Главная » Просмотр файлов » А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000)

А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 21

Файл №1160081 А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000)) 21 страницаА.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081) страница 212019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Например, во многих прикладных задачах необходимо182Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиориентироваться на формулирование граничных условий третьего рода:du-*(<>) — ( о , < ) + * i (*)«(o, «) = / * • ( * ) ,k(l) — (l,t) + o2(t)u(l,t) = fi2(t),0 < t < Г.Среди других нестационарных краевых задач необходимо выделитьгиперболическое уравнение второго порядка. В одномерном по простран­ству случае ищется решение уравненияди д (ди\2а?*=di(k(x)di)+f{x,t)'0<х<г'°<*<г-О2-5)Для однозначного определения решения этого уравнения помимо гра­ничных условий (12.2) задаются два начальных условияди~(0,t)otи(х,0)=щ(х),= m(x),O^x^l.(12.6)Особое внимание необходимо уделять методам численного решениямногомерных нестационарных задач математической физики.

Приме­ром может служить двумерное параболическое уравнение. Будем искатьв прямоугольникеП = {х | х = (хих2),0<ха<1а,а= 1,2}функцию «(х,0, удовлетворяющую уравнениюх G П, 0 ^ * < Ги условиям«(х,<) = 0, х € 0 П ,«(х,0) = и 0 (х),0<*<Г,х€П.(12.8)(12.9)Аналогично формулируются и другие нестационарные многомерные кра­евые задачи для уравнений с частными производными.12.2. Разностные методы решения нестационарных задач18312.2. Разностные методы решениянестационарных задачПрежде чем проводить исследование конкретных разностных схем для не­стационарных уравнений математической физики введем базовые поня­тия теории устойчивости операторно-разностных схем, рассматриваемыхв конечномерных гильбертовых пространствах. На основе приведенныхоценок устойчивости двух- и трехслойных разностных схем по началь­ным данным и правой части проводится исследование разностных схемдля уравнений параболического и гиперболического типов.12.2.1.

Устойчивость двухслойныхоператорно-разностных схемДадим некоторые основные понятия и определения общей теории устой­чивости операторно-разностных схем. Пусть задано вещественное конеч­номерное гильбертово пространство Я и сетка по временишТ = шт U {Г} = {<„ = пт,n = 0,l,...,JV 0 ;TN0 = T}.Обозначим через А,В: Я —> Я линейные операторы в Я и пусть они,для простоты, не зависят от т, tn. Рассмотрим задачу Коши для операторно-разностного уравненияУ—+Ауп = рп,Я-tn€u>T,(12.10)тУ° = Щ,(12.11)где уп = y(t„) € Я — искомая функция, а <рп,и0 G Я — заданы.Определим двухслойную разностную схему как множество задачКоши (12.10), (12.11), зависящих от параметрах, а запись (12.10), (12.11)будем называть канонической формой двухслойных схем.Двухслойная схема называется устойчивой, если существуют такиеположительные постоянные тпх и mi, не зависящие от г и выбора щ, <р.184Глава 12.

Нестационарные задачи математической физикичто при любых щ € Н, (р £ H,t £шТ для решения задачи (12.10), (12.11)справедлива оценка| | y n + 1 | | ^ m , | | « 0 | | + r n 2 max | | ^ | |<„ еШт,(12.12)где || • || и || • ||# — некоторые нормы в пространстве Н.Неравенство (12.12) отражает свойство непрерывной зависимостирешения задачи (12.10), (12.11) от входных данных. Обычно разделяютпонятия устойчивости по начальным данным и устойчивости по правойчасти.Разностная схемаВ^„»-и _ у"?- + Ayn=0,*„€w r ,У° = ио(12.13)(12.14)называется устойчивой по начальным данным, если для решения задачи(12.13), (12.14) выполняется оценка||»" +1 ||^"»|||«о||.*"£"т-(12.15)Двухслойная разностная схемаvn+lВ--vnУ- + Ауп = <р\t„Gw T ,тУ° = 0(12.16)(12.17)устойчива по правой части, если для решения выполняется неравенство||у" + | || ^Го2 0 тах п | И | „tneu,T.(12.18)Получение оценок устойчивости чаше всего базируется на априор­ных оценках разностного решения при переходе с одного временногослоя на другой.

Для самосопряженного положительного оператора R че­рез Я д обозначим гильбертово пространство, состоящее из элементовпространства Я и снабженное скалярным произведением и нормой(У, ю)л = (Ry, w),||у || я = yJ(Ry,y).12.2. Разностные методы решения нестационарных задач185Разностная схема (12.13), (12.14) называется g-устойчивой (равномерноустойчивой) по начальным данным в Яд, если существуют постояннаяg > О и постоянная Го|, не зависящие от г, п, такие, что при любых пи при всех у" е Н для решения уп+] разностного уравнения (12.13)справедлива оценка11»"+111л<в||у"||я, tnewT,(12.19)причем д" ^ тп\.В теории разностных схем в качестве константы Q выбирается обычноодна из величине = 1,в = 1 + ст,с > О,р = ехр(ст),где постоянная с не зависит от т, п.Из оценки разностного решения на слоеследует априорная оценка (разностный аналог леммы Гронуолла)\\yn+i\\<9n+bo\\+i:ren-k\Miк=0Сформулируем основные критерии устойчивости двухслойных операторно-разностных схем по начальным данным.

Основным являетсяследующий результат о точных (совпадающих необходимых и достаточ­ных) условиях устойчивости в НА.Пусть в уравнении (12.13) оператор А является самосопряженнымположительным оператором. УсловиеВ>7-А,<€wr(12.20)необходимо и достаточно для устойчивости в Яд, т.е. для выполненияоценкиIk+iL^NL, *e«r.(12.21)При рассмотрении общих нестационарных задач необходимо ориен­тироваться на условия ^-устойчивости.186Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиПустьА = А*, Б = В * > 0 ,тогда условия!—£В^А^Т^tiв(12.22)Тнеобходимы и достаточны для ^-устойчивости в Яд схемы (12.13), (12.14),т.

е. для выполнения||у»+|||в<вЫ1вИз устойчивости разностной схемы по начальным данным в Яд,R = R* > 0 следует и устойчивость схемы по правой части. Более точноэто утверждение формулируется следующим образом.Пусть разностная схема (12.10), (12.11) ^-устойчива в Я д по на­чальным данным, т.е. имеет место оценка (12.19) при ip" = 0. Тогдаразностная схема (12.10), (12.11) устойчива по правой части и для реше­ния справедлива априорная оценка\\yn\R<en+]ho\\R + iZre"-k\\B~V\\R.(12.23)*=0Приведем оценку устойчивости по начальным данным и правойчасти при загрублении критерия устойчивости (12.20).Пусть А — самосопряженный и положительный оператор, а Вудовлетворяет условиюВ^^тА(12.24)с некоторой постоянной е > 0, не зависящей от т.

Тогда для разностнойсхемы (12.10), (12.11) справедлива априорная оценкаHlT'll^Nll + ^ETll/lli.,.ze(12.25)*=оОценки устойчивости по правой части используются при исследова­нии точности разностных схем для нестационарных задач.12.2. Разностные методы решения нестационарных задач18712.2.2. Устойчивость трехслойных разностных схемПри приближенном решении нестационарных задач математической фи­зики наряду с двухслойными разностными схемами часто используюти трехслойные. Здесь мы формулируем некоторые основные условияустойчивости трехслойных операторно-разностных схем.Используется следующая каноническая форма трехслойных разност­ных схем:В У~ ^ —+ Й^ П + ' " 2уП + У"~"> +п = 1,2,...ЛуП=^(12.26)при заданныху° = щ,3/'=«..(12.27)Сформулируем условия устойчивости по начальным данным при посто­янных, не зависящих от п, самосопряженных операторах А, В, R, т.

е.вместо (12.26) будем рассматриватьBtl_tl + д(уП+• _ V + ,»--) + Ауп = 0>^ ^п=1,2,....При выполнении условийВ > О,А > О,R > -А(12.29)для разностной схемы (12.27), (12.29) имеет место априорная оценкат||Уп+| + Уп\\2л + Цин-i - »»11д 12TII^+I2- У"\\2л <12( 1 1 3 0 )<^||уп+У п -1К + ||Уп-Уп-|||д-^||у п -у„-|й,т. е. операторно-разностная схема (12.27), (12.29) устойчива по начальнымданным.Устойчивость рассматриваемых трехслойных операторно-разностныхсхем установлена в гильбертовых пространствах со сложной составной188Глава 12. Нестационарные задачи математической физикинормой (см.

(12.30)). Можно получить оценки устойчивости в болеепростых нормах за счет несколько более жестких условий устойчивости.Пусть в операторно-разностной схеме (12.28) операторы R и Аявляются самосопряженными. Тогда при выполнении условийВ^О,А>0,R>^-A(12.31)4с е > 0 имеют место априорные оценкиН^«1Б<21±^(||Л|Ц + | | ю - | ь | | у ,llfc+.fi + ||fc - * - , | | i < ~(Ы2А(12.32)+ ||У.

" Я|1я) •02.33)Для разностной схемы (12.26) при тех же предположениях об опера­торах R и А при выполнении операторных неравенствВ^еЕ,А>0,R>^A(12.34)4с постоянной е > 0 для разностного решения справедливы априорныеоценки£n+i(12.35)£п+1(12.36)Здесь£„+1 = -{А(уп+1 + у„),уп+, +уп) + (R(yn+i ~ Уп),Уп+1 - Уп) ~ ^(МУп+\ - Уп),Уп+1 - Уп)-При сформулированных ограничениях величина £„ задает норму.18912.2. Разностные методы решения нестационарных задач12.2.3. Разностные схемы для параболического уравненияРассмотрим разностные схемы для одномерного параболического урав­нения (12.1). По пространству будем использовать равномерную сеткуил = {я | х = х,,=ih,i = 0,1,...,JV,Nh = l},и пусть Ш(, — множество внутренних узлов (i = 1,2,...

,N - 1), а дшь —множество граничных узлов.При приближенном решении задачи (12.1)-(12.3) определим сеточ­ный операторАу = - (ауг)х,(12.37)х£шн,для сеточных функций у = О, х & ц>ь. Для задания коэффициента можноиспользовать выражения<Ц -fc(lj_|/2),Xi-i/2 = Xi--,а,; = 0,5 (*(*,_,) + *(*.)),х,i f JULat =hj k(x)* - iВ Я = L2(coh) скалярное произведение и норму введем соотношени­ямиЛГ-1Оператор Л является самосопряженным и положительным:А* = А > 0.(12.38)Приведем также оценки оператора А снизу и сверху:бЕ^А^ЬЕ,(12.39)гдеО6 = ттmin Л(ж),I2 ossisgiАД = гт2 шах А(ж).h o^z^i190Глава 12.

Нестационарные задачи математической физикиИсходной дифференциальной задаче (12.1)—(12.3) поставим в соот­ветствие задачу Коши для дифференциально-разностного уравнения:dv— + Av = <p(t),v(0) = woДля ее решения используем схему с весамиУ +~уП + А{оуп+] +{\-а)"уп) = у",п = 0,1,...,(12.40)т»° = «о.(12.41)Схема с весами будет устойчивой в НА при<г ^ <т0,<го= - - -ГГ7Й(12.42)2 т\\А\\В частности, схема с а ^ 0,5 абсолютно (при всех т > 0) устойчива.Рассмотрим вопрос о точности разностной схемы с весами (12.40),(12.41). Сформулируем соответствующую задачу для погрешности при­ближенного решенияzn(x)=y"(x)-u(x,tn),x€ui h ,*„€штс учетомz"(x) = 0,ж е дшь,tn e ил-Начальное условие задается точно и поэтому положимz0(x) = 0,i£w/,.Для погрешности из (12.41) следуетzn+\_zn+ A(azn+i+(l-o-)zn)=Tpn,n = 0,l,...Предполагая достаточную гладкость точного решения и коэффици­ентов уравнения (12.1), для погрешности аппроксимации будем иметь^ п (х) = 0 ( | / 1 | 2 + т " ) ,»ew,i»€u>r,где v = v(o) = 2 при а = 0,5 и v = 1, если о Ф 0,5.12.2.

Разностные методы решения нестационарных задач191Для погрешности верна априорная оценкаll^<ll*"L-. + *=1S>l№lU-"где использованы обозначенияУ1=Уп - у"'1~Следовательно разностная схема с весами сходится в НА СО скоростью0(Л2 + т").На основе использования оценок устойчивости по правой частиустанавливается сходимость и в других нормах.12.2.4. Гиперболические уравненияРассмотрим теперь разностные схемы для решения краевой задачи для од­номерного гиперболического уравнения второго порядка (12.2), (12.5),(12.6).

После дискретизации по пространству придем к дифференциальноразностной задачеd2vdv^-(0) = и,v(0) = «о,с ранее рассмотренным разностным оператором А.Будем использовать разностное уравнение1УТг+У+]+ ! , /1xА /_.."-i_\..n .п-1+. А(ау"+(l-2a)y"+ ayn~) = у>",{nM)п= 1,2,... ,которое аппроксимирует (12.5) со вторым порядком по времени и по про­странству. Схема (12.43) записывается в каноническом виде (12.28) приВ = 0, R=—E+ oA.192Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиУсловия устойчивости (12.29) дают следующие ограничения на вес:11С привлечением априорных оценок устойчивости по правой ча­сти исследуется задача для погрешности и устанавливается сходимостьразностной схемы (12.43).12.2.5.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее