А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Краевые задачи для эллиптический уравненийОпределим для двумерных разностных функций, обращающихсяв нуль на дш сеточный аналог нормы в W\(u>):INII2= £ £ы 2 М2 + £ 1>*2)2М2.На Н разностный оператор L самосопряжен и справедлива при наших предположениях о коэффициентах уравнения (11.1) оценка(Ly,y)>4Vy\\2.(11.12)Для сеточных функций у(х), обращающихся в нуль на дш, вернонеравенство (неравенство Фридрихса для двумерных сеточных функций)||„|| 2 < М0ру\\2,M„-' = i + | .(11.13)Из (11.12), (11.13) следует оценка оператора L снизуL^KX0E,AO = M 0 - 1 .(11.14)Приведем также оценку оператора L сверху:L^MtE(11.15)с постоянной4()(1)*, = -т,Мimax a ' (x) + a (s l +/ t „* 2 ) +Л, х£ы24aW(x) + gV(xl,x2 + h2) ,,+ -у maxh max c(x) .hjx€w2хбыЗадача для погрешности разностного решенияz(x) = у(х) - и(х), х 6 шимеет видLz = V>(x), x € ш,где V(x), к а к обычно, погрешность аппроксимации:•ф(х) = у?(х) - Lit,х € ш.11.2.
Численное решение краевых задач165Будем считать, что решение краевой задачи имеет достаточно гладкоеклассическое решение. На равномерной прямоугольной сетке погрешность аппроксимации в этих условиях при использовании разностногооператора (11.4), (11.5) имеет второй порядок:y-(x) = o(|ft| 2 ),\h\2 = h] + h22, х е ш .Для рассматриваемой разностной схемы (11.4)—(11.6) справедлива априорная оценка для погрешностиР4*^\\*\\В силу этого разностная схема сходится в W}(w) со вторым порядком.11.2.4. Решение сеточных уравненийИсходная дифференциальная задача при аппроксимации заменяется сеточной. Соответствующие разностные (сеточные) уравнения есть системалинейных алгебраических уравнений для неизвестных значений сеточнойфункции. Для их нахождения используются методы линейной алгебры,которые максимально учитывают специфику сеточных задач.
Особенности сеточных задач проявляются в том, что соответствующая матрицасистемы алгебраических уравнений является разреженной, т. е. содержитмного нулевых элементов, имеет ленточную структуру. При решении многомерных задач матрица имеет очень большой порядок, равный общемучислу узлов сетки.Классических подход к решению простейших линейных задач математической физики связан с использованием метода разделения переменных.
Естественно ожидать, что аналогичная идея получит своеразвитие и применительно к сеточным уравнениям. Рассмотрим сеточную задачу для уравнения Пуассона (11.10) с однородными краевымиусловиями (11.11).Для применения метода Фурье для решения этой двумерной задачирассмотрим задачу на собственные значения для разностного операторавторой производной по переменной х\\-*>i, Xl + A « = 0,v0 = 0,X] € W|,vNt = 0.Глава 11.
Краевые задачи для эллиптический уравнений166Соответствующие собственные значения и собственные функции обозначим A*, v<*'(a;i),fc= 1,2,...,JV| - I:4А =2k^i!п* лГ -27Г'„«(«,) = JIri„*5!L,*= 1,2ЛГ.-1.Будем искать приближенное решение задачи (11.10), (11.11) в видеразложения:JV.-Iу (x) = 5 > w ( s 2 ) »<*>(*.),xGw.(11.16)Пусть ip^(x2) — коэффициенты Фурье правой части:ЛГ.-1Ч>т(*г)=52<р(Ф1к)(*\)Ь.(11.17)Для определения с^к\х2) получим трехточечные задачи:- с ^ - А с ^ / ^ ) ,4*»= 0, 41=0.*2€*2,(11.18)(11.19)Разностная задача (11.18), (11.19) при каждом Л = 1,2,...
,ЛГ|-1 решаетсяметодом прогонки.Таким образом метод Фурье основан на определении собственныхфункций и собственных значений одномерной сеточной задачи, вычислении коэффициентов Фурье правой части согласно (11.17), решении задач(11.18), (11.19) для коэффициентов разложения и, наконец, решениезадачи определяется по формулам суммирования (11.16).Эффективные вычислительные алгоритмы метода разделения переменных связаны с быстрым преобразованием Фурье (FFT). В этом случаеможно вычислить коэффициенты Фурье правой части и восстановитьрешение при затратах Q = 0(N]N\\ogN\). Для задач с постояннымикоэффициентами можно использовать преобразование Фурье по обоимпеременным (разложение по собственным функциям двумерного сеточного оператора L).11.2. Численное решение краевых задач167Для приближенного решения многомерных сеточных эллиптических задач с переменными коэффициентами используются итерационныеметоды. Основные понятия теории итерационных методов решения систем линейных уравнений обсуждались выше.
Здесь мы отметим тольконаиболее важные особенности итерационного решения краевых задачдля эллиптических уравнений, которые касаются выбора оператора В (переобуславливателя) при переходе на новое итерационное приближение.Для разностной задачи (11.4), (11.5), (11.10) запишем соответствующую систему линейных уравненийAy = tp(11.20)для нахождения сеточного решения у(х), х€ш. Здесь А рассматриваетсякак линейный оператор, действующий в конечномерном гильбертовомпространстве Я = 1*2(ш), а <р(х) — заданный элемент Н.Для приближенного решения уравнения (11.20) сА = Л* > 0будем использовать двухслойный итерационный метод^- + Аук = <р, fc = 0 , l , . .
. .В^(11.21)Tk+\Особенности итерационных методов для решения эллиптических задачпроявляются при построении оператора В.Пусть априорная информация об операторах В и А задана в видедвухстороннего операторного неравенства•ъВ^А^ъВ,7.>0,(11.22)т. е. операторы В и А энергетически эквивалентны с постоянными энергетической эквивалентности 7«. а = 1,2. В итерационном методе (11.21)с оптимальным значением итерационного параметраТоЪ +72для числа итераций К, необходимых для достижения точности е, справедлива оценкаК>К0(е)=^,(11.23)168Глава 11.
Краевые задачи для эллиптический уравненийгде721+£При использовании чебышевского набора итерационных параметрови для метода сопряженных градиентов имеем1п(2е-')К2К0(е)= , : . . / ,In?,(П.24)гдеДля явного итерационного метода В = Е пъ силу (11.14), (11.15)(А = L) для постоянных энергетической эквивалентности получим7l=KM0-|=O(l),72= Af, =0(|ЛГ 2 ).В методе простой итерации при оптимальном значении итерационногопараметра из (11.23) получимW = o (j l In l).Для метода сопряженных градиентов оценка (11.24) дает*° ( £ ) = o GH)-(п 25)-При применении попеременно-треугольного итерационного методаиспользуется разложениеА = А\ + А2 = А* > О, А\ = АХи оператор В задается в видеB = (G + vAi)G-1(G + vA2),(11.26)где G = G* > 0.
При априорной информацииA>6G,6>0,А1С1А2^—А4(11.27)16911.3. Упражненияоптимальным является выбор параметра2i/ = u0 =причем для числа итераций верна оценкак>к ы=° шй,пЬ'=i(,U8)при использовании чебышевского набора итерационных параметров илиметода сопряженных градиентов.Для эллиптических уравнений второго порядка имеет место следующая зависимость от шагов сеткиб = о(\), д = о(|лг2)Поэтому для числа итераций попеременно-треугольного итерационногометода получимК0(£) =о(-1=1п-\Оптимизация метода достигается за счет выбора оператора D = D* > 0.11.3. УпражненияПриведены примеры аппроксимации эллиптического уравнения второгопорядка, исследуются свойства разностной задачи и обсуждаются вопросыитерационного решения сеточных эллиптических задач.Упражнение 11.1.
Постройте схему повышенного порядка аппроксимациидля решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.Решение. Для разностного оператора второй производной по отдельномунаправлению имеемГлава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений170и поэтомуд2и!I22д2иh] д4иh\ b*u** ~~дхartЦ ~~дх1~пд?,"пЩ' Т1Щ '"li'dxj+ и'>'На решениях уравнения (11.2) получима4ц _ э 4 ц а 2 /~Щ ~ дх]дх\+э 4 ц _ д4и а 2 ;дх2'+'дх\ ~ дх]дх\Щи тем самым__^M_9^t-UilXl-US2X2-дх,h] + h\дх,+пд\дх2дх2+Используем для смешанной производной аппроксимациюЩЩ* Ui,x,i2Xlи приходим к разностному уравнениюЪ\ + h\~ Ух,х> - Ух2х2^J— Ух1Х>х2х2 = <Р W 1, ч h\hi<p(x) = f (x) + —/*,*, + ^МхуX6W,(11.29)Схема (11.6), (11.29) аппроксимирует краевую задачу (11.2), (11.3) с четвертым порядком.Упражнение 11.2.
Рассмотрите аппроксимацию эллиптического уравненивторого порядка со смешанными производнымиMx)t^:( S)=/{x) хепа,р=\в которомкар(х) = к/за{х), а, 0 = 1,2.' '11.3. Упражнения171Решение. Рассмотрим разностную схемуLy=J2L^y= 9(x),хеш,в которойПри а = р имеемФормула Тейлора дает нам^=flu^ft2(х)#2« . .-у^!_..,.(х)+0(^Подстановкой v = fc^Mjj получаем,02)д (k2d18u\(ft,du\д2 (du\,, ,.Аналогичные выкладки приводят кП2>9 /0и \ft,_ * * ( » • • ) + о2 ax,x2\fli2/02 /( й 0vи поэтомул=-£«) + о ( | Л | , ) -0« \'172Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненииТем самым рассматриваемая разностная схема имеет второй порядокаппроксимации.Упражнение 11.3. Покажите, что для решения задачи (П.7)-( 11.10) приD(x) > 0, х € ш справедлива оценкаIM*)IL <Ф)D(x)Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
