н выше, Р;= и(х;, „г)), %+ 0,5 «1-0,5 (64) Для определенности будем считать, что 6 ~ 0,5, т. е. х„~ $ < < х„+„,. Тогда 9; = 0(йг+ т ~) для всех г-ел+1, ~~ = 0(Ь'+те) для всех 5~п. По аналогии со случаем раэрывных коэффициентов (см. п. 4) находим и„- „+ —— Оип + (г — 6) и~ + 0,5Ь [(1 — 6) ги — Оги«1 + О (Ьг). Так как а„+, = й($) + (0,5 — 6)йй'Ц) + 0(йг), то а«+гий „+, —— Оюп + (г — 6) юп+,О (Ь). Учитывая эатем, что юп юп = — О (йи )~+мг = и7~+ Ь(О 5 — 6) (йи )«+ О(йг) находим ц„„-60+0(й) -ОЕ. (65) Нетрудно заметить также, что ф = 0 (Ь). (66) Последующая оценка погрешности г проводится так же, как и в п. 4; при этом и скорость сходимости получается той же, что и в и.
4. Однако в данном случае выбор коэффициента и а а не улучшает порядка точности. Из формулы ц„+,=60+ + 0(й) видно, что ц„+, 0(й) и, следовательно,5 э~=О(йг+т ~), если 6 О, т. е. источник находится в узле сетки. Поэтому следует выбирать неравномерную сетку юп(0) так, чтобы источник попал в узел; тогда схема (60) сходится равно- $96 Гл. уп. ОднОРОдные щидсы для нистьционаувьгх угдвнвний мерно со скоростью 0([Ь[с-[-т '). Однако если вычислять коэффициенты ас по формулам усеченной схемы второго порядка точности (см.
гл. П1, $7, п. 2), то получнм разностную схему точности 0'[[Ь[с+т ') при любом значении 6 ш [О, 11, т. е. при любом положении источника. 7. Сосредоточенная теплоемкость. рассмотрим краевую задачу для уравнения теплопроводности с нестандартным краевым условием, когда па одной из границ, например при х О, помещена сосредоточенная теплоемкость величины С,. Тогда при х= О ставится краевое условие вида Ссас йа, х= О, Сз=сопзд)0 (67) (см. п. 5 $1 гл. 1), и мы получаем задачу а-,= Ли+У(х с) 0(х<1, с)0, с:и=а-(й~-"), Сс у) = й —" при х = О, и(1, с) = О, п(х, 0) = ие(х). Чтобы построить однородную схему 'для этой задачи, надо аппроксимировать краевое условие при х = О.
Для этого используем интегро-интерполяционный метод. Напишем уравнение баланса для прямоугольника О с х с х~ь = 0,5Ь, сс~с<с„,: ид ° [и(х, с~~.д) — и(х сс)[с[х = сс» сс.дд зч [кс(х.п, С) — лс(О,С))й+ ~ ~ ~(х, С)с[хс[С, сс сс 'е ае где ш(х, с) = й а,. Подставим сюда лс(0, с) = (й ц) = С у(0, с) и учтем, что с;+, 1 В Се — "(О, с)с[с= Сс(и(0, сс+д) — и(0, сс)) = С;си,,с. сс После замены интегралов ло х простейшими выражениями 0,5йп, и 0,5Ь~|, а интегралов по С вЂ” 'выражениями тад(с~~ и т4е), приходим к следующему разностному краевому условию: Сус, з = аду,',~, + 0,5йсе'», С С, -(- 0,5Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
