Главная » Просмотр файлов » А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000)

А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 20

Файл №1160081 А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000)) 20 страницаА.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081) страница 202019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Рассмотрим сеточную функция (мажоранту) ад(х), котораяопределяется как решение задачиSw(x) = \tp(x)\,w(x) = 0,хеш,х € дш.Пусть w(x) > 0 принимает максимальное значение в некотором узлеа;* б о). В этом узле в силу (11.8), (11.9) имеемD(x>(x*)- £B(x;t)(»(i)-»(*•))=\ф%f€W(x-)Отсюда следуетD(x>(x*) < Ых')\и тем самымНо функция м/(х) является мажорантой для рассматриваемой задачии поэтому приходим к доказываемому утверждению.Упражнение 11.4.

Пусть расчетная область G лежит в прямоугольнике Q,в котором введена сетка ш. Граница G состоит из отрезков, соединяющихузлы этой сетки. Получите оценки снизу и сверху для разностного оператораЛапласа в области G для функций, обращающихся в нуль на 8G.Решение. Подмножество узлов, лежащих в G обозначим w(G) и рассмо­трим разностный операторLy = -у*,*, - уХгХ2 = <р{*), х € w(G),17311.3. Упражненияна множестве сеточных функцийу(х) = 0,х G дш{в).Доопределим функцию у, положиму(х)йЫ-/ywх е ш'~ \ о,^'х е w\w(G).В силу такого продолжения сеточной функции при использовании обо­значений(«>У)«(0= Х^ v(x)y(x)/i,/i2x€w(G)получимllell = IHUo'( L ^y) = (£».»)»«?)•Для сеточной функции заданной в П имеет местогде8*84л4Аналогичная оценка*Н»|£(в)<(£»'»)-(о)<д11И1иоимеет место и для разностного оператора в области G.Упражнение 11.5.

Рассмотрите попеременно-треугольный метод для итерационного решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассна (11.10), (11.11).Решение. Разностный оператор Лапласа представляется в видеA = AI+A1=A*>0,гдеА\У=-гУх< + -гУх2,П\Й2Al = AltГлава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений174Будем использовать вариант попеременно-треугольного метода, когда(см. (11.26))В = (E + vA\){E + vA2).Оптимальное значение параметра" = *= Шгде в соответствии с (11.27)А^бЕ,Д6>0,A , J 4 2 S S — A.4Здесь 6 есть минимальное собственное значение оператора Лапласа,которое равно6 = -^ sinftчith\и; ц*т~ и2+- : _ 2 1Г/&2Принимая во внимание, что(Ay,y) = \\Vy\\2>\\yZl\\2+\\yX2\\\получим(А]А2у,у)y*ih\= \\А2у\\2+y*i\h2 j^т.е.л4h24h\Подстановка в (11.28) дает оценкуО 29 2К > К0{е) « Л г In vft£при решении задачи в единичном квадрате на квадратной сетке /ц =h2=h.Упражнение 11.6.

Пусть в итерационном методе (1121)А — А\ + А2, А\А2 = А2А\,6аЕ^Аа^АаЕ,Аа = А'а,6а>0,о =1,2,17511.4. Задачиа оператор В представлен в факторизованном видеВ = (E + i/Ai)(E + uA2).Найдите оптимальное значение параметра v.Решение. Скорость сходимости определяется постоянными 7 ь 72 в не­равенстве (11.22). Поэтому сначала найдем их и выберем и из условиямаксимума отношения 7i/72В силу перестановочности операторов Аа, а — 1,2 имеемВ = Е- v(A\ + А2) + и2А^А2 + 2v(Ax + A2) == {Е- vA})(E - vA2) + 2vAи поэтому 72 = l/(2i / ).

Пусть6 = тт6а,Д = тахДа,аатогдаB = E + v(At + A2) + v2AlA2 ^ (-+v+ v2A)A.Следовательно<5~~ 1+1/(5 + и26Аи максимум 7i/72 достигается при711v-и0у/Кб'Рассматриваемый вариант соответствует использованию метода перемен­ных направлений в сеточной эллиптической задаче с разделяющимисяпеременными.11.4. ЗадачиЗадача 11.1. Уравнения Пуассона в круговом цилиндре при использова­нии цилиндрических координат записывается в виде1 д ( ди\ _}_д^ид2и"г ~д~г V fr) ~7*Ъ^~~д?~ Hr^>z>-176Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненийПостройте разностную схему для этого уравнения с граничными услови­ями первого рода на поверхности цилиндра.Задача 11.2.

Постройте разностную схему для решения краевой задачи(11.1), (11.3) с условиями сопряжения при Х\ = х\:и(х\ + 0, хг) - и(х\ - 0, х2) = О,дидиfeX— (х"\ + °>х2) - k — (х* - М г ) = Xfo)дх\ох\Задача 11.3. Пусть в прямоугольнике ft с равномерной сеткой ш про­ведено разбиение на треугольники диагоналями от узла (i,j) к узлу(г + 1, j + 1). Постройте для задачи (11.2), (П.З) схему конечных элемен­тов с использованием непрерывных, линейных на каждом треугольникефункций.Задача 11.4.

Рассмотрите аппроксимацию уравнения Пуассона (11.2)с условиями (11.3) в области с криволинейной границей с использованиемнеравномерной вблизи границы сетки.Задача 11.5. Сформулируйте достаточные условия выполнения принципамаксимума для схемы повышенного порядка аппроксимации для задачи(11.2), (11.3).Задача 11.6. На основе принципа максимума проведите исследованияскорости сходимости для разностной схемы для уравнения (уравнениеПуассона в круге)1 д ( ди\1 д2им1.Лс граничными условиямидиг—0orи условиями периодичностиu(r, ip) = щ(г, 27г + tp),0 < г < R,0 ^ <р < 2т.11.4. Задачи177Задача 11.7.

Получите оценки снизу и сверху для разностного оператора(см. (11.29))h] + h\Щ=-Ух,Х,-Ух2Х2ГХУх|Х,Х212,Х € Ш ,определенного на множестве функций у(х) = 0, х £ ш.Задача 11.8. Постройте схему повышенного порядка аппроксимации длязадачи Неймана для уравнения Пуассона:«=iах"- 5a i-l = /*- *2).<^ и<2Ъ /чsox\-=A*+W&и(2Ь0<x2</2,чЗадача 11.9. Аппроксимируйте граничные условия третьего рода«9м-к(0,х2)—+ <т(г2)и(0,Х2) = р(х2),ах\заданное на части фаницы прямоугольника П (на других участках гра­ницы — граничные условия первого рода), при численном решенииуравнения (11.1).Задача 11.10.

Постройте разностную схему для приближенного решенияуравнения четвертого порядкав прямоугольнике П, когда на границе задана сама функция и(х) и еенормальная производная (первая краевая задача).Задача 11.11. Рассмотрите аппроксимации на равномерной прямоуголь­ной сетке системы уравнений теории упругости (уравнения Ламэ)д_ (дх~\ч#М|\д (диЛ{^^ax-J-ax-M^Jдх~!Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений178дх2\dxjдх\\дхг)dXiYdXi)Задача 11.12. Для решения сеточной задачиАу = <р, А = А* > Оиспользуется треугольный итерационный метод(D + r v l , ) -*- + Aif = 4>,тгде D — произвольный самосопряженный оператор, аА = А\ + А2,А\ = А2.Найдите оптимальное значение итерационного параметра т, когда апри­орная информация задана в виде6D^A,AiD~lA2 ^ — А.4Задача 11.13. Получите оценки скорости сходимости метода верхней ре­лаксации при решении сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона(11.6), (11.11).Задача 11.14.

Пусть А — разностный оператор, который определенна Н = L2(u>) и соответствует разностной задаче (11.2)-(11.6). ПустьВ есть диагональная часть оператора А. Покажите, что для постоянныхэнергетической эквивалентности (см. неравенство (11.22)) операторов Аи В верно равенство7i + 72 = 2.Задача 11.15. Рассмотрите итерационный метод (11.21) для приближен­ного решения сеточной эллиптической задачи с переменными коэффи­циентами (11.4)—(11.6), когда в качестве переобуславливателя В беретсясеточный оператор, соответствующий решению разностного уравнения-Ухи,-0*i*2+ХУ = ¥>(х),х€ш,т.

е. разностной задачи с постоянными коэффициентами.11.4. Задачи179Задача 11.16. Пусть решается сеточная задачаАу = (р,с несамосопряженным положительным операторомА = А0 + А\ > О,Ao = Al,А\ = -А\.Проводится симметризация задачи следующим образом:Ау = <р, А = А*Ао*А,ip^A'A^ip.Исследуйте скорость сходимости итерационного методаA0Z*- + Aif = $t* = 0,1,...,когда||А у || 2 ^М(>1оЗ/,у),т. е.

в условиях подчиненности кососимметричной части оператора А.Глава 12Нестационарные задачиматематической физикиРассматриваются разностные методы приближенного решениякраевых задач для нестационарных уравнений с частными произ­водными. Основное внимание уделяется построению и исследо­ванию разностных схем для параболических уравнений второгопорядка. Теоретической основой при исследовании сходимостиразностных схем является общая теория устойчивости операторнораэностных схем.

Приведены основные результаты об устойчиво­сти двух- и трехслойных разностных схем по начальным данными правой части. Отмечаются особенности исследования схемдля гиперболических уравнений второго порядка. Строятся эко­номичные разностные схемы для приближенного решения много­мерных нестационарных задач математической физики.12.1. Нестационарные краевые задачиВ качестве базового нестационарного уравнения математической фи­зики выступает одномерное параболическое уравнение второго порядка.В прямоугольникеС?г = Пх[0,Т], П = { х | 0 < а ; ^ О ,рассматривается уравнениедид (ди\к{х)т=э;(0< t < Гд-х)+Пх'1)>0<х<1>0<^г-(,2Л)Оно дополняется (первая краевая задача) граничнымиu(0,t) = Q, u(l,t) = 0, 0<t^T(12.2)12.1.

Нестационарные краевые задачи181Основные обозначенияи = и(х, t) — неизвестная функцияh — шаг равномерной сеткипо переменной хт — шаг сетки по времени tш/, — множество внутренних узловпо пространствудшь. — множество граничных узловН — гильбертово пространствосеточных функций(•,•) — скалярное произведение в Н|| • || — норма в Нух = (у(х + h,t) ~ y(x,t))/ft — правая разностная производнаяв точке (x,t) по переменной хУх — (з/(з,0 - у(х - h,t))/h — левая разностная производнаяв точке (х, t) по переменной ху" — решение на момент времениt = tn=+]ТVt (у" ~У")/ — производная впередпо переменной t=птVt (У ~ У"~*)/ — производная назадпо переменной tи начальнымиu(x,Q) = v°(x),0<i<I(12.3)условиями.Для простоты изложения мы ограничились однородными граничны­ми условиями и зависимостью коэффициентаfcтолько от пространствен­ной переменной, причем к(х) > к > 0.Вместо условий первого рода (12.2) могут задаваться другие гра­ничные условия.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее