А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим сеточную функция (мажоранту) ад(х), котораяопределяется как решение задачиSw(x) = \tp(x)\,w(x) = 0,хеш,х € дш.Пусть w(x) > 0 принимает максимальное значение в некотором узлеа;* б о). В этом узле в силу (11.8), (11.9) имеемD(x>(x*)- £B(x;t)(»(i)-»(*•))=\ф%f€W(x-)Отсюда следуетD(x>(x*) < Ых')\и тем самымНо функция м/(х) является мажорантой для рассматриваемой задачии поэтому приходим к доказываемому утверждению.Упражнение 11.4.
Пусть расчетная область G лежит в прямоугольнике Q,в котором введена сетка ш. Граница G состоит из отрезков, соединяющихузлы этой сетки. Получите оценки снизу и сверху для разностного оператораЛапласа в области G для функций, обращающихся в нуль на 8G.Решение. Подмножество узлов, лежащих в G обозначим w(G) и рассмотрим разностный операторLy = -у*,*, - уХгХ2 = <р{*), х € w(G),17311.3. Упражненияна множестве сеточных функцийу(х) = 0,х G дш{в).Доопределим функцию у, положиму(х)йЫ-/ywх е ш'~ \ о,^'х е w\w(G).В силу такого продолжения сеточной функции при использовании обозначений(«>У)«(0= Х^ v(x)y(x)/i,/i2x€w(G)получимllell = IHUo'( L ^y) = (£».»)»«?)•Для сеточной функции заданной в П имеет местогде8*84л4Аналогичная оценка*Н»|£(в)<(£»'»)-(о)<д11И1иоимеет место и для разностного оператора в области G.Упражнение 11.5.
Рассмотрите попеременно-треугольный метод для итерационного решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассна (11.10), (11.11).Решение. Разностный оператор Лапласа представляется в видеA = AI+A1=A*>0,гдеА\У=-гУх< + -гУх2,П\Й2Al = AltГлава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений174Будем использовать вариант попеременно-треугольного метода, когда(см. (11.26))В = (E + vA\){E + vA2).Оптимальное значение параметра" = *= Шгде в соответствии с (11.27)А^бЕ,Д6>0,A , J 4 2 S S — A.4Здесь 6 есть минимальное собственное значение оператора Лапласа,которое равно6 = -^ sinftчith\и; ц*т~ и2+- : _ 2 1Г/&2Принимая во внимание, что(Ay,y) = \\Vy\\2>\\yZl\\2+\\yX2\\\получим(А]А2у,у)y*ih\= \\А2у\\2+y*i\h2 j^т.е.л4h24h\Подстановка в (11.28) дает оценкуО 29 2К > К0{е) « Л г In vft£при решении задачи в единичном квадрате на квадратной сетке /ц =h2=h.Упражнение 11.6.
Пусть в итерационном методе (1121)А — А\ + А2, А\А2 = А2А\,6аЕ^Аа^АаЕ,Аа = А'а,6а>0,о =1,2,17511.4. Задачиа оператор В представлен в факторизованном видеВ = (E + i/Ai)(E + uA2).Найдите оптимальное значение параметра v.Решение. Скорость сходимости определяется постоянными 7 ь 72 в неравенстве (11.22). Поэтому сначала найдем их и выберем и из условиямаксимума отношения 7i/72В силу перестановочности операторов Аа, а — 1,2 имеемВ = Е- v(A\ + А2) + и2А^А2 + 2v(Ax + A2) == {Е- vA})(E - vA2) + 2vAи поэтому 72 = l/(2i / ).
Пусть6 = тт6а,Д = тахДа,аатогдаB = E + v(At + A2) + v2AlA2 ^ (-+v+ v2A)A.Следовательно<5~~ 1+1/(5 + и26Аи максимум 7i/72 достигается при711v-и0у/Кб'Рассматриваемый вариант соответствует использованию метода переменных направлений в сеточной эллиптической задаче с разделяющимисяпеременными.11.4. ЗадачиЗадача 11.1. Уравнения Пуассона в круговом цилиндре при использовании цилиндрических координат записывается в виде1 д ( ди\ _}_д^ид2и"г ~д~г V fr) ~7*Ъ^~~д?~ Hr^>z>-176Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненийПостройте разностную схему для этого уравнения с граничными условиями первого рода на поверхности цилиндра.Задача 11.2.
Постройте разностную схему для решения краевой задачи(11.1), (11.3) с условиями сопряжения при Х\ = х\:и(х\ + 0, хг) - и(х\ - 0, х2) = О,дидиfeX— (х"\ + °>х2) - k — (х* - М г ) = Xfo)дх\ох\Задача 11.3. Пусть в прямоугольнике ft с равномерной сеткой ш проведено разбиение на треугольники диагоналями от узла (i,j) к узлу(г + 1, j + 1). Постройте для задачи (11.2), (П.З) схему конечных элементов с использованием непрерывных, линейных на каждом треугольникефункций.Задача 11.4.
Рассмотрите аппроксимацию уравнения Пуассона (11.2)с условиями (11.3) в области с криволинейной границей с использованиемнеравномерной вблизи границы сетки.Задача 11.5. Сформулируйте достаточные условия выполнения принципамаксимума для схемы повышенного порядка аппроксимации для задачи(11.2), (11.3).Задача 11.6. На основе принципа максимума проведите исследованияскорости сходимости для разностной схемы для уравнения (уравнениеПуассона в круге)1 д ( ди\1 д2им1.Лс граничными условиямидиг—0orи условиями периодичностиu(r, ip) = щ(г, 27г + tp),0 < г < R,0 ^ <р < 2т.11.4. Задачи177Задача 11.7.
Получите оценки снизу и сверху для разностного оператора(см. (11.29))h] + h\Щ=-Ух,Х,-Ух2Х2ГХУх|Х,Х212,Х € Ш ,определенного на множестве функций у(х) = 0, х £ ш.Задача 11.8. Постройте схему повышенного порядка аппроксимации длязадачи Неймана для уравнения Пуассона:«=iах"- 5a i-l = /*- *2).<^ и<2Ъ /чsox\-=A*+W&и(2Ь0<x2</2,чЗадача 11.9. Аппроксимируйте граничные условия третьего рода«9м-к(0,х2)—+ <т(г2)и(0,Х2) = р(х2),ах\заданное на части фаницы прямоугольника П (на других участках границы — граничные условия первого рода), при численном решенииуравнения (11.1).Задача 11.10.
Постройте разностную схему для приближенного решенияуравнения четвертого порядкав прямоугольнике П, когда на границе задана сама функция и(х) и еенормальная производная (первая краевая задача).Задача 11.11. Рассмотрите аппроксимации на равномерной прямоугольной сетке системы уравнений теории упругости (уравнения Ламэ)д_ (дх~\ч#М|\д (диЛ{^^ax-J-ax-M^Jдх~!Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений178дх2\dxjдх\\дхг)dXiYdXi)Задача 11.12. Для решения сеточной задачиАу = <р, А = А* > Оиспользуется треугольный итерационный метод(D + r v l , ) -*- + Aif = 4>,тгде D — произвольный самосопряженный оператор, аА = А\ + А2,А\ = А2.Найдите оптимальное значение итерационного параметра т, когда априорная информация задана в виде6D^A,AiD~lA2 ^ — А.4Задача 11.13. Получите оценки скорости сходимости метода верхней релаксации при решении сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона(11.6), (11.11).Задача 11.14.
Пусть А — разностный оператор, который определенна Н = L2(u>) и соответствует разностной задаче (11.2)-(11.6). ПустьВ есть диагональная часть оператора А. Покажите, что для постоянныхэнергетической эквивалентности (см. неравенство (11.22)) операторов Аи В верно равенство7i + 72 = 2.Задача 11.15. Рассмотрите итерационный метод (11.21) для приближенного решения сеточной эллиптической задачи с переменными коэффициентами (11.4)—(11.6), когда в качестве переобуславливателя В беретсясеточный оператор, соответствующий решению разностного уравнения-Ухи,-0*i*2+ХУ = ¥>(х),х€ш,т.
е. разностной задачи с постоянными коэффициентами.11.4. Задачи179Задача 11.16. Пусть решается сеточная задачаАу = (р,с несамосопряженным положительным операторомА = А0 + А\ > О,Ao = Al,А\ = -А\.Проводится симметризация задачи следующим образом:Ау = <р, А = А*Ао*А,ip^A'A^ip.Исследуйте скорость сходимости итерационного методаA0Z*- + Aif = $t* = 0,1,...,когда||А у || 2 ^М(>1оЗ/,у),т. е.
в условиях подчиненности кососимметричной части оператора А.Глава 12Нестационарные задачиматематической физикиРассматриваются разностные методы приближенного решениякраевых задач для нестационарных уравнений с частными производными. Основное внимание уделяется построению и исследованию разностных схем для параболических уравнений второгопорядка. Теоретической основой при исследовании сходимостиразностных схем является общая теория устойчивости операторнораэностных схем.
Приведены основные результаты об устойчивости двух- и трехслойных разностных схем по начальным данными правой части. Отмечаются особенности исследования схемдля гиперболических уравнений второго порядка. Строятся экономичные разностные схемы для приближенного решения многомерных нестационарных задач математической физики.12.1. Нестационарные краевые задачиВ качестве базового нестационарного уравнения математической физики выступает одномерное параболическое уравнение второго порядка.В прямоугольникеС?г = Пх[0,Т], П = { х | 0 < а ; ^ О ,рассматривается уравнениедид (ди\к{х)т=э;(0< t < Гд-х)+Пх'1)>0<х<1>0<^г-(,2Л)Оно дополняется (первая краевая задача) граничнымиu(0,t) = Q, u(l,t) = 0, 0<t^T(12.2)12.1.
Нестационарные краевые задачи181Основные обозначенияи = и(х, t) — неизвестная функцияh — шаг равномерной сеткипо переменной хт — шаг сетки по времени tш/, — множество внутренних узловпо пространствудшь. — множество граничных узловН — гильбертово пространствосеточных функций(•,•) — скалярное произведение в Н|| • || — норма в Нух = (у(х + h,t) ~ y(x,t))/ft — правая разностная производнаяв точке (x,t) по переменной хУх — (з/(з,0 - у(х - h,t))/h — левая разностная производнаяв точке (х, t) по переменной ху" — решение на момент времениt = tn=+]ТVt (у" ~У")/ — производная впередпо переменной t=птVt (У ~ У"~*)/ — производная назадпо переменной tи начальнымиu(x,Q) = v°(x),0<i<I(12.3)условиями.Для простоты изложения мы ограничились однородными граничными условиями и зависимостью коэффициентаfcтолько от пространственной переменной, причем к(х) > к > 0.Вместо условий первого рода (12.2) могут задаваться другие граничные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
