А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Например, во многих прикладных задачах необходимо182Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиориентироваться на формулирование граничных условий третьего рода:du-*(<>) — ( о , < ) + * i (*)«(o, «) = / * • ( * ) ,k(l) — (l,t) + o2(t)u(l,t) = fi2(t),0 < t < Г.Среди других нестационарных краевых задач необходимо выделитьгиперболическое уравнение второго порядка. В одномерном по пространству случае ищется решение уравненияди д (ди\2а?*=di(k(x)di)+f{x,t)'0<х<г'°<*<г-О2-5)Для однозначного определения решения этого уравнения помимо граничных условий (12.2) задаются два начальных условияди~(0,t)otи(х,0)=щ(х),= m(x),O^x^l.(12.6)Особое внимание необходимо уделять методам численного решениямногомерных нестационарных задач математической физики.
Примером может служить двумерное параболическое уравнение. Будем искатьв прямоугольникеП = {х | х = (хих2),0<ха<1а,а= 1,2}функцию «(х,0, удовлетворяющую уравнениюх G П, 0 ^ * < Ги условиям«(х,<) = 0, х € 0 П ,«(х,0) = и 0 (х),0<*<Г,х€П.(12.8)(12.9)Аналогично формулируются и другие нестационарные многомерные краевые задачи для уравнений с частными производными.12.2. Разностные методы решения нестационарных задач18312.2. Разностные методы решениянестационарных задачПрежде чем проводить исследование конкретных разностных схем для нестационарных уравнений математической физики введем базовые понятия теории устойчивости операторно-разностных схем, рассматриваемыхв конечномерных гильбертовых пространствах. На основе приведенныхоценок устойчивости двух- и трехслойных разностных схем по начальным данным и правой части проводится исследование разностных схемдля уравнений параболического и гиперболического типов.12.2.1.
Устойчивость двухслойныхоператорно-разностных схемДадим некоторые основные понятия и определения общей теории устойчивости операторно-разностных схем. Пусть задано вещественное конечномерное гильбертово пространство Я и сетка по временишТ = шт U {Г} = {<„ = пт,n = 0,l,...,JV 0 ;TN0 = T}.Обозначим через А,В: Я —> Я линейные операторы в Я и пусть они,для простоты, не зависят от т, tn. Рассмотрим задачу Коши для операторно-разностного уравненияУ—+Ауп = рп,Я-tn€u>T,(12.10)тУ° = Щ,(12.11)где уп = y(t„) € Я — искомая функция, а <рп,и0 G Я — заданы.Определим двухслойную разностную схему как множество задачКоши (12.10), (12.11), зависящих от параметрах, а запись (12.10), (12.11)будем называть канонической формой двухслойных схем.Двухслойная схема называется устойчивой, если существуют такиеположительные постоянные тпх и mi, не зависящие от г и выбора щ, <р.184Глава 12.
Нестационарные задачи математической физикичто при любых щ € Н, (р £ H,t £шТ для решения задачи (12.10), (12.11)справедлива оценка| | y n + 1 | | ^ m , | | « 0 | | + r n 2 max | | ^ | |<„ еШт,(12.12)где || • || и || • ||# — некоторые нормы в пространстве Н.Неравенство (12.12) отражает свойство непрерывной зависимостирешения задачи (12.10), (12.11) от входных данных. Обычно разделяютпонятия устойчивости по начальным данным и устойчивости по правойчасти.Разностная схемаВ^„»-и _ у"?- + Ayn=0,*„€w r ,У° = ио(12.13)(12.14)называется устойчивой по начальным данным, если для решения задачи(12.13), (12.14) выполняется оценка||»" +1 ||^"»|||«о||.*"£"т-(12.15)Двухслойная разностная схемаvn+lВ--vnУ- + Ауп = <р\t„Gw T ,тУ° = 0(12.16)(12.17)устойчива по правой части, если для решения выполняется неравенство||у" + | || ^Го2 0 тах п | И | „tneu,T.(12.18)Получение оценок устойчивости чаше всего базируется на априорных оценках разностного решения при переходе с одного временногослоя на другой.
Для самосопряженного положительного оператора R через Я д обозначим гильбертово пространство, состоящее из элементовпространства Я и снабженное скалярным произведением и нормой(У, ю)л = (Ry, w),||у || я = yJ(Ry,y).12.2. Разностные методы решения нестационарных задач185Разностная схема (12.13), (12.14) называется g-устойчивой (равномерноустойчивой) по начальным данным в Яд, если существуют постояннаяg > О и постоянная Го|, не зависящие от г, п, такие, что при любых пи при всех у" е Н для решения уп+] разностного уравнения (12.13)справедлива оценка11»"+111л<в||у"||я, tnewT,(12.19)причем д" ^ тп\.В теории разностных схем в качестве константы Q выбирается обычноодна из величине = 1,в = 1 + ст,с > О,р = ехр(ст),где постоянная с не зависит от т, п.Из оценки разностного решения на слоеследует априорная оценка (разностный аналог леммы Гронуолла)\\yn+i\\<9n+bo\\+i:ren-k\Miк=0Сформулируем основные критерии устойчивости двухслойных операторно-разностных схем по начальным данным.
Основным являетсяследующий результат о точных (совпадающих необходимых и достаточных) условиях устойчивости в НА.Пусть в уравнении (12.13) оператор А является самосопряженнымположительным оператором. УсловиеВ>7-А,<€wr(12.20)необходимо и достаточно для устойчивости в Яд, т.е. для выполненияоценкиIk+iL^NL, *e«r.(12.21)При рассмотрении общих нестационарных задач необходимо ориентироваться на условия ^-устойчивости.186Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиПустьА = А*, Б = В * > 0 ,тогда условия!—£В^А^Т^tiв(12.22)Тнеобходимы и достаточны для ^-устойчивости в Яд схемы (12.13), (12.14),т.
е. для выполнения||у»+|||в<вЫ1вИз устойчивости разностной схемы по начальным данным в Яд,R = R* > 0 следует и устойчивость схемы по правой части. Более точноэто утверждение формулируется следующим образом.Пусть разностная схема (12.10), (12.11) ^-устойчива в Я д по начальным данным, т.е. имеет место оценка (12.19) при ip" = 0. Тогдаразностная схема (12.10), (12.11) устойчива по правой части и для решения справедлива априорная оценка\\yn\R<en+]ho\\R + iZre"-k\\B~V\\R.(12.23)*=0Приведем оценку устойчивости по начальным данным и правойчасти при загрублении критерия устойчивости (12.20).Пусть А — самосопряженный и положительный оператор, а Вудовлетворяет условиюВ^^тА(12.24)с некоторой постоянной е > 0, не зависящей от т.
Тогда для разностнойсхемы (12.10), (12.11) справедлива априорная оценкаHlT'll^Nll + ^ETll/lli.,.ze(12.25)*=оОценки устойчивости по правой части используются при исследовании точности разностных схем для нестационарных задач.12.2. Разностные методы решения нестационарных задач18712.2.2. Устойчивость трехслойных разностных схемПри приближенном решении нестационарных задач математической физики наряду с двухслойными разностными схемами часто используюти трехслойные. Здесь мы формулируем некоторые основные условияустойчивости трехслойных операторно-разностных схем.Используется следующая каноническая форма трехслойных разностных схем:В У~ ^ —+ Й^ П + ' " 2уП + У"~"> +п = 1,2,...ЛуП=^(12.26)при заданныху° = щ,3/'=«..(12.27)Сформулируем условия устойчивости по начальным данным при постоянных, не зависящих от п, самосопряженных операторах А, В, R, т.
е.вместо (12.26) будем рассматриватьBtl_tl + д(уП+• _ V + ,»--) + Ауп = 0>^ ^п=1,2,....При выполнении условийВ > О,А > О,R > -А(12.29)для разностной схемы (12.27), (12.29) имеет место априорная оценкат||Уп+| + Уп\\2л + Цин-i - »»11д 12TII^+I2- У"\\2л <12( 1 1 3 0 )<^||уп+У п -1К + ||Уп-Уп-|||д-^||у п -у„-|й,т. е. операторно-разностная схема (12.27), (12.29) устойчива по начальнымданным.Устойчивость рассматриваемых трехслойных операторно-разностныхсхем установлена в гильбертовых пространствах со сложной составной188Глава 12. Нестационарные задачи математической физикинормой (см.
(12.30)). Можно получить оценки устойчивости в болеепростых нормах за счет несколько более жестких условий устойчивости.Пусть в операторно-разностной схеме (12.28) операторы R и Аявляются самосопряженными. Тогда при выполнении условийВ^О,А>0,R>^-A(12.31)4с е > 0 имеют место априорные оценкиН^«1Б<21±^(||Л|Ц + | | ю - | ь | | у ,llfc+.fi + ||fc - * - , | | i < ~(Ы2А(12.32)+ ||У.
" Я|1я) •02.33)Для разностной схемы (12.26) при тех же предположениях об операторах R и А при выполнении операторных неравенствВ^еЕ,А>0,R>^A(12.34)4с постоянной е > 0 для разностного решения справедливы априорныеоценки£n+i(12.35)£п+1(12.36)Здесь£„+1 = -{А(уп+1 + у„),уп+, +уп) + (R(yn+i ~ Уп),Уп+1 - Уп) ~ ^(МУп+\ - Уп),Уп+1 - Уп)-При сформулированных ограничениях величина £„ задает норму.18912.2. Разностные методы решения нестационарных задач12.2.3. Разностные схемы для параболического уравненияРассмотрим разностные схемы для одномерного параболического уравнения (12.1). По пространству будем использовать равномерную сеткуил = {я | х = х,,=ih,i = 0,1,...,JV,Nh = l},и пусть Ш(, — множество внутренних узлов (i = 1,2,...
,N - 1), а дшь —множество граничных узлов.При приближенном решении задачи (12.1)-(12.3) определим сеточный операторАу = - (ауг)х,(12.37)х£шн,для сеточных функций у = О, х & ц>ь. Для задания коэффициента можноиспользовать выражения<Ц -fc(lj_|/2),Xi-i/2 = Xi--,а,; = 0,5 (*(*,_,) + *(*.)),х,i f JULat =hj k(x)* - iВ Я = L2(coh) скалярное произведение и норму введем соотношениямиЛГ-1Оператор Л является самосопряженным и положительным:А* = А > 0.(12.38)Приведем также оценки оператора А снизу и сверху:бЕ^А^ЬЕ,(12.39)гдеО6 = ттmin Л(ж),I2 ossisgiАД = гт2 шах А(ж).h o^z^i190Глава 12.
Нестационарные задачи математической физикиИсходной дифференциальной задаче (12.1)—(12.3) поставим в соответствие задачу Коши для дифференциально-разностного уравнения:dv— + Av = <p(t),v(0) = woДля ее решения используем схему с весамиУ +~уП + А{оуп+] +{\-а)"уп) = у",п = 0,1,...,(12.40)т»° = «о.(12.41)Схема с весами будет устойчивой в НА при<г ^ <т0,<го= - - -ГГ7Й(12.42)2 т\\А\\В частности, схема с а ^ 0,5 абсолютно (при всех т > 0) устойчива.Рассмотрим вопрос о точности разностной схемы с весами (12.40),(12.41). Сформулируем соответствующую задачу для погрешности приближенного решенияzn(x)=y"(x)-u(x,tn),x€ui h ,*„€штс учетомz"(x) = 0,ж е дшь,tn e ил-Начальное условие задается точно и поэтому положимz0(x) = 0,i£w/,.Для погрешности из (12.41) следуетzn+\_zn+ A(azn+i+(l-o-)zn)=Tpn,n = 0,l,...Предполагая достаточную гладкость точного решения и коэффициентов уравнения (12.1), для погрешности аппроксимации будем иметь^ п (х) = 0 ( | / 1 | 2 + т " ) ,»ew,i»€u>r,где v = v(o) = 2 при а = 0,5 и v = 1, если о Ф 0,5.12.2.
Разностные методы решения нестационарных задач191Для погрешности верна априорная оценкаll^<ll*"L-. + *=1S>l№lU-"где использованы обозначенияУ1=Уп - у"'1~Следовательно разностная схема с весами сходится в НА СО скоростью0(Л2 + т").На основе использования оценок устойчивости по правой частиустанавливается сходимость и в других нормах.12.2.4. Гиперболические уравненияРассмотрим теперь разностные схемы для решения краевой задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка (12.2), (12.5),(12.6).
После дискретизации по пространству придем к дифференциальноразностной задачеd2vdv^-(0) = и,v(0) = «о,с ранее рассмотренным разностным оператором А.Будем использовать разностное уравнение1УТг+У+]+ ! , /1xА /_.."-i_\..n .п-1+. А(ау"+(l-2a)y"+ ayn~) = у>",{nM)п= 1,2,... ,которое аппроксимирует (12.5) со вторым порядком по времени и по пространству. Схема (12.43) записывается в каноническом виде (12.28) приВ = 0, R=—E+ oA.192Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиУсловия устойчивости (12.29) дают следующие ограничения на вес:11С привлечением априорных оценок устойчивости по правой части исследуется задача для погрешности и устанавливается сходимостьразностной схемы (12.43).12.2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
