А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Многомерные задачиБудем рассматривать краевую задачу для параболического уравнениявторого порядка (12.7)—(12.9) в прямоугольнике П. Введем равномернуюпрямоугольную сетку с шагами Л| и h2, так чтоwh = {х | х = (хих2),ха = iaha,ia = \,2,...,Na,Naha = la, a= 1,2}.Определим разностный оператор2А = ^2л{а),(12.44)где А^а\ а = 1,2 — одномерные разностные операторыA^y=-{a^yia)Xa,а =1,2,х € w»,(12.45)определенные для сеточных функций у(\) = 0, х g wA. Для коэффициентов положим, например,а (|) (х) = fc(x, - 0,5ЛьХ2),а(2\\) = к(хих2- 0,5Л2).Вычислительная реализация неявных схем (or ф 0) (12.40), (12.41)для численного решения задачи (12.7)—(12.9) связана с решением сеточной эллиптической задачи.
В экономичных разностных схемах переходна новый временной слой осуществляется с вычислительными затратами на один узел, не зависящими от общего числа узлов дискретизациипо пространству. Экономичные схемы строятся на основе аддитивногопредставления (12.44) с переходом к последовательности более простых12.2. Разностные методы решения нестационарных задач193задач с операторами А*°\ а = 1,2. Приведем примеры некоторых схемрасщепления.Для правой части уравнения используется аддитивное представление<р" =< пр \+ч>1-Классическая разностная схема переменных направлений (схема Писмена—Рэкфорда) при расщеплении (12.44), (12.45) состоит из двух шагов.Сначала по известному уп находится вспомогательная сеточная функция,которую мы обозначим уп+>^2, из уравненияуП+^-у^0,5т+ А (.у+./2 + А ( 2 у = 2lfin(пм)Интерпретируя уп+х12 как решение на момент времени t = £„+1/2, можемзаметить, что (12.46) при 2<р" — <р„ соответствует определению решенияпо чисто неявной схеме по переменной Х\ (оператор А^) и по явнойсхеме по переменной х2 (оператор А^2')..,«•+'У^1,."+ 1 / 20,5т+ А0)у»+^+ Л < 2 )у" +| = 2<рп2.(12.47)Тем самым второй шаг связывается с использованием явной схемы по первой переменной и чисто неявной — по второй переменной.Сформулируем условия устойчивости схемы переменных направлений.
Пусть в схеме (12.46), (12.47) постоянные операторы Л(вг* ^ 0,а = 1,2. Тогда для разностного решения имеет место следующая оценкаустойчивости по начальным данным и правой части:(S+^4<V + I ^ (Е+Т-А^)у°\\+^г(Ы\\+ЫНа основе этой оценки устанавливается, что схема переменныхнаправлений сходится со скоростью 0{т2 + |Л|2) в соответствующей,зависящей от операторов расщепления норме.Необходимо выделить аддитивные схемы, которые относятся к классу безусловно устойчивых разностных схем при расщеплении на произвольное число операторов — схемы многокомпонентного расщепления.Аддитивные разностные схемы для задач с расщеплением на три и болеепопарно некоммутируюших операторов традиционно строятся на основе194Глава 12.
Нестационарные задачи математической физикипонятия суммарной аппроксимации - схемы покомпонентного расщепления (локально-одномерные схемы).Для двумерной задачи (12.7)—(12.9) имеемуП+а/2 _n+(a-t)/2+ЛК '{аау+(\-<га)уо = 1,2,я = 0,1,....)~<Ра,/J2.48)При аа > 0,5 схема покомпонентного расщепления (12.48) безусловноустойчива.
Приведем соответствующую априорную оценку устойчивостипо начальным данным и правой части.Для правых частей ipna, a = 1,2 будем использовать специальноепредставление*>?«) = Й + Й .«=1,2,] Г ; й = 0.(12.49)При 0,5 < <га < 2, a = 1,2 и т > 0 для решения задачи (12.48), (12.49)выполняется априорная оценкаjfe=0а=\ ^р=а/При исследовании сходимости локально-одномерных схем существенно учитывается специальное представление для погрешности типа (12.49).
Отметим также, что устойчивость локально-одномерных схемустанавливается не только в гильбертовых пространствах сеточных функций, но и при использовании принципа максимума — в равномернойнорме.12.3. УпражненияВ предложенных ниже примерах получены результаты по устойчивостидвух- и трехслойных разностных схем, исследуются разностные схемыдля параболических и гиперболических уравнений второго порядка.Упражнение 12.1. Пусть в схеме (12.10), (12.11) А = А* > 0.
Покажите,что приВ>Т-А(12.50)19512.3. Упражненияразностная схема устойчива по начальным данным и правой части, и для разностного решения справедлива априорная оценкаЬп+Х < N L + WL„ + IHL-. + 1>1ИИл-02-51)Решение. Представим решение задачи (12.10), (12.11) в видеуп = vn+wn,(12.52)где wn есть решение стационарного уравненияAwn+S=ipn,n = 0,l,...,и пусть ад(0) = W(T). ДЛЯ V" получим задачуBvt + Av- <pn,000v =у —wс правой частьюipn = -(В - rA)wnt,$° = 0при использовании стандартных обозначенийyt =.ТДля решения этой задачи (см. оценку (12.23)) получимьп\А<ь°\\А+£г\\в-^\\А.*=0Принимая во внимание, что ад' = A~Vf» для последнего слагаемогополучим\\В-^\\А= | | ^ 2 В - У || = \\{Е-тС) A-Wrf\\,где С = А1/2В~]А1/2.В силу предположения (12.50), обеспечивающегоустойчивость схемы, имеем\\Е-тС\\<\196Глава 12.
Нестационарные задачи математической физикии поэтому\\А"В-Щ*\\А-^\\= Ы\\Л_Х.Тем самымПринимая во внимание, что1И1^11/11. + 1К11, = 1К11. + 11Л-нполучаем\\^%<\\ААЧА\А-*+Т.ТЫ\\А->*=|С учетом (12.52) приходим к доказываемой оценке (12.51).Упражнение 12.2. Методом энергетических неравенств докажите априорную оценку устойчивости по начальным данным (12.30) трехслойной схемы(12.27), (12.28) при выполнении операторных неравенств (12.29).Решение.
Положимvn = \(yn + yn-y),v>n =yn-yn-1и с учетом тождествау" = V4+ l+ 2у» + у"-1) - V + 1 - 2J," + у""*)4перепишем схему (12.28) в видеBt^L+ж*"' - *) - АЦ»* - <*») + А^±^- = 0.Домножим скалярно это уравнение на2(vn+] - vn) = u>n+l+w\12.3. Упражнения197что дает равенство±-(B(wn+l+w"),wn+l+wn)(R(wn+]-wn),wn+i+wn)~+- l-(A(wn+l - wn),wn+,+wn)+ (A(vn+l +уп)У+1 - vn) = 0.Для самосопряженных операторов R и А и неотрицательного оператора В (В ^ 0) отсюда следует неравенствогде с учетом введенных обозначенийn' • 'n+.
. <+y» + ' ni ),y"».п\+i+y.."+1£n+i = -(A(y)+ (R(yn+] - yn),yn+i+- у") - 1(Л(г,» +| - „»). j,» + ' - у").Это и есть доказываемая априорная оценка (12.30).Упражнение 12.3. Постройте двухслойную разностную схему повышенногопорядка аппроксимации для решения уравненияд2иди=~di Ш + J:{x,t)'0<х<10<t T>О 2 - 53 )^с условиями (12.2), (12.3).Решение. Будем рассматривать схему с весами и оптимизацию порядка аппроксимации проведем за счет выбора веса. Уравнению (12.53)поставим в соответствие разностную схемуУ +"' ^= oyl? + (1 - o)ynix + <рп,п = 0,1,...
.ТПогрешность аппроксимации на решениях уравнения (12.53) естьп |и+_ м"ф" = * « £ ' + (1 - о)ч%х+ <рп.гПерепишем ее в более удобном видеГ - !«•+4)+(" - 1 ) , < ^ - ^+...198Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиС учетомИд2и+h2 04м. 4.+ (Л)- = *? Т2^ °'и п + | = а(я!, tn + 0,5т) + ~ ( * . *п + 0,5т) ++ у - ^ ( М п + 0,5т) + О(т3),и" = «(*, *„ + 0,5т) - - — ( « , « „ + 0,5т) +т2 02и,+ у - ^ 0 М „ + 0,5т)+О(т 3 ),i ( « n + l + и") = u(x,tn + 0,5т) + у ^ f ( * Л + 0,5т) + 0(т 3 ),«"+'-«»— т —02«ч={х tn + 0,5т) +-ь¥ '2v{т)°на решениях уравнения (12.53) получим(12.54)42+ - ^ Г ( * А + 0 , 5 т ) + О(/1 +т ).Принимая во внимание, что03иах 2 0<tfdS»12 9ж4d2fах2'из (12.54) получимЛ2 # 2 fV" = *>" - /(х,*„ + 0,5т) - - -^(х,+tn + 0,5т)+(('-0 T+ n)rai^ +0 ^> +o ^ +Tl )-Выбирая212т'12.3.
Упражнения199h2 d2f+ 0,5т) + — д ^ ( * Л + 0,5т),<pn = f(x,tnполучим ip" = 0(hA + T2).Упражнение 12.4. Покажите, что если в разностной схеме с весами (12.40),(12.41) оператор А = А* > 0 и1 +е<г^—21n—jr,т||Л||е = const,(12.55)то верна априорная оценка устойчивости по начальным данным и правойчастиll^+,lli<Nli+^£4Wla.(12.56)гдеА = (Е + етА)А,\\y\fj = \\у\\\+°т\\Ау\\\Решение.
Умножая уравнение (12.40) на оператор В = Е+атА, получимразностную схемуВ + Ау = ё,В-В2,ip-Btp.При ограничениях (12.55) справедливо неравенствоВ^^-^тА.(12.57)Это следует изВ-1+еттА = (Е+атА)(Е+ (ОТ~)тЛ)^> (Е + отА) I ~ + (<т - ~^\ Л А^О.При выполнении неравенства (12.57) имеет место (см. (12.24),(12.25)) априорная оценка в Н^.200Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиТак как ||y>*||jj-i = ||v*|| • т омыприходим к искомой оценке (12.56).Упражнение 12.5. Сформулируйте условия устойчивости явной трехслойнойсхемы второго порядка аппроксимации по времени и пространству для задачи(12.3), (12.5), (12.6).Решение. В рассматриваемом случае разностное уравнение имеет виду " + | - 2 у " + у"- 1 , Л „„+ Ау =<р ,п=1,2,...,где разностный оператор А определен согласно (12.37). Схема записывается в каноническом виде (12.26) при1R = -гЯ,та условия устойчивости (12.29) приводят к следующим офаничениямна шаг по времени:В = 0,4г ^,И1Принимая во внимание (12.39), отсюда получаем4/т < —=/4\-i/2max klx)h.Тем самым устойчивость явной схемы обеспечивается при т = 0(h).Упражнение 12.6.
Покажите, что схема переменных направлений (12.46),(12.47) при <р„ = 0,5<рп, а = 1,2 сходится со скоростью 0(h7 + г 2 ).Решение. Запишем соответствующую задачу для погрешности. Положим,как обычно, zn = у" - u(x,t„) и пусть z n + l / 2 = y n + l / 2 - u(x,t„). Выборточного решения, с которым связывается j / n + 1 ^ 2 , проведем позднее. Задачадля пофешности имеет вид,п+|/2Z~Z0,5rЛrn+lfгп+ A ( , ) z n + , / 2 + A(2)zn = tf,_n+l/2li0,5r+ Awzn+'l2+A"+ 1= fn2-20112.3.
УпражненияДля погрешности аппроксимации получим0,5т=_""+'-ЙП _Л (,) й ™_Л(2,и„+. +»0,5тПоложим2Ч' 4В этом случае следует* - я=-цт;2;+ц -A<V+I-«•>=о.0,5тКроме того имеемtf = - А С > Ц+ « _ Л (2) и » + ^ _ U^ U _На решениях уравнения (12.7)tf = # = 0(т2 + |А|2).Тем самым, при специальном определении промежуточного решения разностная схема переменных направлений (12.46), (12.47) с <р"а) = 0,5у>„,а = 1,2 имеет второй порядок аппроксимации по времени и по пространству.Для исследования точности рассмотрим сеточную задачу для погрешности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
