А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 67
Текст из файла (страница 67)
П1 для стационарного уравнения и заменим в нвм у, нау„, 1(0) на(1 — — ), затем— (о> г ди( ди д») д» на и„ а и на у. В результате получаем краевое условие а» А'У~,о = 4 У»,о — 4 1о <-><,> Ь А <,> которое можно также записать в виде 4 - (о> У».о = — „а» (») У*".о + Фо»ро = 1о". Вместо)(о~> можно взять |(О, 1). 2ао 404 гл. тп. одногодныв схвмы для нвстьционАгных гг»внзнин Присоединяя сюда условия при х = 1 и 1 О, получас»» раз- ностную краевую задачу у» - Л(1) у"' + р, О < х - »)» < 1, з - ут > О, у„р„у(х, 0) п»(х), х»в е»», где Л(»)у= — а,(»)у при х = О, Л(Ю)у= — (ха(х,»)у ) прн »» О < х = »а < 1, х = х» — О 5Ь. Если от» О, то разностное уравнение для у» решается методом прогонки. Для погрешности х у — и получаем задачу з, - Л(1)зо» +»у, 0 < х = й < 1, »» ) О, з, — О, з(х, 0) = О, где »Р Л(1)ио»+»р — и,.
По аналогии с п. 4 т 5 гл. 1П невязку»р представим в виде »р = — (х»)) +»р» +»р»», ») = аи»ю — (Йи') где )) = 0(МР+т '), »р» = О()»»/х), »у»» = 0(»»а+ т). Далее, для оценки з применяется метод стационарных неоднородностей и соответствующие априорные оценки. В случае схемы с опережением (а 1) можно воспользоваться пришшпом максимума и доказать, что схема сходится равномерко со скоростью 0(Ь»+ т). Остановимся теперь на задаче теплопроводности в случае сфвркческой симметрии. Используя результаты п. 5 $5 гл.
111, можно сразу написать схему для задачи (81') — (82)» у =Л(»)у»»+ р при 0<х=»)»<1, г»)0, у»»»=рз, 1ЪО, у(х»,0)=и (х»), х»екюю где Л(»)у» = — (х»»а(х»Я) у„- )„при 1>0, в Л(»)у» = а а»у».» »р» = ~(х», ») при»р» = )»ю при 0 ~1 <.»»'. Для решения полученных разностных уравнений можно прнмекять обычный метод прогонки. Исследование невязки и оценка точности схемы проводятся так же, как и в случае цилиндриче- 6 ь схнмы для угзвнвния тнплопговодностн 4()5 ской симметрии. По аналогии с $5 гл. 1П пишутся разностные схемы на «потоковых» сетках ел.
12. Периодическая задача. Рассмотрим задачу о распростра- нении тепла в однородном тонком круговом кольце О~ф<2н радиуса г,: — — — 0«:;ф«2я, С')О, и(ф,О)=и,(ф). е Ф Для однозначного онределення и(ф, е') должно выполнятьсн условие периодичности и(ф+ 2я, г') и(ф, г') для любого ф еи (О, 2н), которое можно заменить условиями сопряжения в' точке ф *0: и(0+ О, Г') = и(2я — О, 1'), дз! ' ди дф ~~р еде дф е аз-е' Заменой переменных х = ф/(2Я), е = аеГ'/(2нг~е) преобразуем отрезок О~ф<2н в отрезок 0<*<1, а уравне- ние — к виду — — 0(~х. '1, Ф) О, и(х, 0) — ие(х), и(0+ О,г) = и(1 — О 0 дэ(0+О, е) дз(1 — О,е) Введем сетку ве (х~ 'Ь, 1 О, 1, ..., У, Ь 1/У) и напишем простейшую неявную схему уе =у-, 0<х= Й~1, д= )т>0, у(х,О) =ие(х).
Первое иэ условий сопряжения и(0+0, Ф) и(1 — О, Ф) дает Второе условие аппроксимируется, по аналогии с гл. П1, $5, п. 2, уравнением усе=у- . При этом точки х=О и х 1 считаем совпадающими и ставим условие Уз+е Уе Таким образом, разностную схему пишем во всех узлах 1 1, 2, ..., У сетки ве, учитывая условие периодичности уз+е р, при написании схемы в узле 1=У. 400 Гл. чп. одногодные схемы для нестАционьгных МРАВнений Аналогично ставится разностная задача и для уравнения с переменными периодическими коэффициентами — — (й (х, ») — ) + / (х, »), О «1, г > О, и(х,О) = ио(х), 0<х<1 и периодическими краевыми условиями (условиями сопряжения) и (О + О, г) = и (1 — О»»), й — ~ = й — ~ Все функции й(х, Г), /(х, 1), н,(х) периодичны с периодом 1, так что и,(х+1) =и,(х), /(я+1, Г) =/(х, 1), й(х+1, 1) й(х, 1).
Коэффициенты й(0+0, 1) и йИ вЂ” О, 1) могут быть различны: й(0+О, 1) тьйИ вЂ” О, 1). При этом производные дп/дх раэрывныо дк(0+О, 1)/дхчьдиИ вЂ” О, 1)/дх. Если отождествить концы х О и х 1, то условия периодичности можно трактовать как условия сопряжения в точке разрыва коэффициента й(х, 1). После этого становится понятным, что схему надо писать во всех узлах 1 1, 2, ..., Ф с учетом условия уяо» у,.
В результате получим однородную схему с весами: у» = ЛЯуон+»р(х, й), х= »Ь, » = 1,2,...,Н, г = (/+ 0,5)т, у(х,О)=ио(х), уя+»=у» уо=уя, где Лу= (а(х, ») у-„)„и коэффициенты а и»р находятся по обычным формулам, например, а» = й»-о, »р» = 0,5(/»-о+/»+о). Написанные условия однозначно определяют решение. Эта схема имеет аппроксимацию ОИс — 0,5) т+ т'+ Ь'). Для определения у = у»+» получаем задачу вида А;у», — С»у»+А;ы,уо.= = — Г"», » = 1,2,..., »»»', Уя+1 = У» Уо = Уя А» = ата»/Ь, С» = А»+ А»о»+ 1, которая решается методом циклической прогонки (см.
Дополнение, 3 2). Для исследования вопроса об устойчивости и точности рассмотрим пространство Н сеточных функций у(х»), заданных при 1=1, 2, ..., Ж, У+1 и удовлетворяющих условию периодичности у»»+ у», у»= у,. В Н вводится скалярное произведение (и, к») = Х и»л»»Ь и норма 1Р1! Ч(ц с). » 1 Пусть Ау = — Лу при у»ИН. Для А справедливы формулы Грина и А А» >О. Далее следует воспользоваться результатамн 6 2. схемы для уРАВнении ГяпеРВолического типА 407 общей теории устойчивости из гл.
т"1, в силу которой построенная здесь схема безусловно устойчива при о > 0,5. При о=1 для нашей разностной задачи справелив привпрап максимума при любых т и й, из которого следует равномерная устойчивость по начальным данным и по правой части, а также равномерная оходпмоеть со скоростью 0(т+ Ь*). б 2. Однородные разноетиые схемы для уравнений гиперболического типа 1. Исходная задача. В прямоугольнике Р,-(0<х< П Х(0<1< Т) будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения второго порядка гиперболического типа — а=/ +/(х,т), ~н= д (/а(х,т) — д), (х,2)~Р„ д» да диа дс к(х.О) =на(х), —",, (х,О) =еа(х). и(0,2) = и1(2), и(1,2) = иа(с), 0<с,~(/а(х, С)~(са, (2) (3) 2. Однородные раэиоетиые схемы.
Перейдем к построению однородной разностной схемы с весами для задачи (1) — (3). ПУсть ааа (х„, 1 О, 1, ..., )У, х, О, х» = 1) — пРоиэвольнаЯ неравномерная сетка на отрезке 0 < х - 1, в, (Га =/т, у' = О, 1, 2, ..., /а) — равномерная сетка на отрезке О~а Т, юаа= юа Х в, — сетка в прямоугольнике Р,. Построение однородной схемы для задачи (1) — (3) начнем о аппроксимации г и+/ раэностным оператором Ли+ д = (а(х„т) и-)-„+ у при фиксированном С ав ю,. где Рт = (О < х < 1) Х (О < $ < Т) .
Как обычно, предполагаем, что зта задача имеет единотвееное решение, непрерывное в замкнутой области Ют и обладающее требуемыми по ходу изложения производными. Допуокаетоя, что коэффициент /а(х, 2) (и правая часть /(х, г)) может иметь разрывы первого рода на конечном числе прямых, параллельных оси координат 02 (неподвижные разрывы). На каждой линии разрыва х $„2 1, 2, ..., з„выполнены условия сопряжения (непрерывность функций и и йди/дх при х ° $., д 1, 2, ..., 2.): (н) е($,+О, 1) — е($,— О, Г) =О, (/ади/дх) О. (4) 408 гл тп одногодныв схимы для нистацконагньтх ггавнвнии Заменяя дзиlдтзЬ ~ и-„, Хи+7 Л(~у)и ' ~ +<р, где (зиет) и ' = а,и+ (1 — а, — ат) и+ а,и, Л(ц~)и=(а(х,д)и-)9, и=ив, и=ир ~, й=и~+т, получаем однородную трехслойную схему с весами уй = Л (тт) у ' ' + р (5) Коэффициент а берем на среднем слое т Подставляя в (5) у = у + ту о+0,5тзуй, у = у — ту ~+ 0,5тзу;„ где у. = (у — у)/(2т), уй = (у — 2у+ у)/тз, получим у ' ' = = у+(а,— аз)ту.
+ 0,5(а, +а,)т'у;„после чего запишем схему (5) в виде (Š— 0,5 (аз + а,) тзЛ) у;, — (а, — а,) тЛу~ = Лу + ~р,. (6) где К вЂ” единичный оператор. При а,=а,=а получаем симметричную схему (К вЂ” ат'Л) уй = Лу+ ~р(х, й), 0(С = 7т, '(7) изучением которой и ограничимся. Краевые условия и первое начальное условие удовлетворяютск точно: у(0, т) и,(т), уИ, т) и,(т), у(х, О) = и,(х). (8) Второе начальное условие ди/дД1,=й,(х) можно аппроксимировать двумя способами. Один из способов указан в гл. 11: у,(х, О) й,(х), где й,(х) = й,'(х) + 0,5тЯи, + У)~,.
(9) Он имеет второй порядок аппроксимации по т. Второй способ состоит в том, что для определения у(т) пишется разностное уравнение (Š— ат'Л(0))у,(х, 0)~ й,(х)+0,5т(Ли,+~(х, О)). (9') В результате задаче И) — (3) ставим в соответствие однородную разностную схему, определяемую условиями (7) — (9) (или (7), (8), (9')). Эта схема является трехслойной.. Для вычисления значення у у ' на новом слое надо знать значения у~ и уь ' на двух предыдущих слоях. На каждом новом слое т =ты, решается $ 3.
схемы для Ргьвненин гипеРВолического типа 4»)9 (методом прогонки) краевая задача относительно у у»+»» И вЂ” ОТ»Л)у =)/, 0 ба Х = Ей ( 1, у, и„ри- Е„(10) )г(Ф) 2р — у-т*ЛИ2с-1)р-оу)+т'»р, 1> г, )г(0) и, +»*(0,5 — о)Л(0)в, + тй»(х) + 0,5т7(х, 0). 3. Погрешность аппроксимации. Пусть и(х, Ф) — решение задачи (1) — (3), у(х», »/) = у»» вЂ” решение разностной задачи' (7) — (9). Напишем, как обычно, уравнение для погрешности з»/ = у1 — к»,' » где и» = и(х», »/). Подставляя у = з+ и в (7) — (9), получаем (Е-от»Л)г»» = Лз+ ф(х,»), 0<х(1, Г>0„. (11) з (х, 0) = О, з (О, ») = з (1, ») = О, е, (х, 0) = т (х), »р (х, /) = Л (») и — ий + т'Ли»»» т(х) = 0,5т(Ьи»+1)»=~+ и,(х) — и»(х, 0), (12) где ди» / д/ д~и '1 3» = а»и- — »'й — /1 + от'а»и- - + — ' » — — — /», (14) ия» аи /» з/в»»и» 8 ( ди д»иди)» »р» = 0(т'+ Ьз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
