Главная » Просмотр файлов » А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000)

А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 19

Файл №1160081 А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000)) 19 страницаА.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081) страница 192019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Краевые задачи для эллиптический уравненийОпределим для двумерных разностных функций, обращающихсяв нуль на дш сеточный аналог нормы в W\(u>):INII2= £ £ы 2 М2 + £ 1>*2)2М2.На Н разностный оператор L самосопряжен и справедлива при на­ших предположениях о коэффициентах уравнения (11.1) оценка(Ly,y)>4Vy\\2.(11.12)Для сеточных функций у(х), обращающихся в нуль на дш, вернонеравенство (неравенство Фридрихса для двумерных сеточных функций)||„|| 2 < М0ру\\2,M„-' = i + | .(11.13)Из (11.12), (11.13) следует оценка оператора L снизуL^KX0E,AO = M 0 - 1 .(11.14)Приведем также оценку оператора L сверху:L^MtE(11.15)с постоянной4()(1)*, = -т,Мimax a ' (x) + a (s l +/ t „* 2 ) +Л, х£ы24aW(x) + gV(xl,x2 + h2) ,,+ -у maxh max c(x) .hjx€w2хбыЗадача для погрешности разностного решенияz(x) = у(х) - и(х), х 6 шимеет видLz = V>(x), x € ш,где V(x), к а к обычно, погрешность аппроксимации:•ф(х) = у?(х) - Lit,х € ш.11.2.

Численное решение краевых задач165Будем считать, что решение краевой задачи имеет достаточно гладкоеклассическое решение. На равномерной прямоугольной сетке погреш­ность аппроксимации в этих условиях при использовании разностногооператора (11.4), (11.5) имеет второй порядок:y-(x) = o(|ft| 2 ),\h\2 = h] + h22, х е ш .Для рассматриваемой разностной схемы (11.4)—(11.6) справедлива апри­орная оценка для погрешностиР4*^\\*\\В силу этого разностная схема сходится в W}(w) со вторым порядком.11.2.4. Решение сеточных уравненийИсходная дифференциальная задача при аппроксимации заменяется се­точной. Соответствующие разностные (сеточные) уравнения есть системалинейных алгебраических уравнений для неизвестных значений сеточнойфункции. Для их нахождения используются методы линейной алгебры,которые максимально учитывают специфику сеточных задач.

Особенно­сти сеточных задач проявляются в том, что соответствующая матрицасистемы алгебраических уравнений является разреженной, т. е. содержитмного нулевых элементов, имеет ленточную структуру. При решении мно­гомерных задач матрица имеет очень большой порядок, равный общемучислу узлов сетки.Классических подход к решению простейших линейных задач ма­тематической физики связан с использованием метода разделения пе­ременных.

Естественно ожидать, что аналогичная идея получит своеразвитие и применительно к сеточным уравнениям. Рассмотрим сеточ­ную задачу для уравнения Пуассона (11.10) с однородными краевымиусловиями (11.11).Для применения метода Фурье для решения этой двумерной задачирассмотрим задачу на собственные значения для разностного операторавторой производной по переменной х\\-*>i, Xl + A « = 0,v0 = 0,X] € W|,vNt = 0.Глава 11.

Краевые задачи для эллиптический уравнений166Соответствующие собственные значения и собственные функции обозна­чим A*, v<*'(a;i),fc= 1,2,...,JV| - I:4А =2k^i!п* лГ -27Г'„«(«,) = JIri„*5!L,*= 1,2ЛГ.-1.Будем искать приближенное решение задачи (11.10), (11.11) в видеразложения:JV.-Iу (x) = 5 > w ( s 2 ) »<*>(*.),xGw.(11.16)Пусть ip^(x2) — коэффициенты Фурье правой части:ЛГ.-1Ч>т(*г)=52<р(Ф1к)(*\)Ь.(11.17)Для определения с^к\х2) получим трехточечные задачи:- с ^ - А с ^ / ^ ) ,4*»= 0, 41=0.*2€*2,(11.18)(11.19)Разностная задача (11.18), (11.19) при каждом Л = 1,2,...

,ЛГ|-1 решаетсяметодом прогонки.Таким образом метод Фурье основан на определении собственныхфункций и собственных значений одномерной сеточной задачи, вычисле­нии коэффициентов Фурье правой части согласно (11.17), решении задач(11.18), (11.19) для коэффициентов разложения и, наконец, решениезадачи определяется по формулам суммирования (11.16).Эффективные вычислительные алгоритмы метода разделения пере­менных связаны с быстрым преобразованием Фурье (FFT). В этом случаеможно вычислить коэффициенты Фурье правой части и восстановитьрешение при затратах Q = 0(N]N\\ogN\). Для задач с постояннымикоэффициентами можно использовать преобразование Фурье по обоимпеременным (разложение по собственным функциям двумерного сеточ­ного оператора L).11.2. Численное решение краевых задач167Для приближенного решения многомерных сеточных эллиптичес­ких задач с переменными коэффициентами используются итерационныеметоды. Основные понятия теории итерационных методов решения си­стем линейных уравнений обсуждались выше.

Здесь мы отметим тольконаиболее важные особенности итерационного решения краевых задачдля эллиптических уравнений, которые касаются выбора оператора В (переобуславливателя) при переходе на новое итерационное приближение.Для разностной задачи (11.4), (11.5), (11.10) запишем соответствую­щую систему линейных уравненийAy = tp(11.20)для нахождения сеточного решения у(х), х€ш. Здесь А рассматриваетсякак линейный оператор, действующий в конечномерном гильбертовомпространстве Я = 1*2(ш), а <р(х) — заданный элемент Н.Для приближенного решения уравнения (11.20) сА = Л* > 0будем использовать двухслойный итерационный метод^- + Аук = <р, fc = 0 , l , . .

. .В^(11.21)Tk+\Особенности итерационных методов для решения эллиптических задачпроявляются при построении оператора В.Пусть априорная информация об операторах В и А задана в видедвухстороннего операторного неравенства•ъВ^А^ъВ,7.>0,(11.22)т. е. операторы В и А энергетически эквивалентны с постоянными энер­гетической эквивалентности 7«. а = 1,2. В итерационном методе (11.21)с оптимальным значением итерационного параметраТоЪ +72для числа итераций К, необходимых для достижения точности е, спра­ведлива оценкаК>К0(е)=^,(11.23)168Глава 11.

Краевые задачи для эллиптический уравненийгде721+£При использовании чебышевского набора итерационных параметрови для метода сопряженных градиентов имеем1п(2е-')К2К0(е)= , : . . / ,In?,(П.24)гдеДля явного итерационного метода В = Е пъ силу (11.14), (11.15)(А = L) для постоянных энергетической эквивалентности получим7l=KM0-|=O(l),72= Af, =0(|ЛГ 2 ).В методе простой итерации при оптимальном значении итерационногопараметра из (11.23) получимW = o (j l In l).Для метода сопряженных градиентов оценка (11.24) дает*° ( £ ) = o GH)-(п 25)-При применении попеременно-треугольного итерационного методаиспользуется разложениеА = А\ + А2 = А* > О, А\ = АХи оператор В задается в видеB = (G + vAi)G-1(G + vA2),(11.26)где G = G* > 0.

При априорной информацииA>6G,6>0,А1С1А2^—А4(11.27)16911.3. Упражненияоптимальным является выбор параметра2i/ = u0 =причем для числа итераций верна оценкак>к ы=° шй,пЬ'=i(,U8)при использовании чебышевского набора итерационных параметров илиметода сопряженных градиентов.Для эллиптических уравнений второго порядка имеет место следую­щая зависимость от шагов сеткиб = о(\), д = о(|лг2)Поэтому для числа итераций попеременно-треугольного итерационногометода получимК0(£) =о(-1=1п-\Оптимизация метода достигается за счет выбора оператора D = D* > 0.11.3. УпражненияПриведены примеры аппроксимации эллиптического уравнения второгопорядка, исследуются свойства разностной задачи и обсуждаются вопросыитерационного решения сеточных эллиптических задач.Упражнение 11.1.

Постройте схему повышенного порядка аппроксимациидля решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.Решение. Для разностного оператора второй производной по отдельномунаправлению имеемГлава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений170и поэтомуд2и!I22д2иh] д4иh\ b*u** ~~дхartЦ ~~дх1~пд?,"пЩ' Т1Щ '"li'dxj+ и'>'На решениях уравнения (11.2) получима4ц _ э 4 ц а 2 /~Щ ~ дх]дх\+э 4 ц _ д4и а 2 ;дх2'+'дх\ ~ дх]дх\Щи тем самым__^M_9^t-UilXl-US2X2-дх,h] + h\дх,+пд\дх2дх2+Используем для смешанной производной аппроксимациюЩЩ* Ui,x,i2Xlи приходим к разностному уравнениюЪ\ + h\~ Ух,х> - Ух2х2^J— Ух1Х>х2х2 = <Р W 1, ч h\hi<p(x) = f (x) + —/*,*, + ^МхуX6W,(11.29)Схема (11.6), (11.29) аппроксимирует краевую задачу (11.2), (11.3) с чет­вертым порядком.Упражнение 11.2.

Рассмотрите аппроксимацию эллиптического уравненивторого порядка со смешанными производнымиMx)t^:( S)=/{x) хепа,р=\в которомкар(х) = к/за{х), а, 0 = 1,2.' '11.3. Упражнения171Решение. Рассмотрим разностную схемуLy=J2L^y= 9(x),хеш,в которойПри а = р имеемФормула Тейлора дает нам^=flu^ft2(х)#2« . .-у^!_..,.(х)+0(^Подстановкой v = fc^Mjj получаем,02)д (k2d18u\(ft,du\д2 (du\,, ,.Аналогичные выкладки приводят кП2>9 /0и \ft,_ * * ( » • • ) + о2 ax,x2\fli2/02 /( й 0vи поэтомул=-£«) + о ( | Л | , ) -0« \'172Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненииТем самым рассматриваемая разностная схема имеет второй порядокаппроксимации.Упражнение 11.3. Покажите, что для решения задачи (П.7)-( 11.10) приD(x) > 0, х € ш справедлива оценкаIM*)IL <Ф)D(x)Решение.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее