А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Краевые задачи для дифференциальных уравненийДля нахождения решения сеточной задачи используются следующиерекуррентные формулы для вычисления прогоночных коэффициентов(прямая прогонка):6+i=>t+i =A,,7. ~ otitir>* = 1>2,...,JV-1,t=\,2,...,N-IприДля решения имеем (обратная прогонка)!/« = &+iSfc+i+0«4i.* = 0 , 1 , . . . , J V - 1,удг = 0.Пусть для системы уравнений (10.21), (10.18) выполнены условияЫ>0,|Д|>0,Ы > l«,-| + Iftl,i=l,2,...,iV-l,г=1,2,...,ЛГ-1.Тогда алгоритм прогонки корректен, т.е.
в расчетных формулах 7i —aid Ф 0.В настоящее время существует ряд вариантов метода прогонки,ориентированных на определенный класс сеточных задач. Среди нихотметим прогонку для задач с периодическими граничными условиями,метод прогонки для пятиточечных разностных уравнений.10.3. УпражненияПриведем некоторые примеры построения и исследования вычислительных алгоритмов для приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.Упражнение 10.1.
Найдите решение краевой задачи (10.1), (10.4) на основерешения задач Коши.Решение. Среди возможных подходов к сведению граничной задачи к задаче Коши отметим метод вариации постоянных. В этом случае решениепредставляется в видеи(х) = у(х) + c\v(x) + с2го(:с),14710.3. Упражнениягде С|,с2 произвольные постоянные, y(x),v(x) и w(x) — решения следующих задач Коши:lx~{k{x)aV)+4{x)yу(0) = 0,= f{x)0<x<1''* ( 0 ) ^ ( 0 ) = 0,d (dv\-Tx(k{x)te)+q{x)V' ° <x<i,= 0dv*(0)—(0)=1,t>(0) = 0,/dw\— ([k(x)—\+q(x)wfc(x)—]+g(x)w == 0,Q,0 0<x<l,dww(0) = l, fc(0)—(0) = 0.Граничные условия (10.4) приводят к системе уравнений-с,+0\сг = р.иС ( * ( * ) £ (0 + *2»(1)) + С2 ( * ( 0 ^ ( 0 + *2Ш(1)) == Л ~ * ( ' ) £ ( * ) "*2«(0для определения постоянных ct и с2.Упражнение 10.2.
Аппроксимируйте граничные условия третьего рода (10.4)со вторым порядком для решения уравнения (10.1) при использовании расширенной на полшага сетки.Решение. Введем сетку с узламих{ = х0 + 1к,г = 0,\,...,Ы,h!„ = - - ,xN=lh+ -,т.е. сетка сдвинута на полшага. Для внутренних узлов (х*, г = 1,2,...,N - 1) применяется обычная аппроксимация (10.10), (10.14). Для достаточно гладкой функции и(х) имееми(х) = - (и(х + 0,5Л) + и(х - 0,5ft)) + 0(h2),du1,„-,— (х) = - (и(х + 0,5Л) - и(х - 0,5Л)) + 0(h2).ОХЛ148Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийВ силу этого фаничные условия (10.4) аппроксимирую тся условиями-fc(0)i/z,o+ ffi—г— = /•*!,W)yx,N + 0-1Z= \Чсо вторым порядком.Упражнение 10.3.
Постройте схему четвертого порядка аппроксимациидля уравнения- ^+ q{x)u = f(x)(10.29)на равномерной сетке при использовании трехточечного шаблона.Решение. Используем стандартную аппроксимацию-Ух* + су = <р(10.30)и подберем сеточные функции с и tp. Погрешность аппроксимациив нашем случае есть/d2u\- cu = tp - f + [ aix - —^ J - (c - q)u =•ф = ip + uizНа решениях уравнения (10.29) имеемd*u__=,и поэтому. d2fu-qf-—22h2/h2 d2f\(ft2Поэтому схема (10.30), в которойh2с=Я+Т2Я,2h2<P = f +h2 d2fT2qf+T2dV2будет искомой схемой четвертого порядка.Л, .10.3.
Упражнения149Упражнение 10.4. Пусть погрешность разностной схемы (10. ЮЛ (10.14),(10.17) имеет следующий видV(x) = v°(x) + v*(a;), i>° = ti*, хеш,(10.31)причемV(x)= 0(h2),V » = 0(h2).Покажите, что разностная схема сходится со вторым порядком.Решение. Для погрешности разностного решения z(x) справедлива априорная оценкаl h l l + ^ ( N I + + ^o/2|k1|)-(10-32)Для ее доказательства скалярно умножим уравнение для погрешностиLz = if>(x), х^шна z(x) и получим равенство~((azi)z,z) +(cz,z) = (ip,z).Принимая во внимание, чтоfc(x)^ к > 0, будем иметь~((azi)x,z) = (aZi,Zi)+ ^ к(||г г || + ) 2 .Левая часть с учетом представления (10.31) для погрешности аппроксимации и неравенства Фридрихса преобразуется следующим образом:(iM) = (r,t,z) + tf,z) < -(т/,г 4 ) + + \\ip*\\ ||z|| ^<(||iT+^HI)NI + С учетом неотрицательности с это дает априорную оценку для погрешности (10.32).
Из этой оценки следует сходимость разностной схемы (10.10),(10.14), (10.17) со вторым порядком. Заметим, что при этом локальнаяпогрешность аппроксимации имеет только первый порядок.Упражнение 10.5. Постройте абсолютно монотонную разностную схемвторого порядка аппроксимации для краевой задачи (10.2), (10.5).150Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийРешение. При построении дискретных аналогов для одномерных задачполезно использовать возможность перехода от исходной несамосопряженной дифференциальной задачи к самосопряженной, для которой ужепотом строить те или иные аппроксимации.
От исследуемого уравнения(10.5) можно перейти к уравнению-te{k(x)di)+4^)u = f(x),0<x<l,(10.33)в которомЦх) = Цх)х(х),}(х) = f(x)x(x),q(x) = ф)х(ж),где*<*>=Ч-/$ИДалее строятся обычные разностные схемы второго порядка точностидля уравнения (10.33). Например, можно использовать разностную схему-{аУх)х+су= <Р(х), х€ш,(10.34)в которой, например,а(х) = к(х - 0,5h) = к(х - 0,5ft)x(x - 0,5ft),1-0.5ЛХ{х-0,5ft) =exp(- /g|ds).оС точностью до 0(h2) положимX(x-0,5ft) = X (z)exp(0( a; )),*(*) = ! | Щ -Левая часть (10.34) преобразуется следующим образом- ( < Ы * = ~к(х-0,5ft) ехр(<?(х))уг -- 4 rfc(*+ °-5h) ехр(-*(*)Ь»-10.3. Упражнения151Приходим к разностной схеме--(fc(a; + О,5Л)ехр(-0(а:))з/х - Цх - O,5A)exp(0(z))ys) ++ с(х)у = <р(х),хеш,которая является монотонной и аппроксимирует уравнение (10.5) со вторым порядком.Упражнение 10.6.
Постройте вариант метода прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений-a0yN+ 7о2/о - A)2/i = Vo,-«i»i-i+7i»i-A-y<+i =¥>»-<*NVN-I+1NVNt = l,2,...,JV-l.(10.35)~ PNVO = <PN,которая возникает, например, при рассмотрении краевой задачи для уравнения (10.1) с периодическими краевыми условиями.Решение. Будем использовать представление решения сеточной задачи(10.35) в видеyi = Vi+yNWi,г = 0,1,...,ЛГ.(10.36)В силу этого для новых сеточных функций v и w получим условияVfi = 0,WJV= 1.Далее подставляем представление (10.36) в (10.35). Из первого уравненияполучим7о"о - PoV\ = ¥>o,7о«>о - A>t»i = «оДля внутренних узлов получим-«<"•-! +7»«i-A-"i+i = fi,i=l,2,...,N-I,-a<Wi_i +ЪЩ - A % i = a 0 ,i - 1,2,...
,7V- 1.Тем самым для определения сеточных функций г» и w мы имеем стандартные задачи с трехдиагональной матрицей. Для их нахождения используется метод прогонки.152Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийДля определения уц используется последнее из уравнений (10.35):VNТЛГ - /?jvWo -QNWN-После этого в соответствии с (10.36) рассчитываются другие значениясеточной функции у.10.4. ЗадачиЗадача 10.1.
Рассмотрите возможность сведения краевой задачи (10.1),(10.4) к решению задач Коши на основе использования представлениярешения в виде (метод дифференциальной прогонки):йии(х) = v(x)—(x)dx+ w(x).Задача 10.2. Покажите, что на произвольной неравномерной сетке x, + i =х, + hi+\ разностное уравнениеX =2f *+• - * - »-*-Л +&)*+*+ *+*-1 =/(*>,Ы+i +h{ \ ht+lXi+\ +Xi + 1,-1h{)33аппроксимирует уравнениеd2u- ^ + « ( * ) * * = /(*)со вторым порядком в неузловой точке х = х.Задача 10.3. С помощью интегро-интерполяционного метода постройтеразностную схему второго порядка аппроксимации на равномерной сеткеw = {i | х = Xj = ih,i = 0,1,... ,N,Nh = l}10.4.
Задачи153для краевой задачи- - — (хк(х)^- ) + q(x)u = f(x),х ах \ах/du\imxk(x) — (x) = 0, u(l) = u.х—оах0<х<1,(10.37)(10.38)Задача 10.4. Для краевой задачи (10.1) с однородными граничными условиями постройте схему конечных элементов с представлением решенияв виде (10.16) на основе минимизации функционала (метод Ритца)'J{V) =2X)\I\^ (lxJ'2+4(x)v (x))dx- J f(x)v(x)dx.Задача 10.5.
Для решения задачи (10.1), (10.4) справедливо интегральноетождествоidu dvЩх) — — + q(x)uv - f(x)v)dx +ах ах/+ <r,u(0)t;(0) + ff2«(0v(0 ~ Mi"(0) - /*2«(0 = 0,где v = v(x) — произвольная дифференцируемая функция. На основеиспользования квадратурной формулы трапеций аппроксимируйте этоинтегральное тождество и постройте разностную схему для приближенного решения краевой задачи (10.1), (10.4) (метод сумматорных тождеств).Задача 10.6. При решении краевой задачиddut»(0) = l, u ( l ) = 0используется разностная схема-Нх)Ухх- fcj»- = 0.Покажите, что эта схема расходится в классе разрывных коэффициентов.154Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийЗадача 10.7.
Покажите справедливость следующих разностных аналоговпервой и второй формул Грина((аУх)х,и>) = -(а-Ух,и>х)+ + aNyitNwN-a^owo,{(аух)х,го) - (у,{awi)x) = aN(yXyNwN - yNwxjf)- a, {yXt0v>o - 3to«>x,o)на равномерной сетке.Задача 10.8. Покажите, что разностное уравнение-aiyi-i+Hyi-PiVi+i-Vi,а<^0,Д^О,i=l,2,...,JV-l,3/о = Мь Уы = (*2можно привести к симметричному видуам(уш~ Уд ~ а,(у, - yi-}) - by, = &,г = 1,2,...,JV- 1.Задача 10.9. Докажите, что для всякой сеточной функции у(х), заданнойна сеткеш = {а; | х = я,- = ih,i = 0,\,...,N,JVfo = J}и обращающейся в нуль при i = 0 н i = I, справедливо неравенство(теорема вложения для сеточных функций)l№*)L<yll*ll+.Задача 10.10.
Найдите собственные функции и собственные значенияразностной задачиУхх + Ху = 0,З/о = 0,УЛГ =хеш,0.Задача 10.11. Для уравнения (10.1), в которомк(х) > к > 0,q(x) > 6 > 0,10.4. Задачи155рассмотрите краевую задачу с условиями периодичностии(х + 1) = и(х).Постройте разностную схему второго порядка аппроксимации на равномерной сетке и исследуйте ее сходимость на основе принципа максимума.Задача 10.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
