А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(69) Задаче (68) мы ставим в, соответствие следующую разностную схему: Ус = Лусас + срс 0 < х = сй < 1, 1 = ут ) О, (70) Сус, о =. азу„".'+ 0,574", г) О, у„= р„у(х, 0) = ио( ). Из условия при х 0 вырааим у,: са т Уо = 111У1 + тп 111 =,( Ьс чг= й)0 5йт~~~~+ ас(1 — а) ту„а+ СУ "1(Сй+ а т).
Отсюда видно, что 0 ~ ис < 1 при с > О. При 1 ЛС имеем условие первого рода У» (11. (72) Для определения ус = ус получаем разностное уравнение С+1 второго порядка с краевыми условиями (71) и (72); эта задача решается методом прогонки. Разностное уравнение и краевое условие при х=О имеют оспснаковый порядок аппроксимации 0 (т а + йо).
Достаточно оценить повязку Р, = Сис„—, Са?о — 0,5йй". После подстановки сюда выражений а и„о — — (аи„-) = (йи'), + 0 (йз) = (йи')о + 0,5й (йи')' + 0 (йо), (йи') ='Соио, (йи')о = ио — со, получаем сР„= С(ис,о —, и(~~с)+ 0(й'-"с = 0(йз+т а)с что и требовалось. Для погрешности з у — и получаем задачу ос = ЛУС»С+ сР, сР-= Лис»1 + ср — ис, О < х< 1, Сзс, о — — асз,",'о+ сР„, .зл = О, з (х, 0) = О. Отсюда видно, что пространство Н есть пространство сеточных фуНКцнй, ЗадаННЫХ На ОС1 И раВНЫХ НУЛЮ Прн 1 ссС. ВВЕдои СКалярное произведение в Н: Л-1 [у о) = ~~)' усосй + 0 5йуозо С 1 и определим операторы (Ау)с= — (Лу)с при О<1<К, (Ау),= — — ""'', Э (хсУ)с = Ус ссрн 0 <1< асс ФУ)о = С~,СУо.
4 ! 398 гл. Р11. ОднОРОдные схемы для ннстлцноньгных РРАЕ нин Тогда задачу (73) можно записать в виде Рз, +Азоо — 1), Ф=)т>0, з(0) =О,,! (74) так что В Р +атА. ! Оператор Р, очевидно, самосопряжен и положительна определен: Р) с Е, где сэ = шип (1,2Сй). Оператор А также самосопряжен и положительно определен (см. гл. П, $4): А А" >О. Операторы А и Р перестановочны: АР .РА. Условие устойчивости схемы(74) В-О 5тА =Р+ (а — 05)тА>0 со выполнено, если а)~ 0,5 — — = а .
Доказательство сходимости схемы можно получить, если для задачи (74) использовать априорные оценки из гл. Ч1, 'т 2. Тогда получим, что схема (70) равномерно сходится со скоростью О(: +Ьз). 8. Случай, когда коэффициент теплопроводности й зависит от з, й=й(х, Ц. До сих пор мы, для упрощения изложения, предполагали, что коэффициент теплопроводности )с зависит только от х. Рассмотрим теперь случай, когда й = )с(х, 1), т. е. общее уравнение (1) щ = д-()с(х, г)з-)+ ~(х, 1), 0( с (Ус(х, г)(с, с теми же краевыми и начальными условиями (2), (3).
Вместо (6) напишем разностную схему = Л(1) у~ ~ + <р (75) о где Л(1)и =(а(х, о)с~~)„, 1= о)+ело а коэффициент а(х, 1) при каждом фиксированном значении С определяется так же, как и в и. 2 или в и. 4. Погрешность аппроксимации этой схемы 1Р = 0(тм" + й'), если й(х, $о) ыСЕО [О, () при каждом фикси-.
рованном $ = 1 . о В пространстве сеточных функций И Н вводится оператор о Ау — Л(1)у, у ы Й, который является переменным оператором (зависящим от 1). Поэтому для применимости общей теории устойчивости необхо- димо потребовать, чтобы А(~) удовлетворял по Ф условию Лип- шица !((АИ) — А(à — т))у, у) ! ( тсо(А(à — 1)у, у), которое )(ыполнено, если коэффициент Их, Ф) лшппиц-непрерывенпот д, !Их, Ф) — й(х, г — т) ! < тс,1с(х, Ф вЂ” т).. Все результаты пп. 2 — 4 сохраняют силу для схемы (75). Рассмотрим теперь более общий случай, когда теплоемкость с = с(х, д), т. е. уравнение с (х, й) — — (й(х» г) )+ ~(х»»)» где с(х, ») > с, > О, 0< с, < Их, д) < с,. Соответствующая однородная разностная схема имеет вид рЬ, »)у Л(»)у»" +ф(х, й), (76) причем р и ф вычисляются при помощи одного и того же шаблонного функционала, например, р(х„Е) сЬ», ») или р(х», ») = 1 = — (с(хс — О, »)+ с(х»+ О, Ф)), если с(х, ») разрывнав узлех=.хл Схема (76) устойчива при условии 1 сд п>оз(г), ол = — — =, 3 т'»А (д)сс и, следовательно, безусловно, устойчива при о ) 0,5.
Замечание. Мы до сих пор всюду считали, что сетка по д равномерна. Однако все оценки сохраняют силу и для двухслойных схем на неравномерной сетке, когда шаг тс= »с — дс» является функцией у. Очевидно, что сетку по д легче менять в процессе счета, чем сетку юм уменьшая, например, шаг тс в области сильного изменения по г правой части сЬ д), краевых значений )д,(д), )дд(д) и коэффициента Й = Их, г). Если же известно поведение решения задачи на грубой сетке, то шаг тс надо уменьшить в интервале, где решение быстро меняется по д. Сетку од, можно менять в процессе счета (с изменением дс), по мере надобности. При изменении (измельчении, например) сетки ед при д дс функция у» должна вычисляться в новых узлах сетки едд. Для повышения, например, точности по т можно использовать вычисления на нескольких сетках одт„ едд по аналогии с тем, как это делалось в гл.
Пд, $ 4. Предположим, что для равномерной сетки едд, справедливо представление „»»+»дс.ь™ ! ~ тл' ! О()дт'+тлю) и >т,>О,п~ пд>0, (77) где »д»с и р„ не зависят от )д и т. Пусть Уь (хм Гд) и Уи (х», ГС) — решения разностной задачи с разными шагами т, ' т и т»=0,5т. Образуем линейную 400 гл. тп.
одно%юдин»в схемы для нистлционлвных тглв нии комбинацию Улс (х, с) = с»улс, (х, с) + ссул»з (х. С), С = 1т, 1 = 0,,1,..., подставим сюда вместо улс» и улс выражение (77) И потребуем, чтобы козффициеит при и 1 обратился в нуль, то найдем значения с, = 1 — с„сс = — 1/(2"1 — 1), при которых у = и+ 0 (Ь '+ ч"1). Аналогично, проведи расчеты для двух сеток»ел и сес,»„при фиксированном т, получим сеточное решение у, имеющее точность 0 (Ь с + тес): у = и+ 0 (Ь '+ тес). Все зти рассуждения проводятся в предположении достаточной гладкости решения и = и(х, С) и всех данных исходной задачи, при которых существует асимптотическое'разложение у — и+ аьм1+ ()тв1 + 0 (Ьтс+ тес) 9.
Третья краевая задача. Рассмотрим краевую задачу — "»=1и+с(х, с), Ли= е (Ь(х, с) —,"), 0(х<1„ Ь (О, С) — = р» (С) и (О, С) — )»1 (С), )31,~»с О, — Ь(1, с) з ' — — рс(с)и(1, с) — рс(с), рс~)0. В гл. П1, $5, п. 1 было получено разностное условие третьего рода для стационарного уравнения с:и+1 О. Формально переход от стационарного к нестационарному уравнению можно рассматривать как замену 1 на 1 — ди/дС. Применяя этот прием прн выводе разностных условвй, аппроксимирующих краевые условия третьего рода, приходим к следующей разностной краевой задаче: ус= Л(С)(оу+(1 — о)у)+ ~, 0(х» = »Ь(1, с; = ус>0, а» (С) (оуЬ,1+ (1 — о) у-,) = ()1 (Э (оуе + (1 — о) у,) + рз (С) + + 0,5ЬУ», с, — аи(с)(оу*с я+(1 — о) У-,, «) рс(с) (оун+ (1- о) усс) + + (,(с) + 0,5ЬУ».и.
Здесь (л» = »»,(с) — 0,5ЬУ(0, с), р, = »»,(с) †' 0,5Ь|(1, с), 1=0+0,5т. 6 с. схимы для ргйввввня твплопговодноотн 401 Приведенная выше схема имеет точность 0(т'+ Ьд) при о =0,5, 0(т+ Ьд) при о) 0,5. Запишем эту раэностную схему в виде, пригодном для применения метода прогонки: у Л (й) у — — = — Р, уа = хдуд + „ул = и у, + т„ где а, (с) ая (с) ад (с)+ЬВд (1)+Ь /(2ат) ™ ая (с) + ЬВа (с) + й /(2о с) (1 — о)(ад(с)у;, — В (с)у )+О,ььуо/т — сд о(ад (с)/й+ В. (с)+ й/(2ос)) (1 о)/д а (с)уа и В (1)у )+Озйу / Сд о(а, (с)/Ь+ В (с)+й/(2ос)) Р = ((1 — о) Л (й) у + у/т + ср (й)) о-'. Прогонка устойчива, если о > О, так как 0 < х, < 1, 0 < х, < 1.
10. Монотонные схемы для параболвческвх уравнений общего вида. Рассмотрим для параболического уравнения. общего вида следующую задачу в Пг = (0 < А 1, 0 <с < Т): е (х, й) — с — — Ьи + / (х, й), и (О, й) = и, (й), и (1, й) = иа (й), и (х, 0) = ио (х), Ьи = — (й (х, й) — ) + г (х, й) —, — у (х, й) и, '0(с,(й(х, й)(е„с(х, й))сд)0, у~~О. В гл.
П1, $5, п. 3 были получены монотонные схемы второго порядка точности для стационарного уравнения Ьи+/ О, раз- решимые при любых Ь и г(х). Чтобы получить для (78) монотонную схему, для которой справедлив принцип максимума при любых Ъ и т, рассмотрим уравнение с возмущенным оператором с' да а д / дад да с(х, й) — = ьи+ 1, Ьи = х- [Ь-) + г- — ди, дс ' да да да ' (70) х = (1+ )д)-д, В = 0,5Ь )г)/Ь.
Оператор с, при фиксированном й й й,+ъ аппроксимируем разноствым оператором (см. гл: 111„ $5, и. 3) Лу = х(ау-), + Ь+ас+д)уа+ Ь ау-- сйуд где а А [й (х+ зй, й)], сй = Р [д (х+ ай, й)], Ь+ = Р [ гя (х+ ай, й) ], г~ = г~/Ь, г+ = 0,5 (г + (ф ~в О, г = 0,5 (г — )г)) ( О. 2Е й. й. Оааараааа $».
схемы длЯ УРАВнениЯ тегигопРоводности 403 В гл. П1, $5, пп. 4 — 5 были изучены однородные схемы длн стационарных уравнений в сферической н цилиндрической системах координат. При х 1 будем ставить обычное условие (первого нли третьего рода), например, и(1, ») = )»,И), (82г а при х 0 естественное условие ограниченности решения Пш йх — = 0 для (81), 1(ш йх' —" = 0 для (81'). о~о о-~о Рассмотрим сначала задачу теплопроводностн в случае цилиндрической симметрии » = Ми+ 1(х, С), Ьи = -д (х)»(х, 1) — ">, (83) г)0, 0<х(1; и(х,О) = ио(х)„0(х(1; хйдиlдх(о= О, и(1,() = р (<), Г)0.
Введем равномерную сетку на отрезке 0 < х ~ 1: о>л (х» = »)», » О, 1, 2, ..., )У, ЪБ =1), и сетку о>, (»» =ух, 1 О, 1, 2,...) Еа отрезке 0 (» ~ Т. Оператор Ь, следуя и. 4 т 5 гл. П1, аппраксимируем раз- ностным оператором » Л(1) и»= — (х» *Ла»и- .) . Ьи, о» где а»* а(х», 1) и уравнению (83) поставим в соответствие схему с весами у," Л(1)уоо+»р, »р=1(х, 1). Чтобы получить разностнов краевое условие при х= О, воспользуемся условием (34) из т 5 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
